2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 1 參數(shù)方程的概念講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

1參數(shù)方程的概念 1參數(shù)方程的概念在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t(，)的函數(shù)：，并且對(duì)于每一個(gè)t的允許值，方程組所確定的點(diǎn)(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2參數(shù)的意義參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒(méi)有明顯實(shí)際意義的變數(shù)參數(shù)方程表示的曲線上的點(diǎn)例1已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)判斷點(diǎn)A(1,0)，B(5,4)，E(3,2)與曲線C的位置關(guān)系；(2)若點(diǎn)F(10，a)在曲線C上，求實(shí)數(shù)a的值解(1)把點(diǎn)A(1,0)的坐標(biāo)代入方程組，解得t0，所以點(diǎn)A(1,0)在曲線上把點(diǎn)B(5,4)的坐標(biāo)代入方程組，解得t2，所以點(diǎn)B(5,4)也在曲線上把點(diǎn)E(3,2)的坐標(biāo)代入方程組，得到即故方程組無(wú)解，所以點(diǎn)E不在曲線上(2)因?yàn)辄c(diǎn)F(10，a)在曲線C上，所以解得或所以a6.參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式，點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷，與平面直角坐標(biāo)方程下的判斷方法是一致的1已知點(diǎn)M(2，2)在曲線C：(t為參數(shù))上，則其對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值為_解析：由t2，解得t1.答案：12已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)，aR)點(diǎn)M(5,4)在該曲線上，求常數(shù)a.解：點(diǎn)M(5,4)在曲線C上，解得a的值為1.求曲線的參數(shù)方程例2如圖，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰長(zhǎng)為a，頂點(diǎn)B，A分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，求點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程思路點(diǎn)撥解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是參數(shù)的選取本例中由于A，B的滑動(dòng)而引起點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，故可以O(shè)B的長(zhǎng)為參數(shù)，或以角為參數(shù)，此時(shí)不妨取BP與x軸正向夾角為參數(shù)來(lái)求解解法一：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，過(guò)P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于Q.如圖所示，則RtOABRtQBP.取OBt，t為參數(shù)(0ta)|OA|，|BQ|.點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為(0ta)法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)Q，如圖所示取QBP，為參數(shù)，則ABO.在RtOAB中，|OB|acosasin .在RtQBP中，|BQ|acos ，|PQ|asin .點(diǎn)P在第一象限的軌跡的參數(shù)方程為求曲線參數(shù)方程的主要步驟(1)畫出軌跡草圖，設(shè)M(x，y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)畫圖時(shí)要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系(2)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn)：一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)唯一確定例如，在研究運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，通常選時(shí)間為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，通常選旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)此外，離某一定點(diǎn)的“有向距離”、直線的傾斜角、斜率、截距等也常常被選為參數(shù)(3)根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問(wèn)題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略3設(shè)飛機(jī)以v150 m/s 作水平勻速飛行，若在飛行高度h490 m處投彈，求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程(設(shè)炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度)(g9.8 m/s 2)解：如圖，A為投彈點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,490)，B為目標(biāo)記炸彈飛行的時(shí)間為t，在A點(diǎn)t0，設(shè)M(x，y)為飛行曲線上的任一點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)時(shí)刻t，炸彈初速度v0150 m/s，用物理學(xué)知識(shí)，分別計(jì)算水平、豎直方向上的路程，得(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))，這是炸彈飛行曲線的參數(shù)方程一、選擇題1下列方程可以作為x軸的參數(shù)方程的是()A.B.C. D.解析：選Dx軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)可取任意實(shí)數(shù)，縱坐標(biāo)為0.2當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，由點(diǎn)P(2cos ，3sin )所確定的曲線過(guò)點(diǎn)()A(2,3) B(1,5)C. D(2,0)解析：選D當(dāng)2cos 2，即cos 1時(shí)，3sin 0，所以過(guò)點(diǎn)(2,0)3在方程(為參數(shù))所表示的曲線上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(2，7) B.C. D(1,0)解析：選C將點(diǎn)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程，若能求出，則點(diǎn)在曲線上，經(jīng)檢驗(yàn)，知C滿足條件4由方程x2y24tx2ty3t240(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心的軌跡方程為()A. B.C. D.解析：選A設(shè)(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)由x2y24tx2ty3t240，得(x2t)2(yt)242t2，二、填空題5已知曲線(為參數(shù)，02)，下列各點(diǎn)A(1,3)，B(2,2)，C(3,5)，其中在曲線上的點(diǎn)是_解析：將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得：0或，將B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，方程無(wú)解，故A點(diǎn)在曲線上答案：A(1,3)6若曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則a_.解析：將點(diǎn)代入曲線方程得cos ，a2sin 2 .答案：7動(dòng)點(diǎn)M作勻速直線運(yùn)動(dòng)，它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)M位于A(1,1)，則點(diǎn)M的參數(shù)方程為_解析：設(shè)M(x，y)，則在x軸上的位移為x19t，在y軸上的位移為y112t.其參數(shù)方程為答案：三、解答題8.如圖，已知定點(diǎn)A(2,0)，點(diǎn)Q是圓C：x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，AOQ的平分線交AQ于點(diǎn)M，當(dāng)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程解：設(shè)點(diǎn)O到AQ的距離為d，則|AM| d|OA|OM|sin AOM，|QM|d|OQ|OM|sin QOM，又AