2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

第二章 概率1求離散型隨機(jī)變量的概率分布的方法對(duì)離散型隨機(jī)變量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么準(zhǔn)確寫(xiě)出概率分布顯得至關(guān)重要下面就談一下如何準(zhǔn)確求解離散型隨機(jī)變量的概率分布1弄清“隨機(jī)變量的取值”弄清“隨機(jī)變量的取值”是第一步確定隨機(jī)變量的取值時(shí)，要做到準(zhǔn)確無(wú)誤，特別要注意隨機(jī)變量能否取0的情形另外，還需注意隨機(jī)變量是從幾開(kāi)始取值，每種取值對(duì)應(yīng)幾種情況例1從4張標(biāo)有1,2,3,4的卡片中任意取出兩張，若表示這兩張卡片之和，請(qǐng)寫(xiě)出的可能取值及指出此時(shí)表示的意義分析從標(biāo)有1,2,3,4的四張卡片中取兩張，表示兩張卡片之和，則首先弄清共有幾種情況，再分別求和解的可能取值為3,4,5,6,7，其中3表示取出分別標(biāo)有1,2的兩張卡片；4表示取出分別標(biāo)有1,3的兩張卡片；5表示取出分別標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片；6表示取出分別標(biāo)有2,4的兩張卡片；7表示取出分別標(biāo)有3,4的兩張卡片2弄清事件類(lèi)型計(jì)算概率前要確定事件的類(lèi)型，同時(shí)正確運(yùn)用排列與組合知識(shí)求出相應(yīng)事件的概率例2以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)甲組乙組9909891110分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)Y的概率分布分析由莖葉圖可知兩組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)，則可得分別從甲、乙兩組同學(xué)中隨機(jī)選取一名同學(xué)，兩同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)的所有可能取值，由古典概型可求概率解由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹(shù)棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4416(種)可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹(shù)總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹(shù)9棵，乙組選出的同學(xué)植樹(shù)8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)，P(Y19)，P(Y20)，P(Y21).所以隨機(jī)變量Y的概率分布為Y1718192021P3.注意驗(yàn)證隨機(jī)變量的概率之和是否為1通過(guò)驗(yàn)證概率之和是否為1，可以檢驗(yàn)所求概率是否正確，還可以檢驗(yàn)隨機(jī)變量的取值是否出現(xiàn)重復(fù)或遺漏例3盒中裝有大小相同的10個(gè)小球，編號(hào)分別為0,1,2，9，從中任取1個(gè)小球，規(guī)定一個(gè)隨機(jī)變量X，用“Xx1”表示小球的編號(hào)小于5；“Xx2”表示小球的編號(hào)等于5；“Xx3”表示小球的編號(hào)大于5，求X的概率分布解隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，x3，且P(Xx1)，P(Xx2)，P(Xx3).故X的概率分布如下.Xx1x2x3P點(diǎn)評(píng)隨機(jī)變量的概率分布是我們進(jìn)一步解決隨機(jī)變量有關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此準(zhǔn)確寫(xiě)出隨機(jī)變量的概率分布是很重要的，為了保證它的準(zhǔn)確性，我們可以利用i1進(jìn)行檢驗(yàn).2獨(dú)立事件與互斥事件辨析相互獨(dú)立事件與互斥事件是兩個(gè)完全不同的概念，但同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中容易混淆這兩個(gè)概念，而導(dǎo)致錯(cuò)誤下面結(jié)合例題加以分析幫助同學(xué)們正確區(qū)分這兩個(gè)概念1把握互斥事件中的“有一個(gè)發(fā)生”求互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，即互斥事件中的每一個(gè)事件發(fā)生都會(huì)使所求事件發(fā)生，應(yīng)用的是互斥事件概率加法公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)例1李老師正在寫(xiě)文章的時(shí)候，身邊的電話突然響了起來(lái)若電話響第1聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.1，響第2聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.15，響第3聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.5，響第4聲時(shí)被接聽(tīng)的概率為0.22，那么在電話響前4聲內(nèi)被接聽(tīng)的概率是多少？