新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)選修4 第1講幾何證明選講

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第十五章 系列4選考部分第1講 幾何證明選講1如圖，已知B在AC上，D在BE上，且ABBC21，EDDB21，求ADDF.解 如圖，過(guò)D作DGAC交FC于G(還可過(guò)B作EC的平行線)，DGBC.BCAC，DGAC.，DFAF，從而ADAF，故ADDF72.2. 如圖，圓O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)求證：ABAC為定值證明如圖，連接AO1，并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D，連接BD、CE.圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，點(diǎn)O2在AD上，故AD、AE分別為圓O1，圓O2的直徑從而ABDACE90°.BDCE，于是，ABAC為定值3. 如圖，ABC是直角三角形，ACB90°，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證：FD2FB·FC.證明E是RtACD斜邊AC的中點(diǎn)，DEEA，A2.又12，1A.FDCCDB190°1，F(xiàn)BDACBA90°A，F(xiàn)DCFBD.又F是公共角，F(xiàn)BDFDC，F(xiàn)D2FB·FC.4. 如圖，在ABC中，CM是 ACB的平分線，AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N.若ACAB，求證：BN2AM.證明連結(jié)MN.因?yàn)镃M是ACB的平分線，所以ACMNCM，所以AMMN.因?yàn)锽B，BMNA，所以BMNBCA，所以2，即BN2MN2AM.5. 如圖，梯形ABCD內(nèi)接于O，ADBC，過(guò)點(diǎn)C作O的切線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：AB2DE·BC；(2)若BD9，AB6，BC9，求切線PC的長(zhǎng)(1)證明ADBC，.ABCD，EDCBCD.又PC與O相切，ECDDBC.CDEBCD.CD2DE·BC，即AB2DE·BC.(2)解由(1)知，DE4，ADBC，PDEPBC，.又PBPD9，PD，PB.PC2PD·PB·.PC.6如圖，D，E分別為ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且不與ABC的頂點(diǎn)重合已知AE的長(zhǎng)為m，AC的長(zhǎng)為n，AD，AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x214xmn0的兩個(gè)根(1)證明：C，B，D，E四點(diǎn)共圓；(2)若A90°，且m4，n6，求C，B，D，E所在圓的半徑解 (1)證明：連結(jié)DE，根據(jù)題意在ADE和ACB中，AD×ABmnAE·AC，即.又DAECAB，從而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四點(diǎn)共圓(2)m4，n6時(shí)，方程x214xmn0的兩根為x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中點(diǎn)G，DB的中點(diǎn)F，分別過(guò)G，F(xiàn)作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點(diǎn)，連結(jié)DH.因?yàn)镃，B，D，E四點(diǎn)共圓，所以C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于A90°，故GHAB，HFAC.從而HFAG5，DF×(122)5.故C，B，D，E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.7. 如圖，圓O是ABC的外接圓，延長(zhǎng)BC邊上的高AD交圓O于點(diǎn)E，H為ABC的垂心求證：DHDE.證明連結(jié)CE，CH.因?yàn)镠為ABC的垂心，所以ECDBAD90°ABC，HCD90°ABC，所以ECDHCD.又因?yàn)镃DHE，CD為公共邊，所以HDCEDC，所以DHDE.8. 已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB、FC.(1)求證：FBFC；(2)若AB是ABC外接圓的直徑，EAC120°，BC3，求AD的長(zhǎng)(1)證明AD平分EAC，EADDAC.四邊形AFBC內(nèi)接于圓，DACFBC.EADFABFCB，F(xiàn)BCFCB，F(xiàn)BFC.(2)解AB是圓的直徑，ACD90°.EAC120°，DACEAC60°，D30°.在RtACB中，BC3，BAC60°，AC3，又在RtACD中，D30°，AC3，AD6.9. 如圖，從圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過(guò)點(diǎn)M且不過(guò)圓心O的一條弦，求證：O、C、P、D四點(diǎn)共圓證明PA、PB為圓O的兩條切線，OP垂直平分弦AB，AMBM.在RtOAP中，OM·MPAM2，在圓O中，AM·BMCM·DM，OM·MPCM·DM，又弦CD不過(guò)圓心O，O、C、P、D四點(diǎn)共圓.10. 如圖，O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交O于N，過(guò)點(diǎn)N的切線交CA的延長(zhǎng)線于P.(1)求證：PM2PA·PC；(2)若O的半徑為2，OAOM，求MN的長(zhǎng)(1)證明連結(jié)ON.因?yàn)镻N切O于N，所以O(shè)NP90°.所以O(shè)NBBNP90°.因?yàn)镺BON，所以O(shè)BNONB.因?yàn)锽OAC于O，所以O(shè)BNBMO90°.所以BNPBMOPMN.所以PMPN.所以PM2PN2PA·PC.(2)解OM2，BO2，BM4.因?yàn)锽M·MNCM·MA(22)(22)8，所以MN2.11. 如圖，已知C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線AB于點(diǎn)G.(1)求證：點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)；(2)求證：CG是O的切線；(3)若FBFE2，求O的半徑(1)證明CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF.HEEC，BFFD.即點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)(2)證明連接CB、OC，AB是直徑，ACB90°.F是BD的中點(diǎn)，CBFFCB.CBFBAC，BACACO，F(xiàn)CBACO.ACOOCB90°，BCFOCB90°.OCF90°.CG是O的切線(3)解由FCFBFE，得FCEFEC.GGCH90°，F(xiàn)AGFEC90°，F(xiàn)AGG.FAFG，F(xiàn)BAG，ABBG.由切割線定理，得(2FG)2BG·AG2BG2.在RtBGF中，由勾股定理，得BG2FG2BF2.由，得FG24FG120.解得FG6或FG2(舍去)ABBG4.O的半徑為2.12如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)求證：ABAC為定值證明 連結(jié)AO1，并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連結(jié)BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2與AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑從而ABDACE.所以BDCE，于是.ABAC為定值