2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時(shí) 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

第1課時(shí)組合與組合數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合的定義，正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.3.會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一組合的定義思考從3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相除；從3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘以上兩個(gè)問(wèn)題中哪個(gè)是排列？與有何不同特點(diǎn)？答案是排列，中選取的兩個(gè)數(shù)是有序的，中選取的兩個(gè)數(shù)無(wú)需排列梳理一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合知識(shí)點(diǎn)二組合數(shù)與組合數(shù)公式組合數(shù)及組合數(shù)公式組合數(shù)定義及表示從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C表示.組合數(shù)公式乘積形式C階乘形式C性質(zhì)CCCCC備注規(guī)定C11從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合是C.()2從1,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得C個(gè)積()3C54360.()4CC2 017.()類型一組合概念的理解例1給出下列問(wèn)題：(1)a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場(chǎng)？(2)a，b，c，d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？在上述問(wèn)題中，哪些是組合問(wèn)題，哪些是排列問(wèn)題？考點(diǎn)組合的概念題點(diǎn)組合的判斷解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問(wèn)題(3)3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù)，有順序，是排列問(wèn)題(4)3人參加某項(xiàng)相同活動(dòng)，沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題反思與感悟區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)志是有無(wú)順序，而區(qū)分有無(wú)順序的方法是：把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說(shuō)明有順序，是排列問(wèn)題；若無(wú)新變化，即說(shuō)明無(wú)順序，是組合問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，并求出相應(yīng)的結(jié)果(1)集合0,1,2,3,4的含三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)是多少？(2)某小組有9位同學(xué)，從中選出正、副班長(zhǎng)各一個(gè)，有多少種不同的選法？若從中選出2名代表參加一個(gè)會(huì)議，有多少種不同的選法？考點(diǎn)組合的概念題點(diǎn)組合的判斷解(1)由于集合中的元素是不講次序的，一個(gè)含三個(gè)元素的集合就是一個(gè)從0,1,2,3,4中取出3個(gè)數(shù)組成的集合這是一個(gè)組合問(wèn)題，組合的個(gè)數(shù)是C10.(2)選正、副班長(zhǎng)時(shí)要考慮次序，所以是排列問(wèn)題，排列數(shù)是A9872，所以選正、副班長(zhǎng)共有72種選法；選代表參加會(huì)議是不用考慮次序的，所以是組合問(wèn)題，所以不同的選法有C36(種)類型二組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)計(jì)算CCA；考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算(1)解原式CA7652102100.(2)求證：CC.考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)組合數(shù)公式的應(yīng)用(2)證明因?yàn)橛疫匔C，左邊C，所以左邊右邊，所以原式成立反思與感悟(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式C計(jì)算(2)涉及字母的可以用階乘式C計(jì)算(3)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：CC；CCC.跟蹤訓(xùn)練2(1)計(jì)算CCCC的值為()AC BCCC1 DC1(2)計(jì)算CC_.考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算與證明答案(1)C(2)5 150解析(1)CCCCCCCCCCCCC1CC1C1.(2)CCCC2005 150.例3(1)已知，求CC；(2)解不等式C>C.考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題解(1)，即.1，即m223m420，解得m2或21.0m5，m2，CCCCC84.(2)由C>C，得即解得又nN*，該不等式的解集為6,7,8,9反思與感悟(1)解題過(guò)程中應(yīng)避免忽略根的檢驗(yàn)而產(chǎn)生增根的錯(cuò)誤，注意不要忽略nN*.(2)與排列組合有關(guān)的方程或不等式問(wèn)題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時(shí)，要注意由C中的mN*，nN*，且nm確定m，n的范圍，因此求解后要驗(yàn)證所得結(jié)果是否適合題意跟蹤訓(xùn)練3解方程3C5A.考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題解原式可變形為3C5A，即5(x4)(x5)，所以(x3)(x6)54285.所以x11或x2(舍去)經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以方程的解為x11.