（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十六 概率、隨機變量及其分布列講義 理（重點生含解析）.doc

專題十六 概率、隨機變量及其分布列卷卷卷2018幾何概型T10古典概型T8相互獨立事件及二項分布及方差的計算T8二項分布、導數(shù)的應(yīng)用及變量的數(shù)學期望、決策性問題T202017數(shù)學文化、有關(guān)面積的幾何概型T2二項分布的方差T13頻數(shù)分布表、概率分布列的求解、數(shù)學期望的應(yīng)用T18正態(tài)分布、二項分布的性質(zhì)及概率、方差T192016與長度有關(guān)的幾何概型T4幾何概型、隨機模擬T10_柱狀圖、相互獨立事件與互斥事件的概率、分布列和數(shù)學期望T19互斥事件的概率、條件概率、隨機變量的分布列和數(shù)學期望T18縱向把握趨勢卷3年6考，且每年均有“一小一大”兩題同時考查，連續(xù)3年均以選擇題的形式考查了幾何概型，解答題涉及事件的相互獨立性、二項分布、數(shù)學期望問題，難度適中.2018年高考將二項分布與導數(shù)相結(jié)合是高考的一大亮點預計2019年高考仍會延續(xù)“一小一大”的命題規(guī)律，小題考查古典概型或幾何概型，大題考查二項分布及均值、方差卷3年4考，主要以選擇題和填空題的形式考查，涉及古典概型、幾何概型、隨機模擬、隨機變量的分布列和數(shù)學期望、二項分布的方差等，難度適中預計2019年會以解答題的形式考查二項分布的應(yīng)用問題卷3年2考，涉及相互獨立事件、二項分布及數(shù)學期望的應(yīng)用問題，難度適中預計2019年高考可能以解答題的形式考查二項分布及其應(yīng)用問題橫向把握重點1.概率、隨機變量及其分布是高考命題的熱點之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇題或填空題和一道解答題2.選擇題或填空題常出現(xiàn)在第410題或第1315題的位置，主要考查隨機事件的概率、古典概型、幾何概型，難度一般.古典概型與幾何概型 題組全練1利用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生隨機數(shù)a，則不等式ln(3a1)<0成立的概率是()A.B.C. D.解析：選C由ln(3a1)<0得<a<，則用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生隨機數(shù)a，不等式ln(3a1)<0成立的概率是P.2(2018貴陽模擬)點集(x，y)|0xe,0ye，A(x，y)|yex，(x，y)，在點集中任取一個元素a，則aA的概率為()A. B.C. D.解析：選B如圖，根據(jù)題意可知表示的平面區(qū)域為正方形BCDO，面積為e2，A表示的區(qū)域為圖中陰影部分，面積為(eex)dx(exex) (ee)(1)1，根據(jù)幾何概型可知aA的概率P.3為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下的2種顏色的花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花種在同一花壇的概率是()A. B.C. D.解析：選C把這4種顏色的花種在兩個花壇中的所有情況為(紅，黃)，(白，紫)；(紅，白)，(黃，紫)；(紅，紫)，(黃，白)；(黃，白)，(紅，紫)；(黃，紫)，(紅，白)；(白，紫)，(紅，黃)，共有6種，其中紅色和紫色的花種在同一花壇的情況有2種，所以紅色和紫色的花種在同一花壇的概率P.4.(2018全國卷)如圖，來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析：選A法一：SABCABAC，以AB為直徑的半圓的面積為2AB2，以AC為直徑的半圓的面積為2AC2，以BC為直徑的半圓的面積為2BC2，SABAC，SBC2ABAC，SABAC.SS.由幾何概型概率公式得p1，p2，p1p2.故選A.法二：不妨設(shè)ABC為等腰直角三角形，ABAC2，則BC2，所以區(qū)域的面積即ABC的面積，為S1222，區(qū)域的面積S2122，區(qū)域的面積S322.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故選A. 系統(tǒng)方法古典概型、幾何概型概率的求法(1)求古典概型的概率，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)常常用到排列、組合的有關(guān)知識，計數(shù)時要正確分類，做到不重不漏(2)求幾何概型的概率，構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關(guān)鍵，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域.相互獨立事件與獨立重復試驗題組全練1.如圖，四邊形ABCD是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接正方形，且E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點將一枚針隨機擲到圓O內(nèi)，用M表示事件“針落在正方形ABCD內(nèi)”，N表示事件“針落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(N|M)等于()A. B.C. D.解析：選C由已知得正方形ABCD的邊長為，正方形EFGH的邊長為1，所以P(M)，P(N).因為P(MN)P(N)，所以P(N|M).2生產(chǎn)某零件需要經(jīng)過兩道工序，在第一、第二道工序中產(chǎn)生廢品的概率分別為0.01和p，每道工序產(chǎn)生廢品相互獨立若經(jīng)過兩道工序后得到的零件不是廢品的概率是0.960 3，則p_.解析：由題意得(10.01)(1p)0.960 3，解得p0.03.答案：0.033.如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準備開車送貨到某單位B處，有ACDB，AEFB兩條路線若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示例如ACD算作兩個路段，路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為.若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小，則由A到B應(yīng)選擇的路線是_解析：由已知得路線ACDB途中發(fā)生堵車事件的概率為P11.路線AEFB途中發(fā)生堵車事件的概率P21.因為<，故應(yīng)選擇路線AEFB.答案：AEFB系統(tǒng)方法1條件概率的求法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A).