分析在電話響前4聲內(nèi)李老師接電話的事件包括：打進(jìn)的電話“響第1聲時(shí)被接聽(tīng)”，“響第2聲時(shí)被接聽(tīng)”，“響第3聲時(shí)被接聽(tīng)”，“響第4聲時(shí)被接聽(tīng)”這4個(gè)事件，而且只要有一個(gè)事件發(fā)生，其余的事件就不可能發(fā)生，從而求電話在響前4聲內(nèi)李老師接聽(tīng)的概率問(wèn)題即為互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率問(wèn)題解李老師在電話響前4聲內(nèi)接聽(tīng)的概率P0.10.150.50.220.97.2把握相互獨(dú)立事件中的“同時(shí)發(fā)生”相互獨(dú)立事件即是否發(fā)生相互之間沒(méi)有影響的事件求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，應(yīng)用的是相互獨(dú)立事件的概率乘法公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)例2甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響求：(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率解記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi，i1,2,3.依題意得P(Ai)0.7，P(Bi)0.6，且Ai與Bi相互獨(dú)立(1)“甲第三次試跳才成功”為事件12A3，所以P(12A3)P(1)P(2)P(A3)0.30.30.70.063.所以甲第三次試跳才成功的概率為0.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件C.P(C)1P(11)1P(1)P(1)10.30.40.88.所以甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.點(diǎn)評(píng)本題考查事件的獨(dú)立性，以及互斥事件和對(duì)立事件等知識(shí)，關(guān)鍵在于理解事件的性質(zhì)，然后正確運(yùn)用相應(yīng)的概率公式加以求解歸納總結(jié)1對(duì)于事件A、B，如果事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，則稱(chēng)這兩個(gè)事件為相互獨(dú)立事件如甲袋中裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙袋中裝有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從這兩個(gè)袋中分別摸出一個(gè)球，把“從甲袋中摸出1個(gè)球，得到白球”記為事件A，把“從乙袋中摸出1個(gè)球，得到白球”記為事件B，顯然A與B互相獨(dú)立2弄清事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”的區(qū)別兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響3理解并運(yùn)用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件A與B相互獨(dú)立，那么下列各對(duì)事件：A與，與B，與也都相互獨(dú)立4牢記公式的應(yīng)用條件，準(zhǔn)確、靈活地運(yùn)用公式5認(rèn)真審題，找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，提高解題能力如“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”等.3概率題易錯(cuò)點(diǎn)剖析概率內(nèi)容的新概念較多，相近概念容易混淆，本文就學(xué)生易犯錯(cuò)誤作如下總結(jié)：1“非等可能”與“等可能”混同例1擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率錯(cuò)解擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和有2,3,4，12共11種基本事件，所以概率為P.