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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差 理.doc

專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差一、考綱要求:1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.4.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn):1.求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟:(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i1,2,3,n);(2)求出各個(gè)取值的概率P(Xxi)pi;(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,超幾何分布的特征:(1)考察對(duì)象分兩類;(2)已知各類對(duì)象中個(gè)體的個(gè)數(shù);(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考察抽取到的某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.4.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).5.利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略(1)當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧,可對(duì)問題作出判斷.(2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進(jìn)而進(jìn)行決策.三、高考考題題例分析: 例1.(2018全國(guó)卷I) 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f (p)的最大值點(diǎn)p0(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;()以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?【答案】見解析(2)(i)由(1)知p=0.1,令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù),依題意知YB(180,0.1),X=202+25Y,即X=40+25Y,E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+251800.1=490(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元,E(X)=490400,應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)例2.(2018北京卷)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立()從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;()從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率;()假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡“k=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6)寫出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小關(guān)系【答案】見解析()設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評(píng)”,第四類獲得好評(píng)的有:2000.25=50部,第五類獲得好評(píng)的有:8000.2=160部,則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率:P(B)=0.35()由題意知,定義隨機(jī)變量如下:k=,則k服從兩點(diǎn)分布,則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下:第一類電影: 1 1 0 P 0.4 0.6E(1)=10.4+00.6=0.4,D(1)=(10.4)20.4+(00.4)20.6=0.24第二類電影: 2 1 0 P 0.2 0.8E(2)=10.2+00.8=0.2,D(2)=(10.2)20.2+(00.2)20.8=0.16第三類電影: 3 1 0 P 0.15 0.85E(3)=10.15+00.85=0.15,D(3)=(10.15)20.15+(00.85)20.85=0.1275第五類電影: 5 1 0 P 0.2 0.8E(5)=10.2+00.8=0.2,D(5)=(10.2)20.2+(00.2)20.8=0.16第六類電影: 6 1 0 P 0.1 0.9E(6)=10.1+00.9=0.1,D(5)=(10.1)20.1+(00.1)20.9=0.09方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小關(guān)系為:D6D3D2=D5D4D1 例6.(2017山東卷節(jié)選)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列【答案】(1) ;(2)見解析因此X的分布列為X01234P例7. (2017天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為,.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率【答案】(1) ;(2) 【解析】(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0),P(X1),P(X2),P(X3).所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.例8. (2016四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_【答案】【解析】法一:先求出成功次數(shù)X的分布列,再求均值由題意可知每次試驗(yàn)不成功的概率為,成功的概率為,在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2,則P(X0),P(X1)C,P(X2).所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列為X012P則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)012.法二:此試驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布,其中p,所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)np2.離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差練習(xí)題一、選擇題1設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(X0)等于()A0BCD【答案】C2若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c則常數(shù)c的值為()A或BCD1【答案】C【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知得c.3在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊,用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率中等于的是() AP(X2)BP(X2)CP(X4)DP(X4)【答案】C【解析】X服從超幾何分布,故P(Xk),k4.4若離散型隨機(jī)變量X的分布列為()X01P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A2B2或CD1【答案】C5已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下,且E(X)6.3,則a的值為()X4a9P0.50.1bA5B6C7D8【答案】C【解析】由分布列性質(zhì)知:0.50.1b1,b0.4,E(X)40.5a0.190.46.3,a7.6已知隨機(jī)變量滿足E(1)5,D(1)5,則下列說法正確的是()AE()5,D()5BE()4,D()4CE()5,D()5DE()4,D()5【答案】D【解析】因?yàn)镋(1)1E()5,所以E()4.D(1)(1)2D()5,所以D()5,故選D.7已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