2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程.doc

專題51 曲線與方程-求軌跡方程【熱點聚焦與擴展】縱觀近幾年的高考試題，高考對曲線與方程的考查，主要有以下兩個方面：一是確定的軌跡的形式或特點；二是求動點的軌跡方程，同時考查到求軌跡方程的基本步驟和常用方法.一般地，命題作為解答題一問，小題則常常利用待定系數(shù)法求方程或利用方程判斷曲線類別.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點說明求點的軌跡方程問題的常見解法.1、求點軌跡方程的步驟：（1）建立直角坐標(biāo)系（2）設(shè)點：將所求點坐標(biāo)設(shè)為，同時將其他相關(guān)點坐標(biāo)化（未知的暫用參數(shù)表示）（3）列式：從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系，列出方程（4）化簡：將方程進行變形化簡，并求出的范圍2、求點軌跡方程的方法 （1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡即可（2）代入法：所求點與某已知曲線上一點存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程（3）定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學(xué)過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程.常見的曲線特征及要素有： 圓：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡 直角圓：若，則點在以為直徑的圓上確定方程的要素：圓心坐標(biāo)，半徑 橢圓：平面上到兩個定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點距離）的點的軌跡確定方程的要素：距離和，定點距離 雙曲線：平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于定點距離）的點的軌跡注：若只是到兩定點的距離差為常數(shù)（小于定點距離），則為雙曲線的一支確定方程的要素：距離差的絕對值，定點距離 拋物線：平面上到一定點的距離與到一定直線的距離（定點在定直線外）相等的點的軌跡確定方程的要素：焦準(zhǔn)距：.若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置（即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線），則通過準(zhǔn)線方程或焦點坐標(biāo)也可確定方程（4）參數(shù)法：從條件中無法直接找到的聯(lián)系，但可通過一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程.【經(jīng)典例題】例1.【2018屆北京石景山區(qū)一?！咳鐖D，已知線段上有一動點（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數(shù)），則點的運動軌跡為（ ）A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分【答案】B例2.設(shè)點A到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點A到圖形C的距離已知點A（1，0），圓C：x2+2x+y2=0，那么平面內(nèi)到圓C的距離與到點A的距離之差為1的點的軌跡是（）A. 雙曲線的一支 B. 橢圓C. 拋物線 D. 射線【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示，設(shè)圓心坐標(biāo)為，滿足題意的點為點，由題意有：，則，設(shè)，結(jié)合幾何關(guān)系可知滿足題意的軌跡為射線.本題選擇D選項.例3.動點在曲線上移動，點和定點連線的中點為，則點的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B例4.已知直線與拋物線交于兩點，且，其中為坐標(biāo)原點，若于，則點的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】思路：先處理條件可得由為鄰邊的平行四邊形對角線相等，所以該四邊形為矩形.即，設(shè)，即，聯(lián)立直線與拋物線方程并利聯(lián)立方程：，消去可得： ，由可得 ，即直線過定點 即 的軌跡為以為直徑的圓則該圓的圓心為，半徑 軌跡方程為 答案：B例5.點是圓上的動點，定點，線段的垂直平分線與直線的交點為，則點的軌跡方程是_【答案】【解析】由垂直平分線的性質(zhì)有，所以，又，根據(jù)雙曲線的定義，點Q的軌跡是C，F(xiàn)為焦點，以4為實軸長的雙曲線，所以點Q的軌跡方程是.例6.【2018屆福建省漳州市高三上學(xué)期期末】已知直線過拋物線： 的焦點， 與交于， 兩點，過點， 分別作的切線，且交于點，則點的軌跡方程為_.【答案】，故原拋物線C相應(yīng)的點P的軌跡方程為，故答案為.例7.【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1) 求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 【答案】(1) .(2)證明略.【解析】（2）由題意知.設(shè),則，.由得，又由（1）知，故.所以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F.例8.已知拋物線：的焦點為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點.（I）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明ARFQ；（II）若PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.【答案】（I）詳見解析；（II）【解析】由題設(shè).設(shè)，則，且.記過兩點的直線為，則的方程為. （I）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則當(dāng)與軸不垂直時，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時，與重合.所以，所求軌跡方程為. 例9.【2018屆河北衡水金卷】已知焦點為的的拋物線：（）與圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的交于，兩點，且，其中，均為正實數(shù).