這是通用的求條件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).2求復雜事件概率的方法及注意點(1)直接法：正確分析復雜事件的構(gòu)成，將復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或獨立重復試驗問題，然后用相應(yīng)概率公式求解(2)間接法：當復雜事件正面情況較多，反面情況較少時，可利用其對立事件進行求解對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解(3)注意點：注意辨別獨立重復試驗的基本特征：在每次試驗中，試驗結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望多維例析角度一超幾何分布與數(shù)學期望的求解在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X)解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M).(2)由題意知X可取的值為：0,1,2,3,4，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列為X01234P故X的數(shù)學期望E(X)012342.類題通法1離散型隨機變量分布列的求解步驟2超幾何分布的概率與期望的求法對于實際問題中的隨機變量X，如果能夠斷定它服從超幾何分布H(N，M，n)，則其概率、期望可直接利用公式P(Xk)(k0,1，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*)，E(X)求解角度二二項分布與數(shù)學期望的求解(2018惠州第二次調(diào)研)某學校為了豐富學生的課余生活，以班級為單位組織學生開展古詩詞背誦比賽，隨機抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯誤減10分，且背誦結(jié)果只有“正確”和“錯誤”兩種其中某班級學生背誦正確的概率p，記該班級完成n首背誦后的總得分為Sn.(1)求S620且Si0(i1,2,3)的概率；(2)記|S5|，求的分布列及數(shù)學期望E()解(1)當S620時，即背誦6首后，正確的有4首，錯誤的有2首由Si0(i1,2,3)可知，若第一首和第二首背誦正確，則其余4首可任意背誦正確2首；若第一首背誦正確，第二首背誦錯誤，第三首背誦正確，則其余3首可任意背誦正確2首則所求的概率P2C22C2.(2)由題意知|S5|的所有可能的取值為10,30,50，又p，P(10)C32C23，P(30)C41C14，P(50)C50C05，的分布列為103050P數(shù)學期望E()103050.類題通法與二項分布有關(guān)的期望、方差的求法(1)求隨機變量的期望與方差時，可首先分析是否服從二項分布，如果B(n，p)，則用公式E()np，D()np(1p)求解，可大大減少計算量(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求出D(ab)角度三相互獨立事件的概率及其分布列、期望(2019屆高三益陽、湘潭調(diào)研)某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為，他們出線與未出線是相互獨立的(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望E()解(1)記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D，則P(D)1P( )1.(2)由題意可得，的所有可能取值為0,1,2,3，則P(0)P( )，P(1)P(A )P( B)P( C)，P(2)P(A B )P(A C)P(BC)，P(3)P(ABC).所以的分布列為0123PE()0123.類題通法解相互獨立事件概率問題的策略(1)會分拆事件，即先把事件分拆成若干個互斥事件，再把其中的每個事件分拆成若干個相互獨立事件；(2)會用公式，若事件A，B是相互獨立事件，則P(AB)P(A)P(B)，若事件A，B是互斥事件，則P(AB)P(A)P(B)綜合訓練(2017全國卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？解：(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列為：X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200n500.當300n500時，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y63002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.當200n<300時，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y62002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元.樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合問題由題知法為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3，3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01)附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3<Z<3)0.997 4.0.997 4160.959 2，0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(3，3)之外的概率為0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X的數(shù)學期望為EX160.002 60.041 6.(2)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的由9.97，s0.212，得的估計值為9.97，的估計值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.979.22)10.02，因此的估計值為10.02.160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計值為0.09.類題通法正態(tài)分布下兩類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個應(yīng)用通關(guān)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)利用的結(jié)果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，則P(<Z<)0.682 7，P(2<Z<2)0.954 5.