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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題42 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題42 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.doc

專題42 點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】平面的基本性質(zhì)、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系是高考試題主要考查知識點(diǎn),題型多為選擇題或填空題,關(guān)于平行關(guān)系、垂直關(guān)系的證明,多是解答題的一問平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ),而兩條異面直線所成的角、線面角、二面角和距離是高考熱點(diǎn),因此,要加強(qiáng)基本判定定理、性質(zhì)定理的理解與記憶.本專題通過例題說明點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系問題求解方法,為解答更為復(fù)雜的問題提供堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).(一)直線與直線位置關(guān)系:1、線線平行的判定(1)平行公理:空間中平行于同一直線的兩條直線平行(2)線面平行性質(zhì):如果一條直線與平面平行,則過這條直線的平面與已知平面的交線和該直線平行(3)面面平行性質(zhì):2、線線垂直的判定 (1)兩條平行直線,如果其中一條與某直線垂直,則另一條直線也與這條直線垂直直線與平面位置關(guān)系:(2)線面垂直的性質(zhì):如果一條直線與平面垂直,則該直線與平面上的所有直線均垂直(二)直線與平面的位置關(guān)系1、線面平行判定定理:(1)若平面外的一條直線與平面上的一條直線平行,則(2)若兩個(gè)平面平行,則一個(gè)平面上的任一直線與另一平面平行2、線面垂直的判定:(1)若直線與平面上的兩條相交直線垂直,則(2)兩條平行線中若其中一條與平面垂直,則另一條直線也與該平面垂直(3)如果兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直(三)平面與平面的位置關(guān)系1、平面與平面平行的判定:(1)如果一個(gè)平面上的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行,則兩個(gè)平面平行(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行2、平面與平面垂直的判定如果一條直線與一個(gè)平面垂直,則過這條直線的所有平面均與這個(gè)平面垂直(四)利用空間向量判斷線面位置關(guān)系1、刻畫直線,平面位置的向量:直線:方向向量 平面:法向量2、向量關(guān)系與線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化:設(shè)直線對應(yīng)的法向量為,平面對應(yīng)的法向量為(其中在外)(1)(2)(3)(4)(5)(6)3、有關(guān)向量關(guān)系的結(jié)論(1)若,則 平行+平行平行(2)若,則 平行+垂直垂直(3)若,則的位置關(guān)系不定.4、如何用向量判斷位置關(guān)系命題真假(1)條件中的線面關(guān)系翻譯成向量關(guān)系(2)確定由條件能否得到結(jié)論(3)將結(jié)論翻譯成線面關(guān)系,即可判斷命題的真假【經(jīng)典例題】例1.【2017課標(biāo)1,文6】如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直接AB與平面MNQ不平行的是( ) A B C D【答案】A【解析】例2.【2018屆浙江省嘉興市第一中學(xué)高三9月測試】設(shè)是兩條不同的直線,時(shí)一個(gè)平面,則下列說法正確的是( )A. 若則 B. 若則C. 若則 D. 若則【答案】C【解析】對于A,若還可以相交或異面,故A是錯(cuò)誤的;對于B. 若,可以是平行的,故B是錯(cuò)誤的;對于C. 若則,顯然C是正確的;對于D. 若則,顯然D是錯(cuò)誤的.故選:C.例3.【2018屆河北省邢臺市高三上第二次月考】已知直線平面,直線平面,則下列命題正確的是( )A. 若,則 B. 若,則C. 若,則 D. 若,則【答案】D【解析】對于A,若,直線平面,直線平面,則與可能平行、相交、異面,故不正確;對于B,若,直線平面,直線平面,則與可能平行也可能相交,故B不正確;對于C, 若, 與的位置不確定,故C不正確;對于D,若 ,直線平面,則直線平面,又因直線平面,則正確;故選D.例4.【2018屆云南省昆明市5月檢測】在正方體中,分別是的中點(diǎn),則( )A. B. C. 平面 D. 平面【答案】D平行的一條直線,證其垂直于平面.故分別取的中點(diǎn)P、Q,連接PM、QN、PQ.可得四邊形為平行四邊形.進(jìn)而可得.正方體中易得,由直線與平面垂直的判定定理可得平面.進(jìn)而可得平面.詳解:對于選項(xiàng)A,因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),所以點(diǎn)平面,點(diǎn) 平面,所以直線MN是平面的交線,又因?yàn)橹本€在平面內(nèi),故直線MN與直線不可能平行,故選項(xiàng)A錯(cuò); 對于選項(xiàng)B,正方體中易知 ,因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn),所以直線 與直線不垂直.故選項(xiàng)B不對;對于選項(xiàng)C ,假設(shè)平面,可得.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以 .這與矛盾.故假設(shè)不成立.所以選項(xiàng)C不對;對于選項(xiàng)D,分別取的中點(diǎn)P、Q,連接PM、QN、PQ.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn),所以且.同理且.故選D.點(diǎn)睛:在立體圖形中判斷直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,應(yīng)熟練掌握直線與直線平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理,直線與平面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理.