2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專(zhuān)題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學(xué)案.doc
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2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專(zhuān)題2.1 一元二次方程根的判別式精講深剖學(xué)案.doc
第1講 一元二次方程根的判別式現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用,而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系,在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著重要應(yīng)用本專(zhuān)題將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等進(jìn)行講述。【知識(shí)梳理】一元二次方程的根的判別式一元二次方程,用配方法將其變形為:(1) 當(dāng)時(shí),右端是正數(shù)因此,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:(2) 當(dāng)時(shí),右端是零因此,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:(3) 當(dāng)時(shí),右端是負(fù)數(shù)因此,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況因此,把叫做一元二次方程的根的判別式,表示為:【精講深剖】一元二次方程根的判別式即是判定方程根的情況的充分條件,也是求解方程根的一般方法?!镜淅馕觥?.判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù)),如果方程有實(shí)數(shù)根,寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根(1)x23x30; (2)x2ax10; (3) x2ax(a1)0; (4)x22xa0【解析】(1)3241330,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根(2)該方程的根的判別式a241(1)a240,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;, (3)由于該方程的根的判別式為a241(a1)a24a4(a2)2,所以,當(dāng)a2時(shí),0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:x1x21;當(dāng)a2時(shí),0, 所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根: x11,x2a1【解題反思】在第3,4小題中,方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化,于是,在解題過(guò)程中,需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論,這一方法叫做分類(lèi)討論分類(lèi)討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法,在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題【變式訓(xùn)練】1.已知關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)下列條件,分別求出的范圍:(1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)方程有實(shí)數(shù)根;(4) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根【解析】(1) ;(2) ;(3); (4) 【點(diǎn)評(píng)】本題已知根的情況,運(yùn)用根的判別式,求方程中參數(shù)的取值范圍。需要逆向思考,體現(xiàn)了思維的靈活性。2.(1)判斷直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的范圍。【分析】有題意,曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程組的解的個(gè)數(shù),可借助根的判別式進(jìn)行解決;(2)由,代入消元得;,整理得;,由題意可得;,解得,即當(dāng)時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?!军c(diǎn)評(píng)】判斷兩曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí),基本方法為直接求解法,判別式法即圖像法。而判別式法在解決二次曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)更為高效。3已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證:不管為何值,方程總有實(shí)數(shù)根;(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng),另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求此三角形的周長(zhǎng).【答案】(1);(2)16或22.【分析】(1)計(jì)算出“根的判別式的值”,然后通過(guò)配方可知無(wú)論k去何值,的值恒大于或等于0,由此可得結(jié)論;(2)因?yàn)轭}目中沒(méi)有告訴等腰ABC中邊是腰還是底,故要分兩種情況討論:當(dāng)為腰時(shí),則中有一邊為腰,即原方程有一根為6,代入方程可解得k的值,進(jìn)一步可求得方程的另一根,從而可求ABC的周長(zhǎng);當(dāng)為底時(shí),則都為腰,此時(shí)原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則=0,由此可求出k的值,代入原方程求解,從而可求ABC的周長(zhǎng).【解析】(1)在方程 中,=,無(wú)論k為何值,0 ,不管k為何值,原方程總有實(shí)數(shù)根;當(dāng)為底時(shí),則兩邊均為腰,即原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以,解得,此時(shí)原方程為:,解得:即兩邊均為2,因?yàn)?,此時(shí)三邊圍不成三角形,此種情況不成立;綜合可得的周長(zhǎng)為16或22【點(diǎn)評(píng)】問(wèn)題從一元二次根的判別式“”入手,通過(guò)化簡(jiǎn)、配方法等將“”表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可判斷其符號(hào)的形式,從而就可以判斷原一元二次方程根的情況了;(2)這類(lèi)問(wèn)題通常要分“已知邊是等腰三角形的腰和底”兩種情況分別討論,同時(shí)要特別注意在涉及三角形三邊的問(wèn)題中,求出三邊后,一定要用三角形三邊間的關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn),看能否圍成三角形.