2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差 理.doc

專題38 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差一、考綱要求：1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.4.會(huì)求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)：1.求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：(1）找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i1，2，3，n)；(2）求出各個(gè)取值的概率P(Xxi)pi；(3）列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，超幾何分布的特征：(1）考察對(duì)象分兩類；(2）已知各類對(duì)象中個(gè)體的個(gè)數(shù)；(3）從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察抽取到的某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.4.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值.(2）求X取每個(gè)值時(shí)的概率.(3）寫出X的分布列.(4）由均值的定義求E(X).(5）由方差的定義求D(X).5.利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個(gè)方略(1）當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問題作出判斷.(2）若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國(guó)卷I） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0p1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f （p）的最大值點(diǎn)p0（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；（）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】見解析（2）（i）由（1）知p=0.1，令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知YB（180，0.1），X=202+25Y，即X=40+25Y，E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+251800.1=490（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元，E（X）=490400，應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)例2.（2018北京卷）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立（）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；（）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡“k=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關(guān)系【答案】見解析（）設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”，第四類獲得好評(píng)的有：2000.25=50部，第五類獲得好評(píng)的有：8000.2=160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率：P（B）=0.35（）由題意知，定義隨機(jī)變量如下：k=，則k服從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下：第一類電影： 1 1 0 P 0.4 0.6E（1）=10.4+00.6=0.4，D（1）=（10.4）20.4+（00.4）20.6=0.24第二類電影： 2 1 0 P 0.2 0.8E（2）=10.2+00.8=0.2，D（2）=（10.2）20.2+（00.2）20.8=0.16第三類電影： 3 1 0 P 0.15 0.85E（3）=10.15+00.85=0.15，D（3）=（10.15）20.15+（00.85）20.85=0.1275第五類電影： 5 1 0 P 0.2 0.8E（5）=10.2+00.8=0.2，D（5）=（10.2）20.2+（00.2）20.8=0.16第六類電影： 6 1 0 P 0.1 0.9E（6）=10.1+00.9=0.1，D（5）=（10.1）20.1+（00.1）20.9=0.09方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關(guān)系為：D6D3D2=D5D4D1 例6.(2017山東卷節(jié)選)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列【答案】(1) ；(2)見解析因此X的分布列為X01234P例7. (2017天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率【答案】(1) ；(2) 【解析】(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.例8. (2016四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是_【答案】【解析】法一：先求出成功次數(shù)X的分布列，再求均值由題意可知每次試驗(yàn)不成功的概率為，成功的概率為，在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X0)，P(X1)C，P(X2).所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列為X012P則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)012.法二：此試驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布，其中p，所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)np2.離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差練習(xí)題一、選擇題1設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0BCD【答案】C2若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2c38c則常數(shù)c的值為()A或BCD1【答案】C【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知得c.3在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是() AP(X2)BP(X2)CP(X4)DP(X4)【答案】C【解析】X服從超幾何分布，故P(Xk)，k4.4若離散型隨機(jī)變量X的分布列為()X01P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)()A2B2或CD1【答案】C5已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA5B6C7D8【答案】C【解析】由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4，E(X)40.5a0.190.46.3，a7.6已知隨機(jī)變量滿足E(1)5，D(1)5，則下列說法正確的是()AE()5，D()5BE()4，D()4CE()5，D()5DE()4，D()5【答案】D【解析】因?yàn)镋(1)1E()5，所以E()4.D(1)(1)2D()5，所以D()5，故選D.7已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)(i1,2,3,4)，則P(2X4)等于()ABCD【答案】B8若隨機(jī)變量X的分布列為X210123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2B1,2C(1,2D(1,2)【答案】C【解析】由隨機(jī)變量X的分布列知P(X<1)0.1，P(X<0)0.3，P(X<1)0.5，P(X<2)0.8，P(X2)0.1，則當(dāng)P(X<a)0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,29罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為() ABCD【答案】B【解析】因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?，所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則XB，所以D(X)4.10已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)的次數(shù)為，則E()()A3BCD4【答案】B【解析】的可能取值為2,3,4，P(2)，P(3)，P(4)，則E()234，故選B11若P(Xx2)1，P(Xx1)1，其中x1<x2，則P(x1Xx2)等于()A(1)(1)B1()C1(1)D1(1)【答案】B【解析】顯然P(X>x2)，P(X<x1).由概率分布列的性質(zhì)可知P(x1Xx2)1P(X>x2)P(X<x1)1. 12從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X)3，則D(X)()ABCD二、填空題13已知隨機(jī)變量X的概率分別為p1，p2，p3，且依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_【答案】14口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的分布列為_【答案】X345P0.10.30.6【解析】X的可能取值為3,4,5.又P(X3)，P(X4)，P(X5).隨機(jī)變量X的分布列為X345P0.10.30.615在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)的分布列為_【答案】012P【解析】的所有可能值為0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列為012P16某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止設(shè)甲每次擊中的概率為p(p0)，射擊次數(shù)為Y，若Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)>，則P的取值范圍是_【答案】. 【解析】由已知得P(Y1)p，P(Y2)(1p)p，P(Y3)(1p)2，則E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p3>，解得p>或p<，又p(0,1)，所以p.三、解答題17有編號(hào)為1,2,3，n的n個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為1,2,3，n的n個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X2時(shí)，共有6種坐法(1)求n的值(2)求隨機(jī)變量X的概率分布列. 【答案】(1)4；(2)見解析所以X的概率分布列為：X0234P18.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(gè)(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列. 【答案】(1) ；(2)見解析綜上知，X的分布列為X012P19PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3 0952 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)從某自然保護(hù)區(qū)2015年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列【答案】(1) ；(2)見解析。【解析】(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，則P(A).(2)依據(jù)條件，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3). 因此的分布列為0123P20在一袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值【答案】(1)見解析；(2) 或21為吸引顧客，某公司在商場(chǎng)舉辦電子游戲活動(dòng)對(duì)于A，B兩種游戲，每種游戲玩一次均會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨(dú)立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲A，若綠燈閃亮，獲得50分，若綠燈不閃亮，則扣除10分(即獲得10分)，綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲B，若出現(xiàn)音樂，獲得60分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除20分(即獲得20分)，出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計(jì)積分達(dá)到130分可以兌換獎(jiǎng)品(1)記X為玩游戲A和B各一次所得的總分，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)某人玩5次游戲B，求該人能兌換獎(jiǎng)品的概率【答案】(1)見解析；(2) 所以X的分布列為X110503030P故E(X)11050303032.(2)設(shè)某人玩5次游戲B的過程中，出現(xiàn)音樂n次(0n5，nN*)，則沒出現(xiàn)音樂5n次，依題意得60n20(5n)130，解得n，所以n3或4或5.設(shè)“某人玩5次游戲B能兌換獎(jiǎng)品”為事件M，則P(M)CC.22.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng)該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望E()，方差D(). 【答案】(1) ；(2)80，(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為0,40,80,120,160，則：P(0)；P(40)；P(80)；P(120)；P(160).的分布列為04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.