2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2-3-2 離散型隨機(jī)變量的方差隨堂達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 新人教A版選修2-3.doc

2-3-2 離散型隨機(jī)變量的方差1牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則D()等于()A0.2 B0.8 C0.196 D0.804解析B(10,0.02)，D()100.02(10.02)0.196.答案C2投擲一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為，則()AE()3.5，D()3.52 BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5 DE()3.5，D()解析P(k)，k1,2,3,4,5,6，E()(1236)3.5，E(2)(122262)，D()E(2)(E()2.答案B3已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)若E(X)30，D(X)20，則p_.解析由得p.答案4隨機(jī)變量的取值為0,1,2.P(0)，E()1，則D()_.解析由題意設(shè)P(1)p，則的分布列為012Ppp由E()1，可得p，所以D()120212.答案課內(nèi)拓展課外探究1常用分布的方差(1)兩點(diǎn)分布：若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)p(1p)注意：上述公式證明如下：由于X服從兩點(diǎn)分布，即P(X0)1p，P(X1)p，E(X)p，E(X2)02(1p)12pp，D(X)E(X2)(E(X)2pp2p(1p)(2)二項(xiàng)分布：若XB(n，p)，則D(X)np(1p)注意：上述結(jié)論證明如下：XB(n，p)，令q1p，則P(Xi)Cpiqni，E(X2)2Cpiqni(i1)CpiqniCpiqni(i1)CpiqniE(X)n(n1)p2pi2q(n2)(i2)E(X)n(n1)p2pjq(n2)jE(X)n(n1)p2(pq)n2E(X)n(n1)p2E(X)n(n1)p2np，D(X)E(X2)(E(X)2n(n1)p2np(np)2npnp2npq.故D(X)np(1p)(3)超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，即XH(N，M，n)，則D(X). 某人投籃命中的概率為p0.4.(1)求投籃一次，命中次數(shù)X的均值和方差；(2)求重復(fù)10次投籃時(shí)命中次數(shù)Y的均值和方差解(1)X的分布列為X01P0.60.4E(X)00.610.40.4.D(X)(00.4)20.6(10.4)20.40.24.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即YB(10,0.4)，E(Y)np100.44，D(Y)100.40.62.4.點(diǎn)評(píng)由隨機(jī)變量的方差的計(jì)算公式可知，欲求隨機(jī)變量的方差應(yīng)先求該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若該隨機(jī)變量服從一些特殊的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布)，可以直接利用已知的公式進(jìn)行計(jì)算2方差的求法(1)定義法求離散型隨機(jī)變量的方差的步驟：明確隨機(jī)變量的取值，以及取每個(gè)值的試驗(yàn)結(jié)果；求出隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率；列出分布列；利用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出隨機(jī)變量的期望E(X)；代入公式D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xiE(X)2pi(xnE(X)2pn求出方差D(X)；代入公式(X)求出隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)利用公式D(X)E(X2)(E(X)2求方差公式D(X)E(X2)(E(X)2的證明如下：D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn(xp1xp2xpn)2E(X)(x1p1x2p2xnpn)(E(X)2(p1p2pn)E(X2)2(E(X)2(E(X)2E(X2)(E(X)2.利用公式D(X)E(X2)(E(X)2可以簡化求方差的過程 盒子中有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，求取出白球的個(gè)數(shù)的期望和方差解取出白球個(gè)數(shù)的可能取值為0,1,2.0表示取出的兩個(gè)球都是黑球，P(0)；1表示取出的兩個(gè)球一個(gè)黑球，一個(gè)白球，P(1)；2表示取出的兩個(gè)球都是白球，P(2)，于是：E()0121.2，D()(01.2)2(11.2)2(21.2)20.36，或E(2)0212221.8，D()E()2(E()21.81.220.36.點(diǎn)評(píng)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，往往先求概率分布，再根據(jù)定義求解，在方差的計(jì)算過程中，利用D()E()2(E()2計(jì)算方差要簡便一些 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為12nP求D(X)解解法一：E(X)12n(12n)，于是，有D(X)222.解法二：由解法一可求得E(X).又E(X2)1222n2(1222n2).D(X)E(X2)(E(X)2.點(diǎn)評(píng)本例的解法二比解法一簡捷得多，這是因?yàn)楣紻(X)E(X2)(E(X)2是由公式D(X)(xiE(X)2pi展開并化簡后得到的結(jié)論，因此利用公式D(X)E(X2)(E(X)2來計(jì)算D(X)就避免了用公式D(X)(xiE(X)2pi的復(fù)雜的展開、化簡過程當(dāng)隨機(jī)變量X為n(不是具體的數(shù)值)個(gè)時(shí)，在計(jì)算E(X)及D(X)時(shí)，應(yīng)把“n”當(dāng)作常量來計(jì)算