錯(cuò)因剖析以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)之和為2只有(1,1)，而點(diǎn)數(shù)之和為6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5種事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P.2“互斥”與“對(duì)立”混同例2把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是_(填序號(hào))對(duì)立事件； 不可能事件；互斥但不對(duì)立事件； 以上均不對(duì)錯(cuò)解錯(cuò)因剖析本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”混同，要準(zhǔn)確解答這類(lèi)問(wèn)題，必須搞清對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別，這二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；(2)互斥的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件；(3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表明它們有且僅有一個(gè)發(fā)生事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)也不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)填.正解3“互斥”與“獨(dú)立”混同例3甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？錯(cuò)解設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，P(AB)P(A)P(B)C0.820.2C0.720.30.825.錯(cuò)因剖析本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，將“兩人都恰好投中2次”理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和正解設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是P(AB)P(A)P(B)C0.820.2C0.720.30.169.點(diǎn)評(píng)例3錯(cuò)誤的原因在于把兩事件互斥與兩事件相互獨(dú)立混同互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生與否沒(méi)有影響它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同的4“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(AB)”混同例4袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃球的概率錯(cuò)解記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，所以P(C)P(B|A).錯(cuò)因剖析本題錯(cuò)誤在于P(AB)與P(B|A)的含義沒(méi)有弄清，P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時(shí)發(fā)生的概率；而P(B|A)表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率正解P(C)P(AB)P(A)P(B|A).5混淆有放回與不放回致錯(cuò)例5某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回，求：(1)恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率；(2)恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率f(k)的最大值和最小值錯(cuò)解(1)P.(2)P5(3)C320.132 3.錯(cuò)因剖析錯(cuò)解(1)的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解(2)的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個(gè))正解(1)P.(2)P(k1)(k2)(3k10，kZ)，當(dāng)k3時(shí)，f(k)minf(3)；當(dāng)k10時(shí)，f(k)maxf(10).4概率問(wèn)題與其他知識(shí)的交匯概率和其他知識(shí)整合的題目近年來(lái)頻頻出現(xiàn)在各類(lèi)考試中，這類(lèi)題目覆蓋面廣，交匯性強(qiáng)，用到的數(shù)學(xué)思想和方法比較多，對(duì)能力要求較高，我們要給予充分關(guān)注，并注意總結(jié)解題方法1概率與函數(shù)例1在多項(xiàng)飛碟運(yùn)動(dòng)中，允許運(yùn)動(dòng)員射擊兩次運(yùn)動(dòng)員每一次射擊命中碟靶的概率p與運(yùn)動(dòng)員離碟靶的距離s(米)成反比，且距離s(米)與碟靶飛行時(shí)間t(秒)滿足s15(t1)(0t4)現(xiàn)有一碟靶拋出后，某運(yùn)動(dòng)員在碟靶飛出0.5秒時(shí)進(jìn)行第一次射擊命中的概率為0.8；如果他發(fā)現(xiàn)沒(méi)有命中，則迅速調(diào)整，在第一次射擊后再經(jīng)過(guò)0.5秒進(jìn)行第二次射擊，求此運(yùn)動(dòng)員命中碟靶的概率解設(shè)p (k為常數(shù))，則p (0t4)，依題意當(dāng)t0.5時(shí)，p10.8，則k18，所以p，當(dāng)t1時(shí)，p20.6.