2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù) 3.3 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 3.3.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）學(xué)案 湘教版必修2.doc

3.3.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握ysinx與ycosx的定義域，值域，最值、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，并能解決相關(guān)問題.2.掌握ysinx，ycosx的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小.3.會(huì)求函數(shù)yAsin(x)及yAcos(x)的單調(diào)區(qū)間知識(shí)鏈接1觀察正弦曲線和余弦曲線的對稱性，你有什么發(fā)現(xiàn)？答正弦函數(shù)ysinx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，余弦函數(shù)ycosx的圖象關(guān)于y軸對稱2上述對稱性反映出正弦、余弦函數(shù)分別具有什么性質(zhì)？如何從理論上加以驗(yàn)證？答正弦函數(shù)是R上的奇函數(shù)，余弦函數(shù)是R上的偶函數(shù)根據(jù)誘導(dǎo)公式得，sin(x)sinx，cos(x)cosx均對一切xR恒成立3觀察正弦曲線和余弦曲線，正弦、余弦函數(shù)是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分別為多少？答正弦、余弦函數(shù)存在最大值和最小值，分別是1和1.預(yù)習(xí)導(dǎo)引正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(下表中kZ)：函數(shù)ysinxycosx圖象定義域RR值域1,11,1對稱軸xkxk對稱中心(k，0)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)遞增單調(diào)遞減最值在x2k時(shí)，ymax1；在x2k時(shí)，ymin1在x2k時(shí)，ymax1；在x2k時(shí)，ymin1要點(diǎn)一求正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1求函數(shù)y2sin的單調(diào)遞增區(qū)間解y2sin2sin，令zx，則y2sinz.因?yàn)閦是x的一次函數(shù)，所以要求y2sinz的遞增區(qū)間，即求sinz的遞減區(qū)間，即2kz2k(kZ)2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)，函數(shù)y2sin的遞增區(qū)間為(kZ)規(guī)律方法用整體替換法求函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，如果式子中x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求其單調(diào)區(qū)間再將最終結(jié)果寫成區(qū)間形式跟蹤演練1求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：(1)y12sin；(2)ylogcosx.解(1)y12sin12sin.令ux，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，所給函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間就是ysinu的單調(diào)遞減區(qū)間，即2ku2k(kZ)，亦即2kx2k(kZ)亦即2kx2k(kZ)，故函數(shù)y12sin的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)(2)由cosx>0，得2k<x<2k，kZ.0<1，函數(shù)ylogcosx的單調(diào)遞增區(qū)間即為ucosx，x(kZ)的遞減區(qū)間，2kx<2k，kZ.故函數(shù)ylogcosx的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)要點(diǎn)二正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用例2利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大小(1)sin與sin；(2)sin196與cos156；(3)cos與cos.解(1)<<<，sin>sin.(2)sin196sin(18016)sin16，cos156cos(18024)cos24sin66，0<16<66<90，sin16<sin66；從而sin16>sin66，即sin196>cos156.(3)coscoscos(4)cos，coscoscoscos.0<<<，且ycosx在0，上是減函數(shù)，cos<cos，即cos<cos.規(guī)律方法用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí)，應(yīng)先將異名化同名，把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性來比較大小跟蹤演練2比較下列各組數(shù)的大小(1)sin與sin；(2)cos870與sin980.解(1)sinsinsin，sinsinsin，ysinx在上是增函數(shù)，sin<sin，即sin<sin.(2)cos870cos(720150)cos150，sin980sin(720260)sin260sin(90170)cos170，0<150<170<180，cos150>cos170，即cos870>sin980.要點(diǎn)三求正弦、余弦函數(shù)的最值(值域)例3(1)求函數(shù)y32sinx取得最大值、最小值時(shí)的自變量x的集合，并分別寫出最大值、最小值；(2)求函數(shù)f(x)2sin2x2sinx，x的值域解(1)1sinx1，當(dāng)sinx1，即x2k，kZ時(shí)，y取得最大值5，相應(yīng)的自變量x的集合為.當(dāng)sinx1，即x2k，kZ時(shí)，y取得最小值1，相應(yīng)的自變量x的集合為.(2)令tsinx，yf(t)，x，sinx1，即t1.y2t22t221，1y，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?規(guī)律方法(1)形如yasin xb(或yacos xb)的函數(shù)的最值或值域問題，利用正弦、余弦函數(shù)的有界性(1sin x，cos x1)求解求三角函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng)自變量x的集合時(shí)，要注意考慮三角函數(shù)的周期性(2)求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函數(shù)的值域或最值時(shí)，通過換元，令tsin x(或cos x)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可求解過程中要注意tsin x(或cos x)的有界性跟蹤演練3已知0x，求函數(shù)ycos2x2acosx的最大值M(a)與最小值m(a)解設(shè)cosxt，0x，0t1.yt22at(ta)2a2，當(dāng)a<0時(shí)，M(a)12a，m(a)0；當(dāng)0a時(shí)，M(a)12a，m(a)a2；當(dāng)<a<1時(shí)，M(a)0，m(a)a2；當(dāng)a1時(shí)，M(a)0，m(a)12a.綜上，M(a)m(a)要點(diǎn)四三角函數(shù)的奇偶性例4判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sinx)lg(1sinx)；(3)f(x).