類型三簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題例4有10名教師，其中6名男教師，4名女教師(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有_種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議，有_種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有_種不同的選法考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的組合問(wèn)題答案(1)45(2)21(3)90解析(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C45(種)(2)可把問(wèn)題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師有C種方法；第2類，選出的2名是女教師有C種方法根據(jù)分類加法計(jì)算原理，共有CC15621(種)不同選法(3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同的選法CC90(種)反思與感悟(1)解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于排列問(wèn)題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān)(2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用在分類和分步時(shí)，一定注意有無(wú)重復(fù)或遺漏跟蹤訓(xùn)練4一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球(1)從口袋內(nèi)取出的3個(gè)小球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題解(1)從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是C56.(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球，于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè)，取法種數(shù)是C21.(3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球，也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球，取法種數(shù)是C35.1給出下列問(wèn)題：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名分別去參加2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法？有4張電影票，要在7人中選出4人去觀看，有多少種不同的選法？某人射擊8槍，擊中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，則不同的結(jié)果有多少種？其中組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是()A3 B2 C1 D0考點(diǎn)組合的概念題點(diǎn)組合的判斷答案B解析與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題，均與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題，故選B.2集合Mx|xC，n0且nN，集合Q1,2,3,4，則下列結(jié)論正確的是 ()AMQ0,1,2,3,4 BQMCMQ DMQ1,4考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算答案D解析由C知n0,1,2,3,4，因?yàn)镃1，C4，C6，CC4，C1，所以M1,4,6故MQ1,43若CC，則n等于()A3 B5 C3或5 D15考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題答案C解析由組合數(shù)的性質(zhì)得n2n3或n2n312，解得n3或n5，故選C.4某校開(kāi)設(shè)A類選修課3門(mén)，B類選修課5門(mén)，一位同學(xué)要從中選3門(mén)，若要求兩類課程中至少各選1門(mén)，則不同的選法共有()A15種 B30種 C45種 D90種考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題答案C解析分兩類，A類選修課選1門(mén)，B類選修課選2門(mén)，或者A類選修課選2門(mén)，B類選修課選1門(mén)，因此，共有CCCC45(種)選法5五個(gè)點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，則這五個(gè)點(diǎn)可以連成_條線段；如果是有向線段，共有_條考點(diǎn)組合的概念題點(diǎn)組合的判斷答案1020解析從五個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)恰好連成一條線段，這兩個(gè)點(diǎn)沒(méi)有順序，所以是組合問(wèn)題，連成的線段共有C10(條) .再考慮有向線段的問(wèn)題，這時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的先后排列次序不同則對(duì)應(yīng)不同的有向線段，所以是排列問(wèn)題，排列數(shù)是A20.所以有向線段共有20條1排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：二者都是從n個(gè)不同的元素中取m(mn)個(gè)元素(2)區(qū)別：排列問(wèn)題中元素有序，組合問(wèn)題中元素?zé)o序2關(guān)于組合數(shù)的計(jì)算(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式C計(jì)算；(2)涉及字母的可以用階乘式C計(jì)算(3)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：CC；性質(zhì)2：CCC.一、選擇題1以下四個(gè)問(wèn)題，屬于組合問(wèn)題的是()A從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D從13位司機(jī)中任選出兩位開(kāi)同一輛車往返甲、乙兩地考點(diǎn)組合的概念題點(diǎn)組合的判斷答案C解析只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星，與順序無(wú)關(guān)，是組合問(wèn)題2.