解：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)P(20012.2<Z<20012.2)0.682 7.由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7，依題意知XB(100，0.682 7)，所以E(X)1000.682 768.27.高考大題通法點撥概率與統(tǒng)計問題重在“辨”辨析、辨型思維流程策略指導(1)準確弄清問題所涉及的事件有什么特點，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨立等；(2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等；(3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等；(4)準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計算公式和性質(zhì)來計算事件的概率；(5)確定隨機變量取值并求其對應(yīng)的概率，寫出分布列后再求期望(6)會套用求、K2的公式求值，再作進一步求值與分析 某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值破題思路第(1)問求什么想什么求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率，想到保費高于基本保費的出現(xiàn)次數(shù)及相應(yīng)的概率給什么用什么題目中的表格給出了一年內(nèi)出險次數(shù)所對應(yīng)的概率和保費，想到互斥事件的概率，利用互斥事件的概率公式求解第(2)問求什么想什么求其保費比基本保費高出60%的概率，想到保費比基本保費高出60%的情況有哪些給什么用什么題目給出的條件為“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，因此根據(jù)條件概率的定義可知該事件屬于條件概率，可用條件概率公式求解缺什么找什么要利用條件概率公式求解，缺少“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”的概率以及“該續(xù)保人本年度的保費高于基本保費且保費比基本保費高出60%的概率”，從題目表格中的數(shù)據(jù)可知第(3)問求什么想什么求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值，想到求平均保費即保費的均值給什么用什么結(jié)合題目中的兩個表格，可知保費為0.85a，a,1.25a,1.5a,1.75a,2a，所對應(yīng)的概率分別為0.30,0.15,0.20,0.20,0.10,0.05，利用均值公式求解即可規(guī)范解答(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)0.200.200.100.050.55.(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)0.100.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率為.(3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05 E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.關(guān)鍵點撥(1)會判斷，先判斷事件的類型，再利用對立事件的概率公式、條件概率的公式等求解概率；(2)會計算，要求隨機變量X的期望，需先求出X的所有可能取值，然后求出隨機變量X取每個值時的概率，再利用隨機變量的數(shù)學期望的定義進行計算為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100 km/h的有40人，不超過100 km/h 的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100 km/h的有20人，不超過100 km/h的有25人(1)完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.005 的前提下認為“平均車速超過100 km/h與性別有關(guān)”？平均車速超過100 km/h平均車速不超過100 km/h總計男性駕駛員女性駕駛員總計附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828(2)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100 km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(3)以樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100 km/h且為男性駕駛員的車輛數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)破題思路第(1)問求什么想什么判斷能否在犯錯誤概率不超過0.005的前提下認為“平均車速超過100 km/h與性別有關(guān)”，想到計算K2的觀測值給什么用什么分別給出55名男性駕駛員和45名女性駕駛員中平均速度超過100 km/h和不超過100 km/h的人數(shù)，利用22列聯(lián)表進行數(shù)據(jù)整理，并代入K2公式求解，并對照附表中數(shù)據(jù)給出結(jié)論第(2)問求什么想什么求抽取的2人中恰有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率，想到判斷概率模型及相應(yīng)的概率公式給什么用什么題目條件中給出平均車速不超過100 km/h的男、女駕駛員的人數(shù)，可借助組合的知識求出從中隨機抽取2人的所有情況數(shù)及恰有1男、1女的情況，代入古典概型的概率公式求解即可第(3)問求什么想什么求X的分布列和E(X)，想到X的可能取值及其對應(yīng)的概率值給什么用什么題目條件中給出抽樣方法，由于是從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，總體容量非常大，故可認為該抽樣中的隨機變量服從二項分布差什么找什么缺少X的可能取值及其對應(yīng)的概率值，結(jié)合已知條件，利用二項分布求得分布列及E(X)規(guī)范解答(1)完成的列聯(lián)表如下：平均車速超過100 km/h平均車速不超過100 km/h總計男性駕駛員401555女性駕駛員202545總計6040100由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測值k8.2497.879，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“平均車速超過100 km/h與性別有關(guān)”(2)平均車速不超過100 km/h的駕駛員有40人，從中隨機抽取2人的方法總數(shù)為C，記“這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為CC，所以所求的概率P(A).