注意直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直之間的互相推導(dǎo).要判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤,可用反證法得到矛盾.例5.【2017課標(biāo)3,文10】在正方體中,E為棱CD的中點(diǎn),則( )ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三垂線逆定理,平面內(nèi)的線垂直平面的斜線,那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影,A.若,那么,很顯然不成立;B.若,那么,顯然不成立;C.若,那么,成立,反過來時(shí),也能推出,所以C成立,D.若,則,顯然不成立,故選C.例6.【2018屆安徽省六安市毛坦廠中學(xué)四月月考】已知是兩個(gè)不同的平面,是一條直線,給出下列說法:若,則;若,則;若,則;若,則.其中說法正確的個(gè)數(shù)為( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】分析:若,則,或或與相交且與不垂直.故選C.例7【2018屆福建省三明市5月測試】如圖,已知正方體的棱長為2,則以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是A. 直線與為異面直線 B. 平面C. D. 三棱錐的體積為【答案】D【解析】分析:在A中,由異面直線判定定理得直線A1C1與AD1為異面直線;在B中,由A1C1AC,得A1C1平面ACD1;在C中,由ACBD,ACDD1,得AC面BDD1,從而BD1AC;在D中,三棱錐D1ADC的體積為在D中,三棱錐D1ADC的體積:=,故D錯(cuò)誤故選:D例8. 【2018屆廣西欽州市第三次檢測】如圖,在四棱柱中,平面,為棱上一動點(diǎn),過直線的平面分別與棱,交于點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是_對于任意的點(diǎn),都有對于任意的點(diǎn),四邊形不可能為平行四邊形存在點(diǎn),使得為等腰直角三角形存在點(diǎn),使得直線平面【答案】【解析】分析:根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷A,B,使用假設(shè)法判斷C,D詳解:(1)ABCD,AA1DD1,平面ABB1A1平面CDD1C1,平面APQR平面ABB1A1=AP,平面APQR平面CDD1C1=RQ,APQR,故A正確例9.【2017山東,文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1- B1CD1后得到的幾何體如圖所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD 的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD,()證明:平面B1CD1;()設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM平面B1CD1. 【答案】證明見解析.證明見解析.【解析】試題分析:()取中點(diǎn),證明,()證明面. (II)因?yàn)?,,分別為和的中點(diǎn),所以, 因?yàn)闉檎叫?所以,又 平面,平面所以因?yàn)樗杂制矫妫?所以平面又平面,所以平面平面.點(diǎn)睛:證明線面平行時(shí),先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行,若找不到這樣的直線,可以考慮通過面面平行來推導(dǎo)線面平行,應(yīng)用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確定交線的位置,有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線在應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí),一定要注意定理成立的條件,嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交,則直線與交線平行例10.【2017北京,文18】如圖,在三棱錐PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn),E為線段PC上一點(diǎn)()求證:PABD;()求證:平面BDE平面PAC;()當(dāng)PA平面BDE時(shí),求三棱錐EBCD的體積【答案】詳見解析【解析】 由(I)知,平面,所以平面.所以三棱錐的體積.點(diǎn)睛:線線,線面的位置關(guān)系以及證明是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,而其中證明線面垂直又是重點(diǎn)和熱點(diǎn),要證明線面垂直,根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,而其中證明線線垂直又得轉(zhuǎn)化為證明線面垂直線線垂直,或是根據(jù)面面垂直,平面內(nèi)的線垂直于交線,則垂直于另一個(gè)平面,這兩種途徑都可以證明線面垂直.【精選精練】1.如圖,是正方體的棱上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),平面,則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】2【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)第十五次考】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的個(gè)數(shù)( )若則; 若,則;若,則; 若,則.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】分析:根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì),即可判定命題的真假.詳解:對于中,若,則或,所以不正確;對于中,若,則,又由,所以是正確;對于中,若,則或與相交,所以不正確;對于中,若,則,又由,所以是正確的,綜上正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè),故選B.3.【2018屆東北三省三校(哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué))三?!恳阎ゲ幌嗤闹本€,和平面,則下列命題正確的是( )A. 若與為異面直線,則;B. 若,則;C. 若,則;D. 若,則【答案】C4【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)三模】已知互不相同的直線和平面,則下列命題正確的是( )A. 