2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc
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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc
一 二維形式的柯西不等式課時作業(yè) A組基礎(chǔ)鞏固1若a,bR,且a2b210,則ab的取值范圍是()A2,2 B2,2 C, D(, 解析:a2b210,(a2b2)(1212)(ab)2,即20(ab)2,2 ab2.答案:A2函數(shù)y2的最大值是()A3BC. D4解析:y2222()263,當(dāng)且僅當(dāng)2,即x時等號成立y的最大值為.答案:C3如果實數(shù)m,n,x,y滿足m2n2a,x2y2b,其中a,b為常數(shù),那么mxny的最大值為()A. BC. D解析:由柯西不等式,得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab,當(dāng)mn,xy時,(mxny)max.答案:B4若ab1,則22的最小值為()A1 B2C. D解析:22a22b22.ab1,a2b2(a2b2)(11)(ab)2,又8,以上兩個不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)ab時,等號成立22228,當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立,取到最小值.答案:C5若長方形ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接長方形,則長方形ABCD周長的最大值為()A2R B2RC4R D4R解析:如圖,設(shè)內(nèi)接長方形ABCD的長為x,則寬為,于是ABCD的周長l2(x)2(1x1)由柯西不等式得l2x2()2(1212)22R4R.當(dāng)且僅當(dāng)x11,即xR時等號成立此時 R,即四邊形ABCD為正方形,故周長為最大的內(nèi)接長方形是正方形,其周長為4R.答案:D6若存在實數(shù)x使>a成立,常數(shù)a的取值范圍為_解析:1,由柯西不等式得(1)2(31)(x214x)64,所以8,當(dāng)且僅當(dāng)x10時取“”,于是,常數(shù)a的取值范圍是(,8)答案:(,8)7設(shè)xy>0,則(x2)(y2)的最小值為_解析:原式29.答案:98設(shè)實數(shù)x, y滿足3x22y26,則2xy的最大值為_解析:(x)2(y)2(2xy)2,|2xy| ,當(dāng)且僅當(dāng)yx,即3x4y且3x22y26時,等號成立,而此方程組有解2xy的最大值為.答案:9已知為銳角,a,b>0,求證:(ab)2.證明:設(shè)m,n(cos ,sin ),則|ab|cos sin |mn|m|n|,(ab)2.10設(shè)a,bR,若ab2,求的最小值解析:(ab)()2()22(11)24.24,即2.當(dāng)且僅當(dāng),即ab時取等號,當(dāng)ab1時,的最小值為2. B組能力提升1設(shè)a1、a2、b1、b2R,則下列不等式中,柯西不等式用錯的是()A(ab)(ab)(a1a2b1b2)2B(ab)(ab)(a1b2b1a2)2C(ab)(ab)(a1b1a2b2)2D(aa)(bb)(a1b1a2b2)2答案:C2設(shè)xy>0,則的最小值為_解析:原式x2()2()2y2(xy)29.答案:93已知a,bR,且ab1,則()2的最大值是_解析:()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22|412|12.答案:124已知a,b,c為正數(shù),且滿足acos2bsin2<c,求證:cos2sin2<.解析:由柯西不等式,得cos2sin2(cos )2(sin )2(cos2sin2) (acos2bsin2)<.5若x24y25.求xy的最大值及最大值點解析:由柯西不等式得x2(2y)212()2(xy)2即(xy)25,xy.當(dāng)且僅當(dāng),即x4y時取等號由得或(舍去)xy的最大值為,最大值點為(2,)