全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版8

19881988 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試(10 月 16 日上午 800930)一選擇題(本大題共 5 小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對(duì)得 7 分，選錯(cuò)、不選或多選均得 0 分)：1設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=(x)，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象與第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0 對(duì)稱，那么，第三個(gè)函數(shù)是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 2已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 3平面上有三個(gè)點(diǎn)集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2，(xf(1,2)2 + (y+ f(1,2)2(x+ f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|；3 命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)則 A甲是乙的充分條件但不必要 B甲是乙的必要條件但不充分 C甲是乙的充分必要條件 DA、B、C都不對(duì) 5在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用I表示所有直線的集合，M表示恰好通過(guò)1 個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過(guò)任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合那么表達(dá)式 MNP=I； N M P中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是 A1 B2 C3 D4 二填空題(本大題共 4 小題，每小題 10 分)：1設(shè)xy，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均為等差數(shù)列，那么= b4b3a2a12(+2)2n+1的展開式中，x的整數(shù)次冪的各項(xiàng)系數(shù)之和為 x3在ABC中，已知A=，CD、BE分別是AB、AC上的高，則= DEBC4甲乙兩隊(duì)各出 7 名隊(duì)員，按事先排好順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由 1 號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方 2 號(hào)隊(duì)員比賽，直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過(guò)程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過(guò)程的種數(shù)為 三(15 分)長(zhǎng)為，寬為 1 的矩形，以它的一條對(duì)角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體2積四(15 分) 復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z1的軌跡方程為|Z1Z0|=|Z1|，Z0為定點(diǎn)，Z00，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z滿足Z1Z=1，求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置五(15 分)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且 +=1，試證：對(duì)每一個(gè)nN N*，1a1b (a+b)nanbn22n2n+11988 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題一已知數(shù)列an，其中a1=1，a2=2，an+2=5an+ 13an(anan+ 1為偶數(shù))，an+ 1an(anan+ 1為奇數(shù))試證：對(duì)一切nN*N*，an0二如圖，在ABC中，P、Q、R將其周長(zhǎng)三等分，且P、Q在AB邊上，求證： SPQRSABC29三在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多直線l1，l2，ln，的直線族，它滿足條件： 點(diǎn)(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并證明你的結(jié)論1988 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題一選擇題(本大題共 5 小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對(duì)得 7 分，選錯(cuò)、不選或多選均得 0 分)：1設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=(x)，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象與第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于x+y=0 對(duì)稱，那么，第三個(gè)函數(shù)是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二個(gè)函數(shù)是y=1(x)第三個(gè)函數(shù)是x=1(y)，即y=(x)選 B2已知原點(diǎn)在橢圓k2x2+y24kx+2ky+k21=0 的內(nèi)部，那么參數(shù)k的取值范圍是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 解：因是橢圓，故k0，以(0，0)代入方程，得k210，選 D3平面上有三個(gè)點(diǎn)集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2，(xf(1,2)2 + (y+ f(1,2)2(x+ f(1,2)2 + (yf(1,2)22 P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|；3 命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)則 A甲是乙的充分條件但不必要 B甲是乙的必要條件但不充分 C甲是乙的充分必要條件 DA、B、C都不對(duì) 解：a，b，c或平行，或交于一點(diǎn)但當(dāng)abc時(shí)，=當(dāng)它們交于一點(diǎn)時(shí)， SPQRSABC29證明：作ABC及PQR的高CN、RH設(shè)ABC的周長(zhǎng)為 1則PQ=13則=，但AB ，SPQRSABCPQRHABCNPQABARAC12PQAB23APABPQ ，AC ，從而 121316131612ARAC13SPQRSABC29三在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多直線l1，l2，ln，的直線族，它滿足條件： 點(diǎn)(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并證明你的結(jié)論證明：設(shè)an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此時(shí)an+1不存在，故kn1現(xiàn)設(shè)kn0，1，則y=kn(x1)+1，得bn=1kn，an=1， kn+1=kn此時(shí)knkn+1=kn211kn1kn kn1 或kn1 或k11 時(shí)，由于 0k2=k10，若k21，則又有k1k2k30，依此類推，知當(dāng)km11k11k1時(shí)，有k1k2k3kmkm+10，且 01，1k11k21kmkm+1=kmkm=km1km1k =k0，此時(shí)kk0 m11 m1 m11 m1 m1 + 1即此時(shí)不存在這樣的直線族 當(dāng)k11 時(shí)，同樣有10，得k1k2=k10若k21，又有k1k2k30，依此類推，知1k11k1當(dāng)km1 時(shí)，有k1k2k3kmkm+11，1k11k21kmkm+1=kmkm=km1km1k11km1k11km11k12k1mk1由于k1隨m的增大而線性增大，故必存在一個(gè)m值，m=m0，使k11，從而必存在一個(gè)mmkmm0k1值，m=m1(m1m0)，使k1，而1k =k0，此時(shí)kk0 m11 m1 m1 m1 m1 + 1即此時(shí)不存在這樣的直線族綜上可知這樣的直線族不存在