高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 平面向量教案 蘇教版

考綱導(dǎo)讀平面向量1理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念2掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律3掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件6掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式7掌握正、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形高考導(dǎo)航知識網(wǎng)絡(luò)向量由于具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為多項(xiàng)內(nèi)容的媒介主要考查：1平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，共線定理、基本定理、平行四邊形法則及三角形法則2向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用3向量和其它數(shù)學(xué)知識的結(jié)合如和三角函數(shù)、數(shù)列、曲線方程等及向量在物理中的應(yīng)用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的能力以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計(jì)算或證明第1課時(shí) 向量的概念與幾何運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)1向量的有關(guān)概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫單位向量 叫平行向量，也叫共線向量規(guī)定零向量與任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法與減法 求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫向量的加法向量加法按 法則或 法則進(jìn)行加法滿足 律和 律 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫向量的減法作法是將兩向量的 重合，連結(jié)兩向量的 ，方向指向 3實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作它的長度與方向規(guī)定如下： | | 當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向 ； 當(dāng)0時(shí)，的方向與的方向 ； 當(dāng)0時(shí)， () () () 共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得 4 平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 設(shè)、是一組基底，則與共線的充要條件是 典型例題例1已知ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)設(shè)，求解：()變式訓(xùn)練1.如圖所示，D是ABC邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于（ ）ADBCABCD解:A例2. 已知向量，其中、不共線，求實(shí)數(shù)、，使解:29(22)(33)222，且3392，且1變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形ABCD的對角線相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P為平面上任意一點(diǎn)，求證：證明 2，24例3. 已知ABCD是一個(gè)梯形，AB、CD是梯形的兩底邊，且AB2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若，試用、表示和解：連NC，則；BOADCNM變式訓(xùn)練3：如圖所示，OADB是以向量，為鄰邊的平行四邊形，又，試用、表示，解:，例4. 設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，若與起點(diǎn)相同，tR，t為何值時(shí)，t，()三向量的終點(diǎn)在一條直線上？解：設(shè) (R)化簡整理得：，故時(shí)，三向量的向量的終點(diǎn)在一直線上變式訓(xùn)練4：已知，設(shè)，如果，那么為何值時(shí)，三點(diǎn)在一條直線上？解：由題設(shè)知，三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，即，整理得.若共線，則可為任意實(shí)數(shù)；若不共線，則有，解之得，.綜上，共線時(shí)，則可為任意實(shí)數(shù)；不共線時(shí)，.小結(jié)歸納1認(rèn)識向量的幾何特性對于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究向量方法可以解決幾何中的證明2注意與O的區(qū)別零向量與任一向量平行3注意平行向量與平行線段的區(qū)別用向量方法證明ABCD，需證，且AB與CD不共線要證A、B、C三點(diǎn)共線，則證即可4向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，特點(diǎn)：首尾相接首尾連；向量減法的三角形法則特點(diǎn)：首首相接連終點(diǎn)第2課時(shí) 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)1平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對于一個(gè)向量，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y，使得xy我們把(x、y)叫做向量的直角坐標(biāo)，記作 并且| 2向量的坐標(biāo)表示與起點(diǎn)為 的向量是一一對應(yīng)的關(guān)系3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，則： 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，則 4兩個(gè)向量(x1、y1)和(x2、y2)共線的充要條件是 典型例題例1.已知點(diǎn)A（2，3），B（1，5），且，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解(1，)，(1, )，即C(1, )變式訓(xùn)練1.若，則= . 解: 提示：例2. 已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值解:|coscos()變式訓(xùn)練2.已知2(3，1)，2(1，2)，求解 (1，1)，(1，0)，(0，1)例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x變式訓(xùn)練3.設(shè)(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 <<)，求證：k證明: k k0 kAMBCDP例4. 