（1）求拋物線及的方程；（2）設(shè)點為劣弧上任意一點，過作的切線交拋物線于，兩點，過，的直線，均于拋物線相切，且兩直線交于點，求點的軌跡方程.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】試題分析:(1)由題意可得到將點A坐標(biāo)代入方程可得到m=2,進而得到點A的坐標(biāo)，由點點距得到半徑；（2）設(shè)，,由直線和曲線相切得到，：，同理： ，聯(lián)立兩直線得，根據(jù)點在圓上可消參得到軌跡.解析：（1）由題意，故。所以拋物線的方程為.將代入拋物線方程，解得，因此，令，解得，故：，同理： .則由解得因直線 ，.則由得，則因此根據(jù)點在圓上滿足方程，消參得到.例10：如圖所示，點在圓上運動，軸，點在的延長線上，且 （1）求點的軌跡方恒，并求當(dāng)為何值時，的軌跡表示焦點在軸上的橢圓 （2）當(dāng)時，在（1）中所得曲線記為，已知直線，是上的動點，射線（為坐標(biāo)原點）交曲線于點，又點在上且滿足，求點的軌跡方程設(shè) 軸 由在上可知：，代入可得：設(shè)，進而得到與的聯(lián)系：，再尋找的聯(lián)系，結(jié)合條件可知，從而用即可表示出與的聯(lián)系（而不用再設(shè)字母）：.所以可以用代入法分別將兩組關(guān)系代入至直線與橢圓方程，再消去即可得到的軌跡方程解：由（1）可得曲線方程為：設(shè) 設(shè) 由線段比例可得： 由同理可得： 分別在直線與橢圓上 ，代入可得：，化簡可得：的軌跡方程為：.【精選精練】1到兩坐標(biāo)軸的距離相等的動點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D2【2018屆江西省新余市二?！啃甭蕿榈闹本€過拋物線焦點，交拋物線于，兩點，點為中點，作，垂足為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A. 為定值 B. 為定值 C. 點的軌跡為圓的一部分 D. 點的軌跡是圓的一部分【答案】C【解析】由題意知拋物線的焦點為，故直線的方程為，由消去y整理得，設(shè)，則，選項A中，為定值故A正確選項B中，為定值，故B正確選項C中，由消去k得，故點的軌跡不是圓的一部分，所以C不正確選項D中，由于，直線過定點，所以點Q在以為直徑的圓上，故D正確綜上選C 3【2018屆江西省監(jiān)測】已知向量， 滿足， ， ，若為的中點，并且，則點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 4如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段， 為垂足. 當(dāng)點在圓上運動時，滿足 的動點的軌跡是橢圓，求這個橢圓離心率的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)，則，代入圓的方程，即，動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，其中， ，則，故而可得，故，即，故選D.5點P(4，2)與圓x2y24上任一點連線的中點的軌跡方程是 ( )A. (x2)2(y1)21 B. (x2)2(y1)24C. (x4)2(y2)24 D. (x2)2(y1)21【答案】D 6【2018屆廣西二?！吭O(shè)為橢圓上任意一點，延長至點，使得，則點的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 為橢圓上任意一點,且A,B為焦點， ，又，所以點的軌跡方程為.7ABC的頂點A(5,0)，B(5,0)，ABC的周長為22,則頂點C的軌跡方程是 ( )A. B. C. D. 【答案】D8【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期末】橢圓M:長軸上的兩個頂點為、，點P為橢圓M上除、外的一個動點，若且，則動點Q在下列哪種曲線上運動( )A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線【答案】B【解析】設(shè)P（m，n），Q（x，y）橢圓M的方程為，作出橢圓如圖所示，可得長軸的端點為A（a，0），B（a，0）=（x+a，y），=（m+a，n）=0，（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a= 此方程對應(yīng)的圖形是焦點在y軸上的橢圓，可得動點Q的軌跡是一個橢圓，B項是正確答案故選B.9.已知橢圓為橢圓上一動點， 為橢圓的左焦點則線段的中點的軌跡是（ ）A. 橢圓 B. 圓 C. 雙曲線的一支 D. 線段【答案】A【解析】設(shè)線段的中點 點的軌跡方程為 線段 的中點 的軌跡是橢圓故選A10.過圓 ： 上的點 作 軸的垂線，垂足為 ，點 滿足 .當(dāng) 在 上運動時，記點 的軌跡為 .（1）求 的方程；【答案】（1）【解析】試題分析：（1）設(shè)點坐標(biāo)，點坐標(biāo)，由題意可得點坐標(biāo)為滿足則點的軌跡的方程為11.已知坐標(biāo)平面上兩個定點，動點滿足：（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(2)記(1)中的軌跡為，過點的直線被所截得的線段的長為，求直線的方程【答案】(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）直接利用，列出方程即可求出點M的軌跡方程，然后說明軌跡的形狀；（2）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程詳解：（1） 由得化簡得：，軌跡為圓 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線 符合題意； 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為：由圓心到直線的距離等于得此時直線的方程為：.12.已知圓，直線， .（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；（2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.【答案】(1)見解析(2) 的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓試題解析：證明：（1）圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離.所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的交點；（2）設(shè)中點為，所以的軌跡方程是，它是一個以為圓心，以為半徑的圓.