故此人命中碟靶的概率為pp1(1p1)p20.8(10.8)0.60.92.點(diǎn)評(píng)此題為條件概率問(wèn)題(要注意第二次射擊的前提)，兩次射擊可以理解為(有條件的)互斥事件2概率與不等式例2某商店采用“購(gòu)物摸球中獎(jiǎng)”的促銷(xiāo)活動(dòng)，球袋中裝有10個(gè)球，號(hào)碼為n(1n10，nN*)的球的重量為f(n)n29n21，現(xiàn)有兩種摸球方案：摸球1個(gè)，若球的重量小于該球的號(hào)碼數(shù)，則中獎(jiǎng)；一次摸出兩個(gè)球，若兩球的重量相等，則中獎(jiǎng)試比較兩種摸獎(jiǎng)方案的中獎(jiǎng)概率的大小解方案，球的重量小于號(hào)碼數(shù)，即n29n21<n，解得3<n<7 (nN*)，故n的取值為4,5,6，中獎(jiǎng)概率為p10.3；方案，若第n號(hào)球與第m號(hào)球重量相等(n<m)，則有n29n21m29m21，即(nm)(mn9)0，故mn9 (n可取值1,2,3,4)，中獎(jiǎng)概率為p2.顯然p1>p2，即方案的中獎(jiǎng)概率大點(diǎn)評(píng)解決此類(lèi)問(wèn)題需要先求不等式的整數(shù)解(實(shí)際問(wèn)題的要求)，再計(jì)算中獎(jiǎng)概率3概率與遞推數(shù)列例3A、B兩人拿兩個(gè)骰子做拋擲游戲，規(guī)定：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原拋擲者繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)就由對(duì)方接著擲，第一次由A開(kāi)始擲，設(shè)第n次由A擲的概率為pn，求pn的表達(dá)式解第n次由A擲有兩種情況：第n1次由A擲，第n次繼續(xù)由A擲，此時(shí)概率為pn1；第n1次由B擲，第n次由A擲，此時(shí)概率為(1pn1)故有pnpn1(1pn1)(n2)，即pnpn1(n2)令pnx(pn1x)，整理可得x，故pn(n2)，又p11，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是pnn1，即pnn1.點(diǎn)評(píng)弄清pn與pn1的關(guān)系并建立遞推關(guān)系式是問(wèn)題獲得解決的關(guān)鍵.5深析超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系超幾何分布與二項(xiàng)分布都是隨機(jī)變量取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會(huì)發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)課本中對(duì)超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，無(wú)放回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從超幾何分布的而對(duì)二項(xiàng)分布則使用比較容易理解的射擊問(wèn)題來(lái)建立模型若將超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，有放回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的在這里，兩種分布的差別就在于“有”與“無(wú)”的差別，只要將概率模型中的“無(wú)”改為“有”，或?qū)ⅰ坝小备臑椤盁o(wú)”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，許多實(shí)際問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)求解在實(shí)際應(yīng)用中，理解并辨別這兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的下面通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明一下兩者的區(qū)別例1從6名男生和4名女生中，隨機(jī)選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試，試求選出的3名學(xué)生中女生人數(shù)的概率分布解由題意得0,1,2,3.服從參數(shù)為N10，M4，n3的超幾何分布P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，故的概率分布為0123P點(diǎn)評(píng)這是一道超幾何分布的題目，學(xué)生在做的時(shí)候容易把它看成是二項(xiàng)分布問(wèn)題，把事件發(fā)生的概率看作是0.4.