高中數(shù)學(xué) 雙曲線 經(jīng)典例題 分類指導(dǎo)

例題定義類1，已知，一曲線上的動點(diǎn)到距離之差為6，則雙曲線的方程為 點(diǎn)撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支 ，的軌跡是雙曲線的右支.其方程為2雙曲線的漸近線為，則離心率為 點(diǎn)撥：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，3 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其他兩觀測點(diǎn)晚4s. 已知各觀測點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)【解題思路】時(shí)間差即為距離差，到兩定點(diǎn)距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線型的解析如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點(diǎn)，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，ABCPOxy依題意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處.【名師指引】解應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學(xué)模型”4 設(shè)P為雙曲線上的一點(diǎn)F1、F2是該雙曲線的兩個焦點(diǎn)，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故選B。5如圖2所示，為雙曲線的左焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，選C6. P是雙曲線左支上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（ ）（A）（B）（C）（D）解析設(shè)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為，由圓的切線性質(zhì)知，7，若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實(shí)半軸為，故選A.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，2）.求雙曲線C的方程【解題思路】運(yùn)用方程思想，列關(guān)于的方程組解析 解法一：設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點(diǎn)（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.解法二：設(shè)雙曲線方程為1，將點(diǎn)（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1.2.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 解析設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，化為，綜上，雙曲線方程為或3.以拋物線的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn),且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.解析 拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為4.已知點(diǎn)，動圓與直線切于點(diǎn)，過、與圓相切的兩直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A BC（x > 0） D解析，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支，選B與漸近線有關(guān)的問題1若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則雙曲線的離心率為 （ ）A. B. C. D.【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系解析 焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，故，,所以【名師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系,通過的比例關(guān)系可以求離心率,也可以求漸近線方程2. 雙曲線的漸近線方程是 ( )A. B. C. D. 解析選C3.焦點(diǎn)為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D解析從焦點(diǎn)位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B4，過點(diǎn)（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設(shè)所求雙曲線為點(diǎn)（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點(diǎn)，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實(shí)、虛軸的位置.5 設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實(shí)軸的任一弦，求證它的兩端點(diǎn)與實(shí)軸任一頂點(diǎn)的連線成直角.【證明】如圖設(shè)等軸雙曲線方程為，直線CD：y=m.代入（1）：.故有：.取雙曲線右頂點(diǎn).那么：.即CBD=90°.同理可證：CAD=90°.幾何1設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C. D【解析】雙曲線的實(shí)、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1P F2=90°.選B.求弦1雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點(diǎn)為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：2 在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證.由這里，故方程（2）無實(shí)根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點(diǎn)：只有當(dāng)時(shí)才可能求出k=2.若.說明這時(shí)直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.換遠(yuǎn)（壓軸題）1如圖，點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，已知，且線段PF的中點(diǎn)在雙曲線的左支上.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍. 【分析】第（）問中，線段PF的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是主要變量，其它都是輔助變量.注意到點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以利用中點(diǎn)公式是設(shè)參消參的主攻方向 第（）中，直線的斜率是主要變量，其它包括都是輔助變量. 斜率的幾何意義是有關(guān)直線傾斜角的正切，所以設(shè)置直線的參數(shù)方程，而后將參數(shù)用的三角式表示，是一個不錯的選擇.【解析】（）設(shè)所求雙曲線為：.其左焦點(diǎn)為F（-c。0）；左準(zhǔn)線：.由，得P（，1）；由FP的中點(diǎn)為.代入雙曲線方程： 根據(jù)（1）與（2）.所求雙曲線方程為. （）設(shè)直線的參數(shù)方程為：.代入得：當(dāng)，方程（3）總有相異二實(shí)根，設(shè)為. 已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn)，.于是：.注意到在上是增函數(shù)，（4）代入（5）： 雙曲線的漸近線斜率為，故直線與雙曲線的左右兩支分別交必須.綜合得直線的斜率的取值范圍是.練習(xí)題1已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直線l不存在 2已知雙曲線,問過點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。3已知點(diǎn)N（1，2），過點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？