在平行四邊形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段CM與BD交于點(diǎn)P(1) 若(3，5)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)|時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡解：(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0)， 得x010 y06 即點(diǎn)C(10，6)(2) 點(diǎn)D的軌跡為(x1)2(y1)236 (y1)M為AB的中點(diǎn)P分的比為設(shè)P(x，y)，由B(7，1) 則D(3x14，3y2)點(diǎn)P的軌跡方程為變式訓(xùn)練4.在直角坐標(biāo)系x、y中，已知點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)B(3，4)，若點(diǎn)C在AOB的平分線上，且|2，求的坐標(biāo)解 已知A (0，1)，B (3，4) 設(shè)C (0，5)，D (3，9)則四邊形OBDC為菱形 AOB的角平分線是菱形OBDC的對角線OD 小結(jié)歸納1認(rèn)識向量的代數(shù)特性向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)了“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)化以向量為工具，幾何問題可以代數(shù)化，代數(shù)問題可以幾何化2由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種表示方法，所以我們應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)去選擇向量的表示方法，由于坐標(biāo)運(yùn)算方便，可操作性強(qiáng)，因此應(yīng)優(yōu)先選用向量的坐標(biāo)運(yùn)算第3課時(shí) 平面向量的數(shù)量積基礎(chǔ)過關(guān)1兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和，過O點(diǎn)作，則AOB (0°180°) 叫做向量與的 當(dāng)0°時(shí)，與 ；當(dāng)180°時(shí)，與 ；如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作 2兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則數(shù)量 叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·，即· 規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0若(x1, y1)，(x2, y2)，則· 3向量的數(shù)量積的幾何意義：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量與的夾角)·的幾何意義是，數(shù)量·等于 4向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向量，是單位向量，是與的夾角 ·· 當(dāng)與同向時(shí)，· ；當(dāng)與反向時(shí)，· cos |·| 5向量數(shù)量積的運(yùn)算律： · ； ()· ·() ()· 典型例題例1. 已知|4，|5，且與的夾角為60°，求：(23)·(32)解:(23)(32)4變式訓(xùn)練1.已知|3，|4，|5，求|23|的值解:例2. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值解：(1)若，則即 而，所以(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為變式訓(xùn)練2：已知，其中(1)求證： 與互相垂直；(2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數(shù))證明： 與互相垂直（2）,而，例3. 已知O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足()·(2)0，判斷ABC是哪類三角形解:設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則()()02·0BCADABC是等腰三角形.變式訓(xùn)練3：若，則ABC的形狀是 . 解: 直角三角形.提示： 例4. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()的值.解:(cossin, cossin)由已知(cossin)2(cossin)2化簡：cos又cos2(, 2) cos<0cos變式訓(xùn)練4.平面向量，若存在不同時(shí)為的實(shí)數(shù)和，使,且，試求函數(shù)關(guān)系式.解：由得小結(jié)歸納1運(yùn)用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長度、角度等問題因此充分挖掘題目所包含的幾何意義，往往能得出巧妙的解法2注意·與ab的區(qū)別·0，或 3應(yīng)根據(jù)定義找兩個(gè)向量的夾角。對于不共起點(diǎn)的兩個(gè)向量，通過平移，使起點(diǎn)重合第4課時(shí) 線段的定比分點(diǎn)和平移基礎(chǔ)過關(guān)1 設(shè)P1P2是直線L上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是L上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使，叫做 2設(shè)P1（x1、y1），P2（x2、y2），點(diǎn)P（x、y）分的比是時(shí)，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為： ，中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 。3 平移公式：將點(diǎn)P（x、y）按向量（h、k）平移得到點(diǎn)P'（x'，y'），則 典型例題例1. 已知點(diǎn)A(1, 4)，B(5, 2)，線段AB上的三等分點(diǎn)依次為P1、P2，求P1、P2的坐標(biāo)及A、B分所成的比.解 P1(x2) P2(3, 0) (2) , 2變式訓(xùn)練1.設(shè)|AB|5，點(diǎn)p在直線AB上，且|PA|1，則p分所成的比為 解: 例2. 將函數(shù)y2sin（2x）3的圖象C進(jìn)行平移后得到圖象C'，使C上面的一點(diǎn)P（、2）移至點(diǎn)P'（、1），求圖像C'對應(yīng)的函數(shù)解析式解: C'：y2sin(2x)2變式訓(xùn)練2：若直線2xyc0按向量(1, 1)平移后與圓x2y25相切，則c的值為 （ ）A8或2 B6或4C4或6 D2或8解: A例3. 設(shè)(sinx1, cosx1)，f (x)，且函數(shù)yf (x)的圖象是由ysinx的圖象按向量平移而得，求.解:() (kz)變式訓(xùn)練3：將ysin2x的圖象向右按作最小的平移，使得平移后的圖象在k, k (kZ)上遞減，則 解:(，0)例4. 已知ABC的頂點(diǎn)A(0、0)，B(4、8)，C(6、4)，點(diǎn)M內(nèi)分所成的比為3，N是AC邊上的一點(diǎn)，且AMN的面積等于ABC的面積的一半，求N點(diǎn)的坐標(biāo)解:由 得 N(4，) 變式訓(xùn)練4.