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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)選修4 第1講幾何證明選講

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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù)選修4 第1講幾何證明選講

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第十五章 系列4選考部分第1講 幾何證明選講1如圖,已知B在AC上,D在BE上,且ABBC21,EDDB21,求ADDF.解 如圖,過(guò)D作DGAC交FC于G(還可過(guò)B作EC的平行線),DGBC.BCAC,DGAC.,DFAF,從而ADAF,故ADDF72.2. 如圖,圓O1與O2內(nèi)切于點(diǎn)A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)求證:ABAC為定值證明如圖,連接AO1,并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D,連接BD、CE.圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A,點(diǎn)O2在AD上,故AD、AE分別為圓O1,圓O2的直徑從而ABDACE90°.BDCE,于是,ABAC為定值3. 如圖,ABC是直角三角形,ACB90°,CDAB于D,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證:FD2FB·FC.證明E是RtACD斜邊AC的中點(diǎn),DEEA,A2.又12,1A.FDCCDB190°1,F(xiàn)BDACBA90°A,F(xiàn)DCFBD.又F是公共角,F(xiàn)BDFDC,F(xiàn)D2FB·FC.4. 如圖,在ABC中,CM是 ACB的平分線,AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N.若ACAB,求證:BN2AM.證明連結(jié)MN.因?yàn)镃M是ACB的平分線,所以ACMNCM,所以AMMN.因?yàn)锽B,BMNA,所以BMNBCA,所以2,即BN2MN2AM.5. 如圖,梯形ABCD內(nèi)接于O,ADBC,過(guò)點(diǎn)C作O的切線,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:AB2DE·BC;(2)若BD9,AB6,BC9,求切線PC的長(zhǎng)(1)證明ADBC,.ABCD,EDCBCD.又PC與O相切,ECDDBC.CDEBCD.CD2DE·BC,即AB2DE·BC.(2)解由(1)知,DE4,ADBC,PDEPBC,.又PBPD9,PD,PB.PC2PD·PB·.PC.6如圖,D,E分別為ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與ABC的頂點(diǎn)重合已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x214xmn0的兩個(gè)根(1)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓;(2)若A90°,且m4,n6,求C,B,D,E所在圓的半徑解 (1)證明:連結(jié)DE,根據(jù)題意在ADE和ACB中,AD×ABmnAE·AC,即.又DAECAB,從而ADEACB.因此ADEACB.所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓(2)m4,n6時(shí),方程x214xmn0的兩根為x12,x212.故AD2,AB12.取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連結(jié)DH.因?yàn)镃,B,D,E四點(diǎn)共圓,所以C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.由于A90°,故GHAB,HFAC.從而HFAG5,DF×(122)5.故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.7. 如圖,圓O是ABC的外接圓,延長(zhǎng)BC邊上的高AD交圓O于點(diǎn)E,H為ABC的垂心求證:DHDE.證明連結(jié)CE,CH.因?yàn)镠為ABC的垂心,所以ECDBAD90°ABC,HCD90°ABC,所以ECDHCD.又因?yàn)镃DHE,CD為公共邊,所以HDCEDC,所以DHDE.8. 已知AD是ABC的外角EAC的平分線,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,延長(zhǎng)DA交ABC的外接圓于點(diǎn)F,連接FB、FC.(1)求證:FBFC;(2)若AB是ABC外接圓的直徑,EAC120°,BC3,求AD的長(zhǎng)(1)證明AD平分EAC,EADDAC.四邊形AFBC內(nèi)接于圓,DACFBC.EADFABFCB,F(xiàn)BCFCB,F(xiàn)BFC.(2)解AB是圓的直徑,ACD90°.EAC120°,DACEAC60°,D30°.在RtACB中,BC3,BAC60°,AC3,又在RtACD中,D30°,AC3,AD6.9. 如圖,從圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,AB與OP交于點(diǎn)M,設(shè)CD為過(guò)點(diǎn)M且不過(guò)圓心O的一條弦,求證:O、C、P、D四點(diǎn)共圓證明PA、PB為圓O的兩條切線,OP垂直平分弦AB,AMBM.在RtOAP中,OM·MPAM2,在圓O中,AM·BMCM·DM,OM·MPCM·DM,又弦CD不過(guò)圓心O,O、C、P、D四點(diǎn)共圓.10. 如圖,O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點(diǎn),BM的延長(zhǎng)線交O于N,過(guò)點(diǎn)N的切線交CA的延長(zhǎng)線于P.(1)求證:PM2PA·PC;(2)若O的半徑為2,OAOM,求MN的長(zhǎng)(1)證明連結(jié)ON.因?yàn)镻N切O于N,所以O(shè)NP90°.所以O(shè)NBBNP90°.因?yàn)镺BON,所以O(shè)BNONB.因?yàn)锽OAC于O,所以O(shè)BNBMO90°.所以BNPBMOPMN.所以PMPN.所以PM2PN2PA·PC.(2)解OM2,BO2,BM4.因?yàn)锽M·MNCM·MA(22)(22)8,所以MN2.11. 如圖,已知C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn),CHAB于點(diǎn)H,直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D,E為CH的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F,直線CF交直線AB于點(diǎn)G.(1)求證:點(diǎn)F是BD的中點(diǎn);(2)求證:CG是O的切線;(3)若FBFE2,求O的半徑(1)證明CHAB,DBAB,AEHAFB,ACEADF.HEEC,BFFD.即點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)(2)證明連接CB、OC,AB是直徑,ACB90°.F是BD的中點(diǎn),CBFFCB.CBFBAC,BACACO,F(xiàn)CBACO.ACOOCB90°,BCFOCB90°.OCF90°.CG是O的切線(3)解由FCFBFE,得FCEFEC.GGCH90°,F(xiàn)AGFEC90°,F(xiàn)AGG.FAFG,F(xiàn)BAG,ABBG.由切割線定理,得(2FG)2BG·AG2BG2.在RtBGF中,由勾股定理,得BG2FG2BF2.由,得FG24FG120.解得FG6或FG2(舍去)ABBG4.O的半徑為2.12如圖,圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)求證:ABAC為定值證明 連結(jié)AO1,并延長(zhǎng)分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連結(jié)BD,CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A,所以點(diǎn)O2與AD上,故AD,AE分別為圓O1,圓O2的直徑從而ABDACE.所以BDCE,于是.ABAC為定值

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