全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版9

1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(10月15日上午8001000)一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)： 1若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(，) B， C(，) D， 3對任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(xl)與函數(shù)y=f(x+l)的圖象恒( ) A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于直線x=l對稱 C關(guān)于直線x=l對稱 D關(guān)于y軸對稱 4以長方體8個頂點(diǎn)中任意3個為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個數(shù)為( ) A0 B6 C8 D245若 M=z| z=+i，tR，t1，t0， N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost)，tR，|t|1則MN中元素的個數(shù)為 A0 B1 C2 D46集合M=u|u=12m+8n+4l，其中m，n，lZN=u|u=20p+16q+12r，其中p，q，rZ的關(guān)系為AM=N BMËN，NËM CMN DNM 三填空題(本題滿分30分，每小題5分)1若loga<1，則a的取值范圍是 2已知直線l：2x+y=10，過點(diǎn)(10，0)作直線l¢l，則l¢與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為 3設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)1|，f2(x)= |f1(x)2|，則函數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 .4一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 5如果從數(shù)1，2，3，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時滿足 a2a13，與a3a23，那么，所有符合上述要求的不同取法有 種6當(dāng)s和t取遍所有實(shí)數(shù)時，則 (s+53|cost|)2+(s2|sint|)2所能達(dá)到的最小值為 三(本題滿分20分)已知a1，a2，an是n個正數(shù)，滿足 a1a2an=1求證：(2+a1)(2+a2)(2+an)3n四(本題滿分20分)已知正三棱錐SABC的高SO=3，底面邊長為6，過點(diǎn)A向其所對側(cè)面SBC作垂線，垂足為O¢，在AO¢上取一點(diǎn)P，使=8，求經(jīng)過點(diǎn)P且平行于底面的截面的面積五(本題滿分20分)已知：對任意的nN*，有an>0，且 a=(aj)2求證：an=n第二試(上午10301230)一(本題滿分35分)ABCEF已知 在ABC中，AB>AC，ÐA的一個外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作EFAB，垂足為F求證 2AF=AB-AC 二(本題滿分35分)已知xiR(i=1，2，n；n2)，滿足 |xi|=1，xi=0，求證： 三(本題滿分35分)有n×n（n4)的一張空白方格表，在它的每一個方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個數(shù)中的一個，現(xiàn)將表內(nèi)n個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個基本項(xiàng)試證明：按上述方式所填成的每一個方格表，它的全部基本項(xiàng)之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中kZ）1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試一選擇題(本題滿分30分，每小題5分)：1若A、B是銳角ABC的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù) z=(cosBsinA)+i(sinBcosA)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解：0°<A、B<90°<A+B<180°故90°>A>90°B>0°，sinA>cosB，cosA<sinB故cosBsinA<0，sinBcosA>0點(diǎn)Z位于第二象限選B 2函數(shù)f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A(，) B， C(，) D， 解：因x1，1，故arctanx，arcsinx，且f(1)=，f(1)= 選D3對任意的函數(shù)y=f(x)，在同一個直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(xl)與函數(shù)y=f(x+l)的圖象恒( ) A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于直線x=l對稱 C關(guān)于直線x=l對稱 D關(guān)于y軸對稱 解：令x1=t，則得f(t)=f(t)，即f(t)關(guān)于t=0對稱，即此二圖象關(guān)于x=1對稱選B4以長方體8個頂點(diǎn)中任意3個為頂點(diǎn)的所有三角形中，銳角三角形的個數(shù)為( ) A0 B6 C8 D24 解：以不相鄰的4個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的8個面都是銳角三角形其余的三角形都不是銳角三角形選C5若 M=z| z=+i，tR，t1，t0， N=z| z=cos(arcsint)+icos(arccost)，tR，|t|1則MN中元素的個數(shù)為 A0 B1 C2 D4解：M的圖象為雙曲線xy=1(x0，x1)N的圖象為x2+y2=2(x0)，二者無公共點(diǎn)選A6集合M=u|u=12m+8n+4l，其中m，n，lZN=u|u=20p+16q+12r，其中p，q，rZ的關(guān)系為AM=N BMËN，NËM CMN DNM 解：u=12m+8n+4l=4(3m+2n+l)，由于3m+2n+l可以取任意整數(shù)值，故M表示所有4的倍數(shù)的集合同理u=20p+16q+12r=4(5p+4q+3r)也表示全體4的倍數(shù)的集合于是M=N三填空題(本題滿分30分，每小題5分)1若loga<1，則a的取值范圍是 解：若0<a<1，則loga<0，若a>1，則得a>故填(0，1)(，+)2已知直線l：2x+y=10，過點(diǎn)(10，0)作直線l¢l，則l¢與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為 解：直線l¢方程為(x+10)2y=0，解得交點(diǎn)為(2，6)3設(shè)函數(shù)f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)1|，f2(x)= |f1(x)2|，則函數(shù)y=f2(x)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 .