解：（1）設(shè)直線AB：代入得 （） 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根 且 N是AB的中點(diǎn) k = 1 AB方程為：y = x + 1 （2）將k = 1代入方程（）得 或 由得， ， CD垂直平分AB CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 令，及CD中點(diǎn)則， ， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距離相等 A、B、C、D四點(diǎn)共圓4. 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，（1）求雙曲線的漸近線方程（2）直線過焦點(diǎn)且垂直于x軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程 解析（1）依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，（2）設(shè)漸近線與直線交于A、B，則，解得即，又，雙曲線的方程為5.已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn),點(diǎn)是雙曲線右支上的一個動點(diǎn),且的最小值為,雙曲線的一條漸近線方程為. 求雙曲線的方程;解析,.的一條漸進(jìn)線方程為 ，又 由得6.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B且（其中為原點(diǎn)），求k的取值范圍解（1）設(shè)雙曲線方程為由已知得，再由，得故雙曲線的方程為.（2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點(diǎn)得 即且. 設(shè)，則，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范圍為7 已知雙曲線C：的兩個焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且（1）求雙曲線的離心率；（2）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于兩點(diǎn)，若，求雙曲線C的方程（1）設(shè)，則，（2）由（1）知，故，從而雙曲線的漸近線方程為，依題意，可設(shè)，由，得 由，得，解得點(diǎn)在雙曲線上，又，上式化簡得 由，得，從而得故雙曲線C的方程為XOY5-52·8已知動圓與圓C1:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=1都外切， （1）求動圓圓心P的軌跡方程。 解：（1）從已知條件可以確定圓C1、C2的圓心與半徑。 兩圓外切可得：兩圓半徑和圓心距 動圓半徑r,依題意有 7r|PC1|,1r|PC2|，兩式相減得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由雙曲線定義得：點(diǎn)P的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。（x3） （2）若動圓P與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切，則動圓圓心P的軌跡是 （雙曲線右支） 若動圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動圓圓心P的軌跡是 （雙曲線左支） 若把圓C1的半徑改為1，那么動圓P的軌跡是 。（兩定圓連心線的垂直平分線）18已知直線與雙曲線交于、點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由。解：（1）由消去，得（1）依題意即且（2）（2）設(shè)，則 以AB為直徑的圓過原點(diǎn) 但 由（3）（4）， 解得且滿足（2）（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使A、B關(guān)于對稱，則直線與垂直 ，即 直線的方程為將代入（3）得 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2 縱坐標(biāo)為 但AB中點(diǎn)不在直線上，即不存在實(shí)數(shù)，使A、B關(guān)于直線對稱。9(1)橢圓C:(ab0)上的點(diǎn)A(1,)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動點(diǎn), F1是左焦點(diǎn), 求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn), 當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時(shí)，那么是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。解：(1) (2)設(shè)中點(diǎn)為(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 Þ (3)設(shè)M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xox1 則 為定值.10. 已知雙曲線方程為與點(diǎn)P(1,2),（1）求過點(diǎn)P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。 (2) 過點(diǎn)P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若P為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；（3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=±時(shí)，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k±時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個實(shí)根，l與C有一個交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k±,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與有交點(diǎn)，所以以P為中點(diǎn)的弦為：.(3)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.11已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直線l不存在 12已知雙曲線,問過點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因?yàn)锳（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯解沒有做到這一點(diǎn)，故是錯誤的。 應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。1.解：（1）易知 （2） 先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線Lox軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且 猜想：當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn) 證明：設(shè)，當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N KAN=KEN A、N、E三點(diǎn)共線 同理可得B、N、D三點(diǎn)共線 AE與BD相交于定點(diǎn)(文)解：（1）易知 （2）(文) 設(shè) KAN=KEN A、N、E三點(diǎn)共線2.解：（1） NP為AM的垂直平分線， |NA|=|NM|又 動點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓且橢圓長軸長為曲線E的方程為（2）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得 由設(shè) 又 整理得 又 又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為即所求的取值范圍是3. 解：設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0） （0，b）知 設(shè)，得因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2c2)=3ac，,故橢圓的離心率e=由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求橢圓方程為