2018-2019年高中數學 第二章 隨機變量及其分布 2-3-1 離散型隨機變量的均值隨堂達標驗收 新人教A版選修2-3.doc

2-3-1 離散型隨機變量的均值1若隨機變量B(n,0.6)，且E()3，則P(1)的值是()A20.44 B20.45C30.44 D30.64解析因為B(n,0.6)，所以E()n0.6，故有0.6n3，解得n5，P(1)C0.60.4430.44.答案C2設的分布列為1234P又設25，則E()等于()A. B. C. D.解析E()1234，E()E(25)2E()525.答案D3同時拋擲5枚均勻的硬幣80次，設5枚硬幣正好出現2枚正面向上，3枚反面向上的次數為X，則X的均值是()A20 B25 C30 D40解析拋擲一次正好出現3枚反面向上，2枚正面向上的概率為，所以X，故E(X)8025.答案B4馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布列如下表：x123P(x)？??？請小牛同學計算的數學期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數值相同據此，小牛給出了正確答案E()_.解析令“？”為a，“！”為b，則2ab1，E()a2b3a2(2ab)2.答案2課內拓展課外探究1常用分布的均值(1)兩點分布由數學期望的定義可以知道，若隨機變量X服從參數為p的兩點分布，則E(X)1p0(1p)p，這表明在一次兩點分布試驗中，離散型隨機變量X的期望取值為p. 已知隨機變量滿足P(1)0.3，P(0)0.7，則E()()A0.3 B0.6C0.7 D1解析根據題意知隨機變量服從兩點分布，所以E()0.3答案A點評兩點分布的隨機變量的取值為0,1，均值E()p1(1p)0p.(2)二項分布設離散型隨機變量X服從參數為n和p的二項分布，由X的分布列P(Xk)Cpkqnk，k0,1,2，n和數學期望的定義式得到E(X)0Cp0qn1Cp1qn12Cp2qn2kCpkqnknCpnq0np(Cp0qn1Cp1qn2Cpk1q(n1)(k1)Cpn1q0)np(pq)n1np，所以E(X)np.注意：在上述證明中運用了公式kCnC. 一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)解(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6.P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應的概率為P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8.(3)超幾何分布若離散型隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布，則E(X).注意：超幾何分布的期望公式證明如下：由公式kCnC立刻可以得到CC.下面我們來求超幾何分布的期望，設隨機變量X服從參數為N，M，n的超幾何分布，則X的分布列為P(Xm)(m0,1，l，l為n和M中較小的一個)同二項分布類比，我們猜想它的期望可能是n.由數學期望的定義式得E(X)P(Xm)Cnn(令m1i)n.上式中C可以看作N1件產品中有n1件次品，從中任取M1件(MN)，其中恰有i件次品的概率，所以對于i0,1，l1求和得1. 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設隨機變量X表示所選3人中女生的人數，(1)求X的均值；(2)求“所選3人中女生人數X1”的概率解解法一：(1)依題意知，X的可能取值為0、1、2，且P(Xk)，k0,1,2，故X的分布列如下表所示.X012P從而E(X)0121.(2)P(X1)P(X0)P(X1).解法二：(1)依其數學模型知，X服從超幾何分布，且n2，M3，N6，則E(X)1.(2)P(X1)1P(X2)11.點評解法二直接應用超幾何分布的均值公式，使計算更為簡單