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2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法高效演練 新人教A版選修4-5.doc

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2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法高效演練 新人教A版選修4-5.doc

4.1 數(shù)學(xué)歸納法A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明:123(2n1)(n1)(2n1)時,在驗證n1成立時,左邊所得的代數(shù)式為()A1B13C123 D1234解析:當(dāng)n1時左邊所得的代數(shù)式為123.答案:C2設(shè)f(n)1(nN*),則f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析:因為f(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).答案:D3已知a1,an1,猜想an等于()A. B.C. D.解析:a2,a3,a4,猜想an.答案:D4一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題,當(dāng)n2時命題成立,且由nk時命題成立推得當(dāng)nk2時命題也成立,則()A該命題對于n2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取什么值無關(guān)D以上答案都不對解析:由題意當(dāng)n2時成立可推得n4,6,8,都成立,因此該命題對所有正偶數(shù)都成立答案:B5記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸(k1)邊形的內(nèi)角和f(k1)等于f(k)加上()A2 BC. D.解析:從nk到nk1時,內(nèi)角和增加.答案:B二、填空題6當(dāng)f(k)1,則f(k1)f(k)_解析:f(k1)1,所以f(k1)f(k).答案:7觀察下列等式:132332,13233362,13233343102,根據(jù)上述規(guī)律,猜想132333435363_解析:已知等式可寫為:132332(12)2,13233362(123)2,13233343102(1234)2,根據(jù)上述規(guī)律,猜想132333435363(126)2212.答案:2128已知平面上有n(nN*,n3)個點,其中任何三點都不共線,過這些點中任意兩點作直線,設(shè)這樣的直線共有f(n)條,則f(3)_,f(4)_,f(5)_,f(n1)f(n)_解析:當(dāng)nk時,有f(k)條直線當(dāng)nk1時,增加的第k1個點與原k個點共連成k條直線,即增加k條直線,所以f(k1)f(k)k.又f(2)1,所以f(3)3,f(4)6,f(5)10,f(n1)f(n)n.答案:3610n三、解答題9求證:1(nN*)證明:(1)當(dāng)n1時,左邊1,右邊1,所以左邊右邊,等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時等式成立,即1.則當(dāng)nk1時,1.所以當(dāng)nk1時,等式也成立由(1)(2)可知,對任何nN*等式都成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明n35n能被6整除證明:(1)當(dāng)n1時,左邊13516,能被6整除,結(jié)論正確(2)假設(shè)當(dāng)nk時,結(jié)論正確,即k35k能被6整除則(k1)35(k1)k33k23k15k5k35k3(k2k2)k35k3(k1)(k2),因為k35k能被6整除,(k1)(k2)必為偶數(shù),3(k1)(k2)能被6整除,因此,k35k3(k1)(k2)能被6整除即當(dāng)nk1時結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知,n35n對于任何nN都能被6整除B級能力提升1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)時,從“nk到nk1”左端需乘以的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.解析:當(dāng)nk時,等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)當(dāng)nk1時,左邊(k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)比較nk和nk1時等式的左邊,可知左端需乘以2(2k1)答案:B2用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被14整除,當(dāng)nk1時,對于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_解析:34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1答案:81(34k152k1)5652k13平面內(nèi)有n(n2,nN*)條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不過同一點,那么這n條直線的交點個數(shù)f(n)是多少?并證明你的結(jié)論解:當(dāng)n2時,f(2)1;當(dāng)n3時,f(3)3;當(dāng)n4時,f(4)6.因此猜想f(n)(n2,nN*)下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n2時,兩條相交直線有一個交點,又f(2)2(21)1.所以n2時,命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN*)時命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)k(k1),當(dāng)nk1時,其中一條直線記為l,剩下的k條直線為l1,l2,lk.由歸納假設(shè)知,剩下的k條直線之間的交點個數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點,所以直線l與l1,l2,l3,lk的交點共有k個,所以f(k1)f(k)kk,所以當(dāng)nk1時,命題成立由(1)(2)可知,命題對一切nN*且n2時成立

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