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2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心高效演練學(xué)案.doc

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2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心高效演練學(xué)案.doc

第2講 三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心三角形是最重要的基本平面圖形,它包含了豐富的知識(shí),也蘊(yùn)含了深刻的思想,很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系,因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 初中階段大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內(nèi)角平分線的一些性質(zhì)。如三角形角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等;三角形邊的垂直平分線上的點(diǎn)到這條邊兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,諸如此類。在高中學(xué)習(xí)中,還會(huì)涉及到三角形三條中線交點(diǎn)(重心)、三條高線交點(diǎn)(垂心)、三條邊的垂直平分線交點(diǎn)(外心)及三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)(內(nèi)心)的問(wèn)題,因而有必要進(jìn)一步了解它們的性質(zhì)。【知識(shí)梳理】三角形的四心(1)角平分線:三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,它到三角形各邊的距離相等(2)高線:三角形的三條高線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的垂心(3)中線:三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的重心(4)垂直平分線:三角形的三條垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)叫做三角形的外心,外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【高效演練】1如圖所示,在ABC中,點(diǎn)P是ABC的內(nèi)心,則PBCPCAPAB 度2設(shè)為的重心,且,則的面積為 【解析】由,有,知兩中線,垂直于是【答案】183已知、分別為銳角的垂心和外心,垂足為,則_【解析】可延長(zhǎng)交的外接圓于,證明四邊形為平行四邊形即可【答案】214. 如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,在OB上任取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,過(guò)D作AP垂線交OA于Q點(diǎn)求證:OPOQ【解析】 在APD中,由AOPD,DQAP可知,點(diǎn)Q是APD的垂心,連結(jié)PQ,必有PQADABAD,PQBA,又OAOB,OPOQ5. 如圖3,在ABC中,ABAC,過(guò)BC的中點(diǎn)D作DEAC于點(diǎn)E,G是DE的中點(diǎn),求證:AGBE 6.求證:三角形的三條高交于一點(diǎn).已知 中,AD與BE交于H點(diǎn).求證 .證明 以CH為直徑作圓,在以CH為直徑的圓上,.同理,E、D在以AB為直徑的圓上,可得.,又與有公共角,即.7.(1)設(shè)G是ABC的重心,證明:GBC,GAC,GAB的面積相等(2)利用(1)的結(jié)論,證明:三角形頂點(diǎn)到重心的距離,等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍【分析】(1)設(shè)三條中線為AD,BE,CF,三中線交于G點(diǎn),G是重心,由同底等高得到SGBC=2SGCD,SGAC=2SGCD,由此能證明GBC,GAC,GAB的面積相等(2)設(shè)三條中線為AD,BE,CF,三中線交于G點(diǎn),G是重心,由SGBC=SGAC,SGBC=2SGCD,得到SGAC=2SGCD,由此能證明三角形頂點(diǎn)到重心的距離,等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍(2)證明:設(shè)三條中線為AD,BE,CF,三中線交于G點(diǎn),G是重心,GBC,GAC,GAB的面積相等,SGBC=SGAC,BD=CD,SGBC=2SGCD,SGAC=2SGCD,AGC和DGC在分別以AG和DG為底時(shí),高都是點(diǎn)C到邊AD的距離,AG=2GD,同理可證CG=2GF,BG=2GE,三角形頂點(diǎn)到重心的距離,等于重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積相等的證明,考查三角形重心定理的證明,解題時(shí)要注意三角形面積公式的合理運(yùn)用8.已知三角形的三邊a,b,c,三角形的重心到外接圓的距離為d,外接圓半徑為R,求證:a2+b2+c2+9d2=9R2【分析】以ABC的外心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,可令A(yù)、B、C的坐標(biāo)依次是:(Rcos,Rsin)、(Rcos,Rsin)、(Rcos,Rsin)令A(yù)B中點(diǎn)為D、ABC的重心為G(m,n),求出m,n,進(jìn)而可證明a2+b2+c2+9d2=9R2于是:a2=(RcosRcos)2+(RsinRsin)2=R2(22coscos2sinsin)b2=(RcosRcos)2+(RsinRsin)2=R2(22coscos2sinsin),c2=(RcosRcos)2+(RsinRsin)2=R2(22coscos2sinsin)9d2=9(m0)2+(n0)2=9R(cos+cos+cos)02+R(sin+sin+sin)02=R2(cos+cos+cos)2+(sin+sin+sin)2=R2(3+2coscos+2coscos+2coscos+2sinsin+2sinsin+2sinsin)a2+b2+c2+9d2=9R29.一條直線截三角形,把周長(zhǎng)與面積分為對(duì)應(yīng)的兩部分:與,與求證:直線過(guò)三角形內(nèi)心的充要條件是【解析】證明: 必要性:如圖1,設(shè)是的內(nèi)心,過(guò)的直線交于,交于記, ,內(nèi)切圓半徑為,則,由,有充分性:設(shè)直線把的周長(zhǎng)與面積分為對(duì)應(yīng)的兩部分成等比,且與交于,與交,與的平分線交于記,到,的距離為,到的距離為由得注意到,從而有,即,故為的內(nèi)心,即直線過(guò)內(nèi)心

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