)(i1,2,3,4),則P(2X4)等于()ABCD【答案】B8若隨機(jī)變量X的分布列為X210123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(,2B1,2C(1,2D(1,2)【答案】C【解析】由隨機(jī)變量X的分布列知P(X<1)0.1,P(X<0)0.3,P(X<1)0.5,P(X<2)0.8,P(X2)0.1,則當(dāng)P(X<a)0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,29罐中有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取1球,記住顏色后再放回,連續(xù)摸取4次,設(shè)X為取得紅球的次數(shù),則X的方差D(X)的值為() ABCD【答案】B【解析】因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?,所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為,連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn)),X為取得紅球(成功)的次數(shù),則XB,所以D(X)4.10已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測(cè),直至能確定所有次品為止,記檢測(cè)的次數(shù)為,則E()()A3BCD4【答案】B【解析】的可能取值為2,3,4,P(2),P(3),P(4),則E()234,故選B11若P(Xx2)1,P(Xx1)1,其中x1<x2,則P(x1Xx2)等于()A(1)(1)B1()C1(1)D1(1)【答案】B【解析】顯然P(X>x2),P(X<x1).由概率分布列的性質(zhì)可知P(x1Xx2)1P(X>x2)P(X<x1)1. 12從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回地摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為X,已知E(X)3,則D(X)()ABCD二、填空題13已知隨機(jī)變量X的概率分別為p1,p2,p3,且依次成等差數(shù)列,則公差d的取值范圍是_【答案】14口袋中有5只球,編號(hào)為1,2,3,4,5,從中任意取3只球,以X表示取出的球的最大號(hào)碼,則X的分布列為_【答案】X345P0.10.30.6【解析】X的可能取值為3,4,5.又P(X3),P(X4),P(X5).隨機(jī)變量X的分布列為X345P0.10.30.615在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球,從中隨機(jī)取一球,記下它的顏色,然后放回,再取一球,又記下它的顏色,寫出這兩次取出白球數(shù)的分布列為_【答案】012P【解析】的所有可能值為0,1,2.P(0),P(1),P(2).的分布列為012P16某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng),凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng),具體規(guī)則如下:每人最多可射擊3次,一旦擊中,則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊,否則一直射擊到3次為止設(shè)甲每次擊中的概率為p(p0),射擊次數(shù)為Y,若Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)>,則P的取值范圍是_【答案】. 【解析】由已知得P(Y1)p,P(Y2)(1p)p,P(Y3)(1p)2,則E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p3>,解得p>或p<,又p(0,1),所以p.三、解答題17有編號(hào)為1,2,3,n的n個(gè)學(xué)生,入坐編號(hào)為1,2,3,n的n個(gè)座位,每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位,設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,已知X2時(shí),共有6種坐法(1)求n的值(2)求隨機(jī)變量X的概率分布列. 【答案】(1)4;(2)見解析所以X的概率分布列為:X0234P18.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(gè)(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列. 【答案】(1) ;(2)見解析綜上知,X的分布列為X012P19PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3 0952 012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)從某自然保護(hù)區(qū)2015年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示:PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽出3天,求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率;(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),記表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求的分布列【答案】(1) ;(2)見解析。【解析】(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽出3天,恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A,則P(A).(2)依據(jù)條件,服從超幾何分布,其中N10,M3,n3,且隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0),P(1),P(2),P(3). 因此的分布列為0123P20在一袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4),現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求X的分布列、期望和方差;(2)若YaXb,E(Y)1,D(Y)11,試求a,b的值【答案】(1)見解析;(2) 或21為吸引顧客,某公司在商場(chǎng)舉辦電子游戲活動(dòng)對(duì)于A,B兩種游戲,每種游戲玩一次均會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果,而且每次游戲的結(jié)果相互獨(dú)立,具體規(guī)則如下:玩一次游戲A,若綠燈閃亮,獲得50分,若綠燈不閃亮,則扣除10分(即獲得10分),綠燈閃亮的概率為;玩一次游戲B,若出現(xiàn)音樂,獲得60分,若沒有出現(xiàn)音樂,則扣除20分(即獲得20分),出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計(jì)積分達(dá)到130分可以兌換獎(jiǎng)品(1)記X為玩游戲A和B各一次所得的總分,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)某人玩5次游戲B,求該人能兌換獎(jiǎng)品的概率【答案】(1)見解析;(2) 所以X的分布列為X110503030P故E(X)11050303032.(2)設(shè)某人玩5次游戲B的過程中,出現(xiàn)音樂n次(0n5,nN*),則沒出現(xiàn)音樂5n次,依題意得60n20(5n)130,解得n,所以n3或4或5.設(shè)“某人玩5次游戲B能兌換獎(jiǎng)品”為事件M,則P(M)CC.22.為迎接2022年北京冬奧會(huì),推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng),設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為,;1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為,;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望E(),方差D(). 【答案】(1) ;(2)80,(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為,可能取值為0,40,80,120,160,則:P(0);P(40);P(80);P(120);P(160).的分布列為04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.

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