(3)根據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過100 km/h且為男性駕駛員的概率為，故XB.所以P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.所以X的分布列為X0123P E(X)0123.關(guān)鍵點撥(1)會利用兩個基本計數(shù)原理、排列與組合，以及古典概型的概率公式求隨機變量的概率；能準確判斷隨機變量X的所有可能取值，然后求出隨機變量X取每個值時的概率，即可得隨機變量X的分布列；還需活用定義，即會活用隨機變量的數(shù)學期望的定義進行計算(2)獨立性檢驗是用來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，計算隨機變量的觀測值K2，K2越大，說明兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大對點訓練(2018遼寧大連期中)某工廠為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的單價進行試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1,2，6)如表所示.試銷單價x/元4567a9產(chǎn)品銷量y/件b8483807568已知變量x，y具有線性負相關(guān)關(guān)系，且i39，i480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得其回歸方程分別為：甲：y4x54；乙：y4x106；丙：y4.2x105.其中有且僅有一位同學的計算結(jié)果是正確的(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確，并求出a，b的值；(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)(xi，i)中的i與檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)中的yi差的絕對值不超過1，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望解：(1)已知變量x，y具有線性負相關(guān)關(guān)系，故甲的計算結(jié)果不對，由題意得，6.5，80，將6.5，80分別代入乙、丙的回歸方程，經(jīng)驗證知乙的計算結(jié)果正確，故回歸方程為y4x106.由i4567a939，得a8，由ib8483807568480，得b90.(2)列出估計數(shù)據(jù)(xi，i)與檢測數(shù)據(jù)(xi，yi)如表.x456789y908483807568908682787470易知有3個“理想數(shù)據(jù)”，故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的所有可能取值為0,1,2,3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列為0123PE()0123.總結(jié)升華 概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的模型，只要找到模型，問題便迎刃而解而概率模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復雜的辨析思維過程，常常因題設(shè)條件理解不準，某個概念認識不清而誤入歧途另外，還需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件、獨立事件等事件間的關(guān)系，注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理劃分復合事件專題跟蹤檢測(對應(yīng)配套卷P203)一、全練保分考法保大分1(2018全國卷)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30723.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A.B.C. D.解析：選C不超過30的所有素數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C45種情況，而和為30的有723,1119,1317這3種情況，所求概率為.故選C.2(2018武漢調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次，得到的點數(shù)依次記為a和b，則方程ax2bx10有實數(shù)解的概率是()A. B.C. D.解析：選C投擲骰子兩次，所得的點數(shù)a和b滿足的關(guān)系為a和b的組合有36種，若方程ax2bx10有實數(shù)解，則b24a0，b24a.當b1時，沒有a符合條件；當b2時，a可取1；當b3時，a可取1,2；當b4時，a可取1,2,3,4；當b5時，a可取1,2,3,4,5,6；當b6時，a可取1,2,3,4,5,6.滿足條件的組合有19種，則方程ax2bx10有實數(shù)解的概率P.3(2018合肥質(zhì)檢)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布N(100,4)現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取10 000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在98,104內(nèi)的產(chǎn)品估計有()附：若X服從正態(tài)分布N(，2)，則P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.A3 413件B4 772件C6 826件 D8 186件解析：選D由題意知100，2，則P(98X104)P(X)P(2X2)0.818 6，所以質(zhì)量在98,104內(nèi)的產(chǎn)品估計有10 0000.818 68 186件4.(2019屆高三洛陽聯(lián)考)如圖，圓O：x2y22內(nèi)的正弦曲線ysin x與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A. B.C. D.