例2甲、乙兩人玩秒表游戲，按開(kāi)始鍵，然后隨機(jī)按暫停鍵，觀察秒表最后一位數(shù)，若出現(xiàn)0,1,2,3，則甲贏，若出現(xiàn)6,7,8,9，則乙贏，若出現(xiàn)4,5是平局玩三次，記甲贏的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布解由題意得X0,1,2,3，P(X0)C0.630.216，P(X1)C0.620.40.432，P(X2)C0.60.420.288，P(X3)C0.430.064.故X的概率分布為X0123P0.2160.4320.2880.064點(diǎn)評(píng)這是一道二項(xiàng)分布的題目，學(xué)生容易看成超幾何分布，認(rèn)為X服從N10，M4，n3的超幾何分布二項(xiàng)分布應(yīng)滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果(要么發(fā)生，要么不發(fā)生)任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣每次試驗(yàn)間是相互獨(dú)立的、互不影響的.6三法求均值數(shù)學(xué)期望也稱(chēng)均值，是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，期望的求解策略也有多種，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)闡述1利用定義求均值根據(jù)定義求離散型隨機(jī)變量的均值，首先要求概率分布，然后利用公式E()x1p1x2p2xnpn求解例1一接待中心有A，B，C，D四部熱線電話已知某一時(shí)刻電話A，B占線的概率為0.5，電話C，D占線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響假設(shè)該時(shí)刻有部電話占線，試求隨機(jī)變量的概率分布和它的均值分析先判斷的所有可能取值，再根據(jù)相應(yīng)知識(shí)求概率解由題意知的所有可能取值為0,1,2,3,4.P(0)0.520.620.09，P(1)C0.520.62C0.40.60.520.3，P(2)C0.520.62C0.52C0.40.6C0.420.520.37，P(3)C0.52C0.40.6C0.52C0.420.2，P(4)0.520.420.04.于是得到隨機(jī)變量的概率分布為01234P0.090.30.370.20.04所以E()00.0910.320.3730.240.041.8.點(diǎn)評(píng)均值與概率分布聯(lián)系密切，正確地求出隨機(jī)變量的概率分布，是求均值的關(guān)鍵解題時(shí)，確定隨機(jī)變量取哪些值及相應(yīng)的概率，是利用定義求均值的重點(diǎn)2利用公式求均值有些離散型隨機(jī)變量如果歸結(jié)為兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等常見(jiàn)分布類(lèi)型時(shí)就常使用公式法求均值其中：(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p(p為X的成功概率)(2)若X服從二項(xiàng)分布，即XB(n，p)，則E(X)np.(3)若X服從超幾何分布，則E(X).例2一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的均值解根據(jù)題目所含白球數(shù)X服從參數(shù)N10，M5，n4的超幾何分布，則E(X)2.所以從中任取4個(gè)球所含白球個(gè)數(shù)的均值為2.點(diǎn)評(píng)此題判斷隨機(jī)變量服從哪種分布是關(guān)鍵，再者要弄清公式中參數(shù)的含義3利用性質(zhì)求均值對(duì)于aXb型的隨機(jī)變量一般用性質(zhì)E(aXb)aE(X)b來(lái)求解例3交5元錢(qián)，可以參加一次摸獎(jiǎng)，一袋中有大小相同的球10個(gè)，其中有8個(gè)標(biāo)有1元錢(qián)，2個(gè)標(biāo)有5元錢(qián)，摸獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所摸2球的錢(qián)數(shù)之和求摸獎(jiǎng)人獲利的均值解設(shè)X為摸到的2球錢(qián)數(shù)之和，則X的可能取值為X2(摸到2個(gè)1元)；X6(摸到1個(gè)1元，1個(gè)5元)；X10(摸到2個(gè)5元)故由題意可得P(X2)，P(X6)，P(X10).所以E(X)2610.又設(shè)Y為摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則YX5，所以摸獎(jiǎng)?wù)攉@利的均值E(Y)E(X)51.4.