等于()A. B101C. D6考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算答案D解析A6.3下列等式不正確的是()AC BCCCCCC DCC考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)組合數(shù)公式的應(yīng)用答案D解析A是組合數(shù)公式；B，C是組合數(shù)性質(zhì)；C，C，兩者不相等，故D錯(cuò)誤4若A6C，則n的值為()A6 B7 C8 D9考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題答案B解析由題意知n(n1)(n2)6，化簡(jiǎn)得1，所以n7.5把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，則分法有()AA種 BC種CCA種 D30種考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的組合問(wèn)題答案B解析三張票沒(méi)區(qū)別，從10人中選3人即可，即C.6將2名女教師，4名男教師分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩所學(xué)校輪崗支教，每個(gè)小組由1名女教師和2名男教師組成，則不同的安排方案共有()A24種 B10種C12種 D9種考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題答案C解析第一步，為甲地選1名女教師，有C2(種)選法；第二步，為甲地選2名男教師，有C6(種)選法；第三步，剩下的3名教師到乙地，故不同的安排方案共有26112(種)，故選C.7現(xiàn)有6個(gè)白球，4個(gè)黑球，任取4個(gè)，則至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是()A115 B90 C210 D385考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題答案A解析依題意根據(jù)取法可分為三類：兩個(gè)黑球，有CC90(種)；三個(gè)黑球，有CC24(種)；四個(gè)黑球，有C1(種)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是90241115，故選A.8對(duì)于所有滿足1mn5的自然數(shù)m，n，方程x2Cy21所表示的不同橢圓的個(gè)數(shù)為()A15 B7 C6 D0考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明答案C解析因?yàn)?mn5，且方程表示橢圓，所以C可能為C，C，C，C，C，C，C，C， C，C，其中CC，CC，CC，CC，所以x2Cy21能表示的不同橢圓有6個(gè)二、填空題9從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，有m個(gè)不同的積；任取兩個(gè)不同的數(shù)相除，有n個(gè)不同的商，則mn_.考點(diǎn)組合的概念題點(diǎn)組合的判斷答案12解析mC，nA，mn12.10從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)、2名二等獎(jiǎng)、3名三等獎(jiǎng)，則可能的決賽結(jié)果共有_種考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題答案60解析根據(jù)題意，所有可能的決賽結(jié)果有CCC6160(種)11不等式Cn<5的解集為_(kāi)考點(diǎn)組合數(shù)性質(zhì)題點(diǎn)含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題答案2,3,4解析由Cn<5，得n<5，即n23n10<0，解得2<n<5.由題意知n2，且nN*，則n2,3,4，故原不等式的解集為2,3,4三、解答題12已知C，C，C成等差數(shù)列，求C的值考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)組合數(shù)公式的應(yīng)用解由已知得2CCC，所以2，整理得n221n980，解得n7或n14，要求C的值，故n12，所以n14，于是CC91.13在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題解(1)從中任取5人是組合問(wèn)題，共有C792(種)不同的選法(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，共有C36(種)不同的選法(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C126(種)不同的選法四、探究與拓展14以下三個(gè)式子：C；AnA；CC.其中正確的個(gè)數(shù)是_考點(diǎn)組合數(shù)公式題點(diǎn)組合數(shù)公式的應(yīng)用答案3解析式顯然成立；式中An(n1)(n2)(nm1)，A(n1)(n2)(nm1)，所以AnA，故式成立；對(duì)于式CC，故式成立15某屆世界杯舉辦期間，共32支球隊(duì)參加比賽，它們先分成8個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽1場(chǎng)，各組第一、二名晉級(jí)16強(qiáng))，這16支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，即八分之一淘汰賽，四分之一淘汰賽，半決賽，決賽，最后決出冠、亞軍，此外還要決出第三、四名，問(wèn)這屆世界杯總共將進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？考點(diǎn)組合的應(yīng)用題點(diǎn)有限制條件的組合問(wèn)題解可分為如下幾類比賽：(1)小組循環(huán)賽，每組有C6(場(chǎng))，8個(gè)小組共有48場(chǎng)；(2)八分之一淘汰賽，8個(gè)小組的第一、二名組成16強(qiáng)，根據(jù)賽制規(guī)則，每2支球隊(duì)一組，每組比賽1場(chǎng)，可以決出8強(qiáng)，共有8場(chǎng)；(3)四分之一淘汰賽，根據(jù)賽制規(guī)則，8強(qiáng)中每2支球隊(duì)一組，每組比賽1場(chǎng)，可以決出4強(qiáng)，共有4場(chǎng)；(4)半決賽，根據(jù)賽制規(guī)則，4強(qiáng)每2支球隊(duì)一組，每組比賽1場(chǎng)，可以決出2強(qiáng)，共有2場(chǎng)；(5)決賽，2強(qiáng)比賽1場(chǎng)確定冠、亞軍，4強(qiáng)中的另2支球隊(duì)比賽1場(chǎng)決出第三、四名，共有2場(chǎng)綜上，由分類加法計(jì)數(shù)原理知，總共將進(jìn)行48842264(場(chǎng))比賽