2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式，能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一排列的定義從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)思考讓你安排這項(xiàng)活動(dòng)需要分幾步？答案分兩步第1步確定上午的同學(xué)；第2步確定下午的同學(xué)梳理一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)及排列數(shù)公式思考從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？答案43224(個(gè))梳理排列數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù)表示法A排列數(shù)公式乘積式An(n1)(n2)(nm1)階乘式A性質(zhì)An！，0！1備注n，mN*，mn1a，b，c與b，a，c是同一個(gè)排列()2同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn)()3在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化()4從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素，只要元素相同得到的就是相同的排列()類型一排列的概念例1判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題：(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來(lái)回的票價(jià)相同)；(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；(3)選2個(gè)小組去種菜；(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員；(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)排列的判斷解(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問(wèn)題，所以不是排列問(wèn)題(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題(3)(4)不存在順序問(wèn)題，不屬于排列問(wèn)題(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問(wèn)題，屬于排列問(wèn)題所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問(wèn)題，(1)(3)(4)不是排列問(wèn)題反思與感悟判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題的思路跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問(wèn)題是否為排列問(wèn)題(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法？若選出3個(gè)座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M1,2，9中，任取兩個(gè)元素作為a，b，可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程1？可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程1?(3)平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)排列的判斷解(1)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，第二問(wèn)是排列問(wèn)題“入座”問(wèn)題同“排隊(duì)”問(wèn)題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問(wèn)題(2)第一問(wèn)不是排列問(wèn)題，第二問(wèn)是排列問(wèn)題若方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關(guān)系一定；在雙曲線1中，不管a>b還是a<b，方程1均表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問(wèn)題(3)確定直線不是排列問(wèn)題，確定射線是排列問(wèn)題類型二排列的列舉問(wèn)題例2(1)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位不同的數(shù)，一共可以組成多少個(gè)？(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的所有排列考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)列舉所有排列解(1)由題意作“樹狀圖”，如下故組成的所有兩位數(shù)為12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12個(gè)(2)由題意作“樹狀圖”，如下故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.反思與感悟利用“樹狀圖”法解決簡(jiǎn)單排列問(wèn)題的適用范圍及策略(1)適用范圍：“樹狀圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問(wèn)題時(shí)，是一種比較有效的表示方式(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹狀圖寫出排列跟蹤訓(xùn)練2寫出A，B，C，D四名同學(xué)站成一排照相，A不站在兩端的所有可能站法考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)列舉所有排列解由題意作“樹狀圖”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.類型三排列數(shù)公式及應(yīng)用例3(1)用排列數(shù)表示(55n)(56n)(69n)(nN*且，n<55)；(2)計(jì)算；(3)求證：AAmA.考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式計(jì)算(1)解因?yàn)?5n,56n，69n中的最大數(shù)為69n，且共有69n(55n)115(個(gè))元素，所以(55n)(56n)(69n)A.(2)解1.(3)證明方法一因?yàn)锳AmmA，所以AAmA.方法二A表示從n1個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列個(gè)數(shù)，其中不含元素a1的有A個(gè)含有a1的可這樣進(jìn)行排列：先排a1，有m種排法，再?gòu)牧硗鈔個(gè)元素中取出m1個(gè)元素排在剩下的m1個(gè)位置上，有A種排法故AmAA，所以mAAA.反思與感悟排列數(shù)公式的形式及選擇方法排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計(jì)算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進(jìn)行計(jì)算，而要對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證時(shí)，一般用階乘式跟蹤訓(xùn)練3不等式A<6A的解集為()A2,8 B2,6 C(7,12) D8考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)解含有排列數(shù)的方程或不等式答案D解析由A<6A，得<6，化簡(jiǎn)得x219x84<0，解得7<x<12，又所以2x8，由及xN*，得x8.1從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問(wèn)題中，有幾種運(yùn)算可以看作排列問(wèn)題()A1 B3 C2 D4考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)排列的判斷答案C解析因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律，所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置無(wú)關(guān)，故不是排列問(wèn)題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關(guān)，故是排列問(wèn)題2從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為()A甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B甲乙，丙乙、丙甲C甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D甲乙，甲丙，乙丙考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)列舉所有排列答案C3(x3)(x4)(x5)(x12)(x13)，xN*，x>13可表示為()AA BA CA DA考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式計(jì)算答案B解析從(x3)，(x4)，到(x13)共(x3)(x13)111(個(gè))數(shù)，所以根據(jù)排列數(shù)公式知(x3)(x4)(x5)(x12)(x13)A.4從5本不同的書中選2本送給2名同學(xué)，每人1本，不同的送法種數(shù)為()A5 B10 C15 D20考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題答案D5解方程A140A.