點(diǎn)評(píng)解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出變量Y與X的內(nèi)在聯(lián)系，并正確套用性質(zhì).7用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率講“道理”概率本身就來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到有理說(shuō)不清的情況，如果我們有時(shí)能準(zhǔn)確合理的運(yùn)用概率知識(shí)進(jìn)行分析，通過(guò)嚴(yán)密的分析和詳實(shí)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，往往不僅能把道理講清，而且能把道理講透，講得讓人“心服口服”如果不信，下面我們就不妨用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率來(lái)講兩個(gè)道理道理1：我國(guó)的大教育家孔子曰：“三人行，必有我?guī)熝伞蹦苡酶怕手R(shí)詮釋孔子的這句名言嗎？詮釋?zhuān)核自捳f(shuō)：“三百六十行，行行出狀元”我們不妨把一個(gè)人的才能分成360個(gè)方面因?yàn)榭鬃邮谴髮W(xué)問(wèn)家，我們假設(shè)他在每一行的排名都處在前的可能性為99%，即任意一個(gè)人在任一方面的才能低于他的可能性為99%.另外兩個(gè)人在任何一方面的才能不如孔子分別看作兩個(gè)獨(dú)立事件，則在任一行中，這兩個(gè)人的才能均不超過(guò)孔子就成了概率中兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的模型，所以可能性是99%99%98.01%.而在360行中，另外兩人的才能均不超過(guò)孔子的可能性即為獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率，所以為(98.01%)3600.07%.反過(guò)來(lái)說(shuō)，另外兩人中有人的才能在某一方面超過(guò)孔子的可能性為1(98.01%)36099.93%.也就是說(shuō)，兩人中有人可以在某一方面做孔子的老師的可能性約為99.93%.從上面的分析可知，“三人行，必有我?guī)煛彪m然是孔子自謙的話，但從實(shí)際情況來(lái)看，這句話是很有道理的道理2：小強(qiáng)和小明的家都在同一棟10層的小高層里，小強(qiáng)家在頂層，小強(qiáng)堅(jiān)持認(rèn)為由于小高層有從底層到頂層的電梯，所以自己從電梯上樓到家的速度應(yīng)該是相當(dāng)快的可是小明并不這樣認(rèn)為，但是又無(wú)法說(shuō)服小強(qiáng)，只是一味地強(qiáng)調(diào)如果考慮每層都有人要上電梯，那么也要耽誤很多時(shí)間，所以乘電梯也不一定很快我們?nèi)绾蝸?lái)幫助小明通過(guò)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)服小強(qiáng)呢？我們不妨設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問(wèn)題：十層電梯從底層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？解依題意，從底層到頂層停不少于3次，應(yīng)包括停3次，停4次，停5次，停9次這些情況都是互斥關(guān)系，電梯每一層停的概率為，每種具體的情況實(shí)際上是獨(dú)立事件重復(fù)發(fā)生的概率問(wèn)題從底層到頂層停不少于3次的概率PC36C45C54C9(CCCC)929(CCC) 9(2946)9.設(shè)從底層到頂層停k次，則其概率為Ck9kC9，當(dāng)k4或k5時(shí)，C最大，即C9最大，從底層到頂層停不少于3次的概率為，停4次或5次的概率最大通過(guò)上面的詳實(shí)分析和準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)由于電梯至少停三次的概率較大，而且停4次或5次的可能性最大，因?yàn)槊看坞娞萃Ｏ聛?lái)開(kāi)門(mén)、關(guān)門(mén)等都要耽誤一定的時(shí)間，累計(jì)起來(lái)耽誤的時(shí)間卻是不少，所以小明的觀念還是有一定的道理的生活中像這樣的現(xiàn)象很多，表面上看起來(lái)都與概率無(wú)關(guān)，但是對(duì)于“數(shù)學(xué)人”來(lái)說(shuō)，生活中的概率無(wú)處不在，關(guān)鍵就在于要善于將這些現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為概率模型，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行定性和定量分析，達(dá)到“以理服人”的效果.8生活中的概率問(wèn)題在日益發(fā)展的信息社會(huì)中，即使一般的勞動(dòng)者，也必須具備基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)思想去觀察和分析工作、生活乃至從事經(jīng)濟(jì)、政治活動(dòng)的能力在存款、利息、投資、保險(xiǎn)、成本、利潤(rùn)、彩票等中，我們常遇見(jiàn)一些概率問(wèn)題下面就我們現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的一些概率問(wèn)題進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的分析：1誰(shuí)先誰(shuí)后的問(wèn)題單位有六臺(tái)舊麻將機(jī)將處理給單位員工，定價(jià)300元一臺(tái)結(jié)果有12位希望買(mǎi)一臺(tái)于是單位領(lǐng)導(dǎo)就寫(xiě)了十二張小紙條，其中有六張寫(xiě)著“恭喜購(gòu)買(mǎi)成功”，另六張寫(xiě)著“謝謝你的配合，你購(gòu)買(mǎi)不成功！”