解(1)顯然xR，f(x)cosx，f(x)coscosxf(x)，f(x)是偶函數(shù)(2)由得1sinx1.解得定義域?yàn)?f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)lg(1sinx)lg(1sinx)f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sinx)lg(1sinx)f(x)f(x)為奇函數(shù)(3)1sinx0，sinx1，xR且x2k，kZ.定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性，要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的前提條件，然后再判斷f(x)與f(x)之間的關(guān)系跟蹤演練4判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)cosx2sinx；(2)f(x).解(1)f(x)sin2xx2sinx，又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x)sin2xx2sinxf(x)，f(x)是奇函數(shù)(2)由得cosx.f(x)0，x2k，kZ.f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).1函數(shù)f(x)sin的一個(gè)遞減區(qū)間是()A.B，0C.D.答案D解析由x解得x.故選D.2下列不等式中成立的是()Asin>sinBsin3>sin2Csin>sinDsin2>cos1答案D解析sin2coscos，且0<2<1<，cos>cos1，即sin2>cos1.故選D.3函數(shù)ycos，x的值域是()A.B.C.D.答案B解析0x，x.coscoscos，y.故選B.4設(shè)asin33，bcos55，ctan35，則()Aa>b>cBb>c>aCc>b>aDc>a>b答案C解析asin33，bcos55sin35，ctan35，又0<cos35<1，c>b>a.1.求函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)單調(diào)區(qū)間的方法是：把x看成一個(gè)整體，由2kx2k (kZ)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2kx2k (kZ)解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間若<0，先利用誘導(dǎo)公式把轉(zhuǎn)化為正數(shù)后，再利用上述整體思想求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間2比較三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把問題轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名三角函數(shù)值的大小比較，再利用單調(diào)性作出判斷3求三角函數(shù)值域或最值的常用求法：將y表示成以sinx(或cosx)為元的復(fù)合函數(shù)再利用換元或配方或利用函數(shù)的單調(diào)性等來確定y的范圍一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1若ysinx是減函數(shù)，ycosx是增函數(shù)，那么角x在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限答案C2若，都是第一象限的角，且<，那么()Asin>sinBsin>sinCsinsinDsin與sin的大小不定答案D3函數(shù)y2sin2x2cosx3的最大值是()A1B1CD5答案C解析由題意，得y2sin2x2cosx32(1cos2x)2cosx322.1cosx1，當(dāng)cosx時(shí)，函數(shù)有最大值.4對于下列四個(gè)命題：sinsin；coscos；sin138<sin143；tan40sin40.其中正確命題的序號(hào)是()ABCD答案B5關(guān)于x的函數(shù)f(x)sin(x)有以下命題：對任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；存在，使f(x)是奇函數(shù)；對任意的，f(x)都不是偶函數(shù)其中正確命題的序號(hào)是_答案解析易知成立，令，f(x)cosx是偶函數(shù)，都不成立6若|x|，則函數(shù)f(x)cos2xsinx的最小值是_答案解析由cos2x1sin2x，故f(x)1sin2xsinx，令sinxt，由|x|，由圖象知t，故函數(shù)化為yt2t1(t)2，當(dāng)t時(shí)，ymin.7求下列函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間(1)y1sin；(2)ylogcos.解(1)由2k2k，kZ，得4kx4k3，kZ.y1sin的增區(qū)間為4k，4k3 (kZ)(2)ylogcoslogcos.要求原函數(shù)的增區(qū)間，即求函數(shù)ycos的減區(qū)間，且cos>0.2k<2k(kZ)整理得4kx<4k(kZ)所以函數(shù)ylogcos的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)二、能力提升8函數(shù)y2sinx的單調(diào)增區(qū)間是()A2k，2k(kZ)B2k，2k(kZ)C2k，2k(kZ)D2k，2k(kZ)答案A解析函數(shù)y2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)ysinx的單調(diào)增區(qū)間9M，N是曲線ysinx與曲線ycosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則|MN|的最小值為()AB.C.D2答案C解析在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ysinx與ycosx的圖象，如圖所示，則|MN|的最小值為|PQ|.又P(，)，Q(，)，故|PQ|.10sin1，sin2，sin3按從小到大排列的順序?yàn)開答案sin3<sin1<sin2解析1<<2<3<，sin(2)sin2，sin(3)sin3.ysinx在上遞增，且0<3<1<2<，sin(3)<sin1<sin(2)，即sin3<sin1<sin2.11已知是正數(shù)，函數(shù)f(x)2sinx在區(qū)間，上是增函數(shù)，求的取值范圍解由2kx2k(kZ)，得x.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.根據(jù)題意，得，從而有解得0<.故的取值范圍是(0，12判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x)；(3)f(x)lg(sinx)解(1)函數(shù)定義域?yàn)镽，且f(x)sinsincos2x，顯然有f(x)f(x)恒成立函數(shù)f(x)sin為偶函數(shù)(2)由2sinx10，即sinx，得函數(shù)定義域?yàn)?kZ)，此定義域在x軸上表示的區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對稱該函數(shù)不具有奇偶性，為非奇非偶函數(shù)(3)函數(shù)定義域?yàn)镽.f(x)lg(sinx)lglgf(x)，函數(shù)f(x)lg(sinx)為奇函數(shù)三、探究與創(chuàng)新13設(shè)函數(shù)y2cos，x，若該函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值解由2kx2k(kZ)得4kx4k(kZ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，同理函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)令，即k，又kZ，k不存在令，得k1.，這表明y2cos在上是減函數(shù)，a的最大值是.