解 圖1是函數(shù)f0(x)=|x|的圖形，把此圖形向下平行移動1個單位就得到函數(shù)f0(x)=|x|1的圖形，作該圖形的在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形得出圖2，其中在x軸上方的部分即是f1(x)=|f0(x)1|的圖象，再把該圖象向下平行移動2個單位得到f0(x)=|x|2的圖象，作該圖象在x軸下方的部分關(guān)于x軸的對稱圖形得到圖3，其中x軸上方的部分即是f2(x)= |f1(x)2|的圖象。易得所求面積為7。4一個正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 解 設(shè)其小數(shù)部分為(0<<1)，整數(shù)部分為n(nN*)，則得，(n+)=n2， n2<n+<n+1 <n<，但nN*，故n=1，得，2+1=0， a=，由>0，知，a= 原數(shù)為5如果從數(shù)1，2，3，14中，按由小到大的順序取出a1，a2，a3，使同時滿足a2a13，與a3a23，那么，所有符合上述要求的不同取法有 種 解：令a1¢=a1，a2¢=a22，a3¢=a34，則得1a1¢<a2¢<a3¢10所求取法為C=1206當(dāng)s和t取遍所有實(shí)數(shù)時，則(s+53|cost|)2+(s2|sint|)2所能達(dá)到的最小值為 解：令x=3|cost|，y=2|sint|，則得橢圓+=1在第一象限內(nèi)的弧段再令x=s+5，y=s，則得y=x5，表示一條直線(s+53|cost|)2+(s2|sint|)2表示橢圓弧段上點(diǎn)與直線上點(diǎn)距離平方其最小值為點(diǎn)(3，0)與直線y=x5距離平方=2三(本題滿分20分)已知a1，a2，an是n個正數(shù)，滿足 a1a2an=1求證：(2+a1)(2+a2)(2+an)3n證明： 2+ai=1+1+ai3，(i=1，2，n) (2+a1)(2+a2)(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)(1+1+an)3333n=3n證法2：(2+a1)(2+a2)(2+an)=2n+(a1+a2+an)2n1+(a1a2+a1a3+an1an)2n2+a1a2an 但a1+a2+ann=n=C， a1a2+a1a3+an1anC=C， (2+a1)(2+a2)(2+an)=2n+(a1+a2+an)2n1+(a1a2+a1a3+an1an)2n2+a1a2an 2n+C2n1+C2n2+C=(2+1)n=3n四(本題滿分20分)已知正三棱錐SABC的高SO=3，底面邊長為6，過點(diǎn)A向其所對側(cè)面SBC作垂線，垂足為O¢，在AO¢上取一點(diǎn)P，使=8，求經(jīng)過點(diǎn)P且平行于底面的截面的面積解：正三棱錐SABC的高為SO，故AOBC，設(shè)AO交BC于E，連SE則可證BC面AES故面AES面SBC由AO¢面SBC于O¢，則AO¢在面AES內(nèi)，O¢在SE上AO¢與SO相交于點(diǎn)F ABC為正三角形，AB=6，故AE=3，OE= SO=3， tanOES=，E=60° O¢E=AEcos60°=作O¢G平面ABC，則垂足G在AE上O¢G=O¢Esin60°= =8， =，ÞPH=2設(shè)過P與底面平行的截面面積為s，截面與頂點(diǎn)S的距離=32=1 SABC=·62=9 =()2，故s=五(本題滿分20分)已知：對任意的nN*，有an>0，且 a=(aj)2求證：an=n證明：由已知，a13=a12，a1>0， a1=1設(shè)nk(kN，且k1)時，由a =(aj)2成立可證ak=k成立當(dāng)n=k+1時，a=(aj)2=(aj)2+2ak+1(aj)+a 即 k2(k+1)2+a=k2(k+1)2+2ak+1·k(k+1)+a aak+1k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=k或ak+1=k+1由an>0知，只有ak+1=k+1成立即n=k+1時命題也成立由數(shù)學(xué)歸納原理知對于一切nN*，an=n成立第二試一(本題滿分35分)已知 在ABC中，AB>AC，ÐA的一個外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作EFAB，垂足為F求證 2AF=AB-AC 證明：在FB上取FG=AF，連EG、EC、EB，于是AEG為等腰三角形，EG=EA又Ð3=180°ÐEGA=180°ÐEAG=180°Ð5=Ð4Ð1=Ð2于是EGBEACBG=AC，故證二已知xiR(i=1，2，n；n2)，滿足 |xi|=1，xi=0，求證： 證明：由已知可知，必有xi>0，也必有xj<0(i，j1，2，n，且ij)設(shè)x，x，x為諸xi中所有>0的數(shù)，x，x，x為諸xi中所有<0的數(shù)由已知得X= x+x+x=，Y= x+x+x=于是當(dāng)>時，=+xx=于是當(dāng)<時，=xx=總之， 成立三有n×n（n4)的一張空白方格表，在它的每一個方格內(nèi)任意的填入+1與-1這兩個數(shù)中的一個，現(xiàn)將表內(nèi)n個兩兩既不同行(橫)又不同列(豎)的方格中的數(shù)的乘積稱為一個基本項(xiàng)試證明：按上述方式所填成的每一個方格表，它的全部基本項(xiàng)之和總能被4整除（即總能表示成4k的形式，其中kZ）證明 基本項(xiàng)共有n!個，n>3，則基本項(xiàng)的個數(shù)為4的倍數(shù)，設(shè)共有4m項(xiàng)其中每個數(shù)aij(=±1)都要在(n1)!個基本項(xiàng)中出現(xiàn)，故把所有基本項(xiàng)乘起來后，每個aij都乘了(n1)!次，而n>3，故(n1)!為偶數(shù)，于是該乘積等于1這說明等于1的基本項(xiàng)有偶數(shù)個，同樣，等于+1的基本項(xiàng)也有偶數(shù)個若等于1的基本項(xiàng)有4l個，則等于+1的基本項(xiàng)有4m4l個，其和為4m4l4l=4(m2l)為4的倍數(shù)；若等于1的基本項(xiàng)有4l2個，則等于+1的基本項(xiàng)有4m4l+2個，其和為4m4l+24l+2=4(m2l+1)為4的倍數(shù)故證