再把紙條折好然后叫十二位員工按先后順序來(lái)抓請(qǐng)問(wèn)：這十二位員工抽中的概率是一樣的嗎？也就是說(shuō)這種方法公平嗎？最后一位員工是不是最劃不來(lái)？顯然，對(duì)于第一個(gè)抓紙條的人來(lái)說(shuō)，他從12張紙條中選一張，抽到“恭喜購(gòu)買(mǎi)成功”的概率為.對(duì)于第二個(gè)抓紙條的人來(lái)說(shuō)，可以分兩種情況考慮：第一個(gè)人抽中，他抽中的概率，第一個(gè)人沒(méi)有抽中，他抽中的概率，這兩種情況是等概率事件，所以不管第一個(gè)人抽中還是沒(méi)抽中，不影響第二個(gè)人抽中的概率同樣對(duì)于第三個(gè)人來(lái)說(shuō)，他抽中的概率可以分成四種情況考慮：一中，二中，他抽中的概率，一中，二不中，他抽中的概率，一不中，二中，他抽中的概率，一不中，二不中，他抽中的概率，這四種情況是等概率事件，所以也不影響第三個(gè)人抽中的概率由此可以類(lèi)推，第四個(gè)人，第五個(gè)人等，抽中的概率都不受影響，所以這種方法是公平的，哪個(gè)人先抽，哪個(gè)人后抽，對(duì)個(gè)人來(lái)說(shuō)，沒(méi)有影響2性別問(wèn)題你隔壁剛剛搬來(lái)了新的鄰居，透過(guò)墻壁，你可以清楚的聽(tīng)到有3個(gè)小孩的聲音，但是，因?yàn)檫@3個(gè)小孩，年齡都很小，所以你不確定他們是男是女1基于好奇心，你決定到隔壁敲門(mén)，看看他們是男是女，這個(gè)時(shí)候，一個(gè)男孩出來(lái)開(kāi)門(mén)，請(qǐng)問(wèn)，這3個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？2當(dāng)然，你還是沒(méi)有足夠的訊息，確定所有3個(gè)小孩的性別所以，你決定再找個(gè)理由，到隔壁敲了第二次門(mén)，很幸運(yùn)的是，這次來(lái)開(kāi)門(mén)的是另外的一個(gè)男孩，請(qǐng)問(wèn)，這3個(gè)小孩都是男孩的概率是多少？3如果，你第三次去敲了隔壁鄰居的門(mén)，請(qǐng)問(wèn)，你可以百分之百確定這3個(gè)性別的概率是多少？對(duì)于這種問(wèn)題，我們?cè)谄綍r(shí)的言談中經(jīng)常會(huì)遇到，一下子接觸，感覺(jué)有點(diǎn)懵其實(shí)這種問(wèn)題認(rèn)真分析的話也會(huì)感覺(jué)到其中的樂(lè)趣.1.一個(gè)男孩開(kāi)門(mén)，那么就會(huì)有兩個(gè)小孩不知道性別，有四種可能，所以全是男孩的概率為.2.第二次敲門(mén)，又有一個(gè)男孩開(kāi)門(mén)，就只有一個(gè)小孩不知道性別，有兩種可能，所以全是男孩的概率為.3.第三次敲門(mén)，三個(gè)小孩都有可能開(kāi)門(mén)，所以全是男孩的概率為.這種問(wèn)題其實(shí)和拋硬幣，擲骰子的問(wèn)題大致相同，只是情境不同3玩撲克牌中的出牌問(wèn)題在玩撲克牌中，我們經(jīng)常會(huì)懊悔出錯(cuò)了牌，一手好牌就此浪費(fèi)了比如斗地主中，炸彈(四個(gè)相同的點(diǎn)數(shù)或雙王)，三帶一，連子，出現(xiàn)的概率很低，對(duì)子，單的概率很高，所以合理的安排出牌，勝利的次數(shù)就比較多如果一個(gè)玩牌者經(jīng)過(guò)計(jì)算，認(rèn)定出牌A比出牌B獲勝的概率大，那么它會(huì)出牌A，盡管出牌A也有招致失敗的風(fēng)險(xiǎn)可見(jiàn)，在生活中，我們會(huì)遇到很多難題，當(dāng)我們從概率的角度進(jìn)行判斷，然后作出決策時(shí)，完全有可能犯錯(cuò)誤，不可能有絕對(duì)的把握正確只是，我們總希望犯錯(cuò)誤的概率小一些，能夠使自己獲得最高的成功率把握住事件出現(xiàn)的概率，我們就很容易的做出判斷解決問(wèn)題4生日相同的問(wèn)題如果一個(gè)班級(jí)有50位學(xué)生，那么其中至少有兩位學(xué)生生日相同的概率是多少？要直接計(jì)算50人中有至少2人生日相同比較困難我們就先算出全部不同的概率然后用1減去它就是至少有2人相同的概率了我們可以這樣考慮：隨意找一位學(xué)生甲，他的生日可以是365(不考慮閏年)天中的任意一天，所以有365種可能，對(duì)于學(xué)生乙同樣有365種可能，所以50位學(xué)生生日的情況就有36550種生日不相同的情況，對(duì)于甲有365種可能，乙和甲不同就有364種，所以50位學(xué)生生日不同的情況有A種，所以生日不同的概率為，所以至少有兩位學(xué)生生日相同的概率為1.該問(wèn)題的概率較大，正說(shuō)明一些看似巧合的現(xiàn)象其實(shí)極為平凡，這也有助于我們破除迷信，樹(shù)立唯物主義的世界觀.