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，2），B（4，1），C（3，4）(1)求AB邊上的中線CM的長及重心G的坐標(biāo)；(2)在AB上取一點(diǎn)P，使過P且平行于BC的直線PQ把ABC的面積分成45兩部分（三角形面積：四邊形面積），求點(diǎn)P的坐標(biāo)解:小結(jié)歸納1在運(yùn)用線段定比分點(diǎn)公式時(shí)，首先要確定有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)和分點(diǎn)，再結(jié)合圖形確定分比2平移公式反映了平移前的點(diǎn)P(x、y)和平移后的點(diǎn)P'(x'、y')，及向量(h，k)三者之間的關(guān)系它的本質(zhì)是平移公式與圖象變換法則，既有區(qū)別又有聯(lián)系，應(yīng)防止混淆平面向量章節(jié)測試題一、選擇題1. 若A（2，-1），B（-1，3），則的坐標(biāo)是 ( )A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不對2.與a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）3. ABC中,=a, =b,則等于 ( )A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a (ab)(2a+4b)+(2a+13b)的結(jié)果是 ( )A.ab B.0 C. a+b D. ab5.已知|p|=,|q|=3, p與q的夾角為,則以a=5p+2q,b=p3q為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為 ( )A.15 B.6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐標(biāo)為(2k-1,7)且p,則k的值為 ( )A. B. C. D.7. 已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P與ABC的關(guān)系是 ( )A. P在ABC的內(nèi)部 B. P在ABC的外部 C. P是AB邊上的一個(gè)三等分點(diǎn) D. P是AC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)8.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC邊上一點(diǎn),且ABM的面積是ABC面積的,則線段AM的長度是 ( )A.5 B. C. D.1,e2是夾角為450的兩個(gè)單位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,則|a+b|的值 ( )A. B.9 C. D.10.若|a|=1,|b|=,(a-b)a,則a與b的夾角為 ( )0 B.450 C.600011.把一個(gè)函數(shù)的圖象按向量a=(,-2)平移后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin(x+)-2,則原函數(shù)的解析式為 ( )A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在ABC中，=c, =a, =b,則下列推導(dǎo)中錯(cuò)誤的是 ( )A.若a·b<0,則ABC為鈍角三角形 B. 若a·b=0,則ABC為直角三角形C. 若a·b=b·c,則ABC為等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,則ABC為等腰三角形二、填空題13.在ABC中，已知且則這個(gè)三角形的形狀是 .的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為，則船實(shí)際航行的速度的大小和方向是 .15. 若向量,現(xiàn)用a、b表示c,則c= .16.給出下列命題:若a2+b2=0,則a=b=0;已知AB,則已知a,b,c是三個(gè)非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|已知,e1,e2是一組基底,a=1e1+2e2則a與e1不共線,a與e2也不共線;若a與b共線,則a·b=|a|·|b|.其中正確命題的序號是 .三、解答題ABNMDC17.如圖,ABCD是一個(gè)梯形, M、N分別是的中點(diǎn),已知a,b,試用a、b表示和1、e2=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2) 求證:A、B、D共線;試確定實(shí)數(shù)k,使ke1+e2和e1+ke2共線.19.已知ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD.求證:ABAC;求點(diǎn)D與向量的坐標(biāo).20.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,2),B(4,1),C(3,4).求AB邊上的中線CM的長;在AB上取一點(diǎn)P,使過P且平行與BC的直線PQ把的面積分成4:5兩部分,求P點(diǎn)的坐標(biāo).21.已知a、b是兩個(gè)非零向量，證明：當(dāng)b與a+b(R)垂直時(shí)，a+b的模取得最小值.22.已知二次函數(shù)f(x) 對任意xR，都有f (1-x)=f (1+x)成立，設(shè)向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),c=(cos2x,1),d=(1,2)。 （1）分別求a·b和c·d的取值范圍；（2）當(dāng)x0,時(shí)，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.平面向量章節(jié)測試題參考答案一、BCDBA；DDADB；BD二、4km/h,方向與水流方向的夾角為600 ; 15.a2b ; 16.三、17.|=2|a,ba , =ab18.5e1+5e2= , 又有公共點(diǎn)B,A、B、D共線設(shè)存在實(shí)數(shù)使ke1+e2=(e1+ke2) k=且k=1 k=19.由可知即ABAC 設(shè)D（x,y）, 5(x-2)+5(y-4)=0 5(x+1)5(y+2)=0 D()20.設(shè)P（x,y）21. 當(dāng)b與a+b(R)垂直時(shí)，b·(a+b)=0,= - | a+b |= 當(dāng)= -時(shí)，| a+b |取得最小值.當(dāng)b與a+b(R)垂直時(shí)，a+b的模取得最小值. 22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11 （2）f(1-x)=f(1+x) f(x)圖象關(guān)于x=1對稱 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m>0時(shí), f(x)在（1，）內(nèi)單調(diào)遞增，由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1 又x0, x當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m<0時(shí),f(x)在（1，）內(nèi)單調(diào)遞減，由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1又x0, x、故當(dāng)m>0時(shí)不等式的解集為;當(dāng)m<0時(shí)不等式的解集為