考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)解含有排列數(shù)的方程或不等式解根據(jù)題意，原方程等價(jià)于即整理得4x235x690(x3，xN*)，解得x3.1判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題的思路排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且與元素的排列順序有關(guān)這就說(shuō)，在判斷一個(gè)問(wèn)題是否是排列問(wèn)題時(shí)，可以考慮所取出的元素，任意交換兩個(gè)，若結(jié)果變化，則是排列問(wèn)題，否則不是排列問(wèn)題2關(guān)于排列數(shù)的兩個(gè)公式(1)排列數(shù)的第一個(gè)公式An(n1)(n2)(nm1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn)，從n起連續(xù)寫出m個(gè)數(shù)的乘積即可(2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“n，mN*，mn”的運(yùn)用一、選擇題1A9101112，則m等于()A3 B4 C5 D6考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式計(jì)算答案B2已知下列問(wèn)題：從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組；從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng)；從a，b，c，d中選出3個(gè)字母；從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)其中是排列問(wèn)題的有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)排列的判斷答案B解析由排列的定義知是排列問(wèn)題3與AA不相等的是()AA B81A C10A DA考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式證明答案B解析AA10987！A10AA，81A9AA，故選B.4甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為()A6 B4 C8 D10考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)列舉所有排列答案B解析列樹狀圖如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲故組成的排列為丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4種5從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除，則得到的不同結(jié)果有()A6個(gè) B10個(gè) C12個(gè) D16個(gè)考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題答案C解析不同結(jié)果有A4312(個(gè))6下列各式中與排列數(shù)A相等的是()A. Bn(n1)(n2)(nm)C. DAA考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式證明答案D解析A，而AAn，AAA.7四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A6 B9 C12 D24考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)列舉所有排列答案B解析這四位數(shù)列舉為如下：1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，1 210,2 011,2 101,2 110，共9個(gè)二、填空題8從a，b，c，d，e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素，可組成_個(gè)以b為首的不同的排列，它們分別是_考點(diǎn)排列的概念題點(diǎn)列舉所有排列答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析畫出樹狀圖如下：可知共12個(gè)，它們分別是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.9若集合Px|xA，mN*，則集合P中共有_個(gè)元素考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式計(jì)算答案3解析由題意知，m1,2,3,4，由AA，故集合P中共有3個(gè)元素10滿足不等式>12的n的最小值為_考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)解含有排列數(shù)的方程或不等式答案10解析>12，得(n5)(n6)>12，解得 n>9或n<2(舍去)最小正整數(shù)n的值為10.112017北京車展期間，某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù)，不同的安排方法種數(shù)為_考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題答案60解析由題意可知，問(wèn)題為從5個(gè)元素中選3個(gè)元素的排列問(wèn)題，所以安排方法有54360(種)12由1,4,5，x四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，則x_.考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題答案2解析當(dāng)x0時(shí)，有A24(個(gè))四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)的數(shù)字之和為145x，故24(145x)288，解得x2；當(dāng)x0時(shí)，每個(gè)四位數(shù)的數(shù)字之和為14510，而288不能被10整除，即x0不符合題意，綜上可知，x2.三、解答題13一條鐵路線原有n個(gè)車站，為了適應(yīng)客運(yùn)需要，新增加了2個(gè)車站，客運(yùn)車票增加了58種，問(wèn)原有多少個(gè)車站？現(xiàn)有多少車站？考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題解由題意可得AA58，即(n2)(n1)n(n1)58，解得n14.所以原有車站14個(gè)，現(xiàn)有車站16個(gè)四、探究與拓展14若SAAAAA，則S的個(gè)位數(shù)字是()A8 B5 C3 D0考點(diǎn)排列數(shù)公式題點(diǎn)利用排列數(shù)公式計(jì)算答案C解析1！1,2！2,3！6,4！24,5！120，而6！65！，7！765！，100！1009965！，所以從5！開始到100！，個(gè)位數(shù)字均為0，所以S的個(gè)位數(shù)字為3.15京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站，雙線鐵路全長(zhǎng)1 318公里，途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市，設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站，計(jì)算鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的火車票？考點(diǎn)排列的應(yīng)用題點(diǎn)無(wú)限制條件的排列問(wèn)題解對(duì)于兩個(gè)火車站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站因此，結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中，每次取出2個(gè)不同元素的排列數(shù)A2120420(種)所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的火車票