解析：選B由題意知圓O的面積為3，正弦曲線ysin x，x，與x軸圍成的區(qū)域記為M，根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域M的面積S2sin xdx2cos x4，由幾何概型的概率計算公式可得，隨機往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P，故選B.5(2018濰坊模擬)某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是：每人進行3個輪次的投籃；每個輪次每人投籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過已知隊員甲投籃1次投中的概率為，如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是()A3 B.C2 D.解析：選B每個輪次甲不能通過的概率為，通過的概率為1，因為甲3個輪次通過的次數(shù)X服從二項分布B，所以X的數(shù)學期望為3.6.(2018濰坊模擬)如圖，六邊形ABCDEF是一個正六邊形，若在正六邊形內(nèi)任取一點，則該點恰好在圖中陰影部分的概率是()A. B.C. D.解析：選C設(shè)正六邊形的中心為點O，BD與AC交于點G，BC1，則BGCG，BGC120，在BCG中，由余弦定理得1BG2BG22BG2cos 120，得BG，所以SBCGBGBGsin 120，因為S六邊形ABCDEFSBOC611sin 606，所以該點恰好在圖中陰影部分的概率是1.7(2018福州模擬)某商店隨機將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫并排貼在同一面墻上，則角梳與油紙傘的宣傳畫相鄰的概率是_解析：記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫分別為a，b，c，則并排貼的情況有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6種，其中b，c相鄰的情況有abc，acb，bca，cba，共4種，故由古典概型的概率計算公式，得所求概率P.答案：8(2018唐山模擬)向圓(x2)2(y)24內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率為_解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為，所以弦AB的長為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為22，所以向圓(x2)2(y)24內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在x軸下方的概率P.答案：9從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，則兩張都是假鈔的概率是_解析：設(shè)事件A為“抽到的兩張都是假鈔”，事件B為“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率為P(A|B)，因為P(AB)P(A)，P(B)，所以P(A|B).答案：10.(2018唐山模擬)某籃球隊在某賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如圖(1)根據(jù)這8場比賽，估計甲每場比賽中得分的均值和標準差；(2)假設(shè)甲在每場比賽的得分服從正態(tài)分布N(，2)，且各場比賽間相互沒有影響，依此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)參考數(shù)據(jù)：5.66，5.68，5.70.正態(tài)總體N(，2)在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率約為0.954.解：(1)(78101517192123)15，2(8)2(7)2(5)2022242628232.25.所以5.68.所以估計甲每場比賽中得分的均值為15，標準差為5.68.(2)由(1)得甲在每場比賽中得分在26分以上的概率P(X26)1P(2X2)(10.954)0.023，設(shè)在82場比賽中，甲得分在26分以上的次數(shù)為Y，則YB(82,0.023)Y的均值E(Y)820.0231.886.由此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)為1.886.11某化妝品公司從國外進口美容型和療效型兩種化妝品，分別經(jīng)過本公司的兩條生產(chǎn)線分裝后進行銷售，兩種化妝品的標準質(zhì)量都是100克/瓶，誤差不超過5克/瓶即視為合格產(chǎn)品，否則視為不合格產(chǎn)品現(xiàn)隨機抽取兩種產(chǎn)品各60瓶進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：質(zhì)量/克90,95)95,100)100,105)105,110美容型化妝品/瓶5222310療效型化妝品/瓶5211915(1)根據(jù)上述檢測結(jié)果，若從這兩種化妝品中各任取一瓶，以頻率作為概率，分別計算這兩瓶化妝品為合格產(chǎn)品的概率；(2)對于一瓶美容型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損a2(單位：百元)；對于一瓶療效型化妝品，若是合格產(chǎn)品，則可獲得的利潤為a(單位：百元)，若不是合格產(chǎn)品，則虧損2a2(單位：百元)那么當a為何值時，該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤最大？解：(1)由表可知，任取一瓶美容型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為；任取一瓶療效型化妝品，其為合格產(chǎn)品的概率為.(2)記X為任意一瓶美容型化妝品和一瓶療效型化妝品所獲得的利潤之和，則X的所有可能取值為a，a2a2，aa2，3a2，則P，P(Xa2a2)，P，P(X3a2)，所以隨機變量X的分布列為Xaa2a2aa23a2P所以E(X)a(a2a2)(3a2)a2a(a2)2，所以當a2時，E(X)取得最大值，即當a為2時，該公司各銷售一瓶這兩種化妝品所獲得的利潤最大12(2019屆高三貴陽模擬)從A地到B地共有兩條路徑L1和L2，經(jīng)過這兩條路徑所用的時間互不影響，且經(jīng)過L1和L2所用時間的頻率分布直方圖分別如圖(1)和(2)現(xiàn)甲選擇L1或L2在40分鐘內(nèi)從A地到B地，乙選擇L1或L2在50分鐘內(nèi)從A地到B地(1)求圖(1)中a的值；并回答，為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到B地的人數(shù)，針對(1)中的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學期望解：(1)由圖(1)可得(0.010.023a)101，解得a0.03，用Ai表示甲選擇Li(i1,2)在40分鐘內(nèi)從A地到B地，用Bi表示乙選擇Li(i1,2)在50分鐘內(nèi)從A地到B地，則P(A1)(0.010.020.03)100.6，P(A2)(0.010.04)100.5，因為P(A1)P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1.