若與為異面直線,則 B. 若.則C. 若, 則 D. 若.則【答案】C.【解析】分析:對于,可利用面面平行的判定定理進(jìn)行判斷;對于,可利用線面平行的判定定理進(jìn)行判斷;對于,可利用面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷. 詳解:若與為異面直線,則與平行或相交,錯(cuò),排除;若,則與平行或異面,錯(cuò),排除;若,則或相交,錯(cuò),排除,故選C.5.【2018屆廣東省湛江市二?!肯铝忻}正確的是:三點(diǎn)確定一個(gè)平面;兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面;如果兩個(gè)平面垂直,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個(gè)平面;如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面.A. B. C. D. 【答案】C如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面,該說法正確.綜上可得:命題正確的是: .本題選擇C選項(xiàng).6.【2018屆河北省武邑中學(xué)一模】已知平面,直線,且有,給出下列命題:若,則;若,則;若,則;若,則,其中正確命題個(gè)數(shù)有( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析:利用線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行判斷即可.詳解:有l(wèi),m,給出下列命題:若,l,又m,則lm,正確;若lm,m,則,正確;若,則lm或異面直線,不正確;若lm,則或相交,因此不正確其中,正確命題個(gè)數(shù)為2故選:B7.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面,是兩條直線,有下列四個(gè)命題:(1)如果,那么.(2)如果,那么.(3)如果,那么.(4)如果,那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號)【答案】【解析】8.如圖,在正方體中,過對角線的一個(gè)平面交于點(diǎn),交于.四邊形一定是平行四邊形;四邊形有可能是正方形;四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形;四邊形有可能垂直于平面以上結(jié)論正確的為_(寫出所有正確結(jié)論的編號)【答案】【解析】分析:由題意結(jié)合幾何關(guān)系逐一考查所給命題的真假即可求得最終結(jié)果.詳解:如圖所示:由于平面BCB1C1平面ADA1D1,并且B、E、F、D1,四點(diǎn)共面,故ED1BF,同理可證,F(xiàn)D1EB,故四邊形BFD1E一定是平行四邊形,故正確;9【2018屆江蘇省南京市三?!恳阎莾蓚€(gè)不同的平面,是兩條不同的直線,有如下四個(gè)命題:若,則; 若,則; 若,則; 若,則其中真命題為_(填所有真命題的序號)【答案】【解析】分析:,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義判斷命題正確;,根據(jù)線面、面面垂直的定義與性質(zhì)判斷命題錯(cuò)誤;,根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義判斷命題正確;,根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質(zhì)判斷命題錯(cuò)誤詳解:對于,當(dāng)l,l時(shí),根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義知,正確;對于,l,時(shí),有l(wèi)或l,錯(cuò)誤;對于,l,l時(shí),根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義知,正確;對于,l,時(shí),有l(wèi)或l或l或l與相交,錯(cuò)誤綜上,以上真命題為故答案為:10.【2017江蘇,15】 如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC; (2)ADAC.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】證明:(1)在平面內(nèi),因?yàn)锳BAD,所以.又因?yàn)槠矫鍭BC,平面ABC,所以EF平面ABC. 11. 如圖,已知菱形的邊長為,將菱形沿對角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),(1)求證:平面;(2)求證:平面平面【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】分析:(1)由題意知,為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn), 又 平面,平面, 平面(2)由題意結(jié)合勾股定理可得由菱形的性質(zhì)可得;結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面,則平面平面詳解:(1)由題意知,為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn), 又 平面,平面, 平面(2)由題意知, ,點(diǎn)睛:(1)有關(guān)折疊問題,一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系,哪些變,哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題,常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開,轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題12【2018年山東省煙臺市春季高考一?!咳鐖D,在四棱錐中,平面,(1)求證:平面; (2)求證:平面平面;(3)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為中點(diǎn),求證平面 【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.【解析】分析:(1)由題意得,利用線面垂直的判定定理,即可得到面(2)由題意,又面,得,證得平面,利用面面垂直的判定定理,即(2),又面,面,又, ,又面,面面(3)在中,為中點(diǎn),為中點(diǎn),又 面,面, 面

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