又P(B1)(0.010.020.030.02)100.8，P(B2)(0.010.040.04)100.9，因為P(B2)P(B1)，所以乙應(yīng)選擇L2.(2)用M，N分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙兩人在各自允許的時間內(nèi)趕到B地，由(1)知P(M)0.6，P(N)0.9，X的可能取值為0,1,2.由題意知，M，N相互獨立，P(X0)0.40.10.04，P(X1)0.40.90.60.10.42，P(X2)0.60.90.54，X的分布列為X012P0.040.420.54E(X)00.0410.4220.541.5.13(2018全國卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f (p)，求f (p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？解：(1)因為20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f (p)Cp2(1p)18，所以f (p)C2p(1p)1818p2(1p)172Cp(1p)17(110p)令f (p)0，得p0.1.當p(0,0.1)時，f (p)>0；當p(0.1,1)時，f (p)<0.所以f (p)的最大值點為p00.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知YB(180,0.1)，X20225Y，即X4025Y.所以EXE(4025Y)4025EY490.若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費用為400元由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗二、加練大題考法少失分1.(2018鄭州質(zhì)檢)為了減少霧霾，還城市一片藍天，某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實行車輛限號出行政策，鼓勵民眾不開車低碳出行市政府為了了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計了該市甲、乙兩個單位各200名員工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù)，畫出莖葉圖如圖所示，(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122，求x的值；(2)現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為1，2，令12，求的分布列和數(shù)學期望解：(1)由題意知，105107113115119126(120x)132134141122，解得x8.(2)由題得1的所有可能取值為0,1,2，2的所有可能取值為0,1,2，因為12，所以隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3,4.因為甲單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為3，乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)為4，所以P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列為01234P所以E()01234.2(2018福州模擬)某學校八年級共有學生400人，現(xiàn)對該校八年級學生隨機抽取50名進行實踐操作能力測試，實踐操作能力測試結(jié)果分為四個等級水平，一、二等級水平的學生實踐操作能力較弱，三、四等級水平的學生實踐操作能力較強，測試結(jié)果統(tǒng)計如下表：等級水平一水平二水平三水平四男生/名48126女生/名6842(1)根據(jù)表中統(tǒng)計的數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為學生實踐操作能力強弱與性別有關(guān)？實踐操作能力較弱實踐操作能力較強總計男生/名女生/名總計(2)現(xiàn)從測試結(jié)果為水平一的學生中隨機抽取4名進行學習能力測試，記抽到水平一的男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望下面的臨界值表供參考：P(K2k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828參考公式：K2，其中nabcd.解：(1)補充22列聯(lián)表如下：實踐操作能力較弱實踐操作能力較強總計男生/名121830女生/名14620總計262450K24.3273.841.有95%的把握認為學生實踐操作能力強弱與性別有關(guān)(2)的可能取值為0,1,2,3,4.P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4).的分布列為01234PE()01234.3(2018開封模擬)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標準A，X3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望；(3)在(1)，(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，判斷哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？并說明理由注：產(chǎn)品的“性價比”產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望/產(chǎn)品的零售價；“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性解：(1)E(X1)6，50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又0.4ab0.11，即ab0.5.聯(lián)立解得a0.3，b0.2.(2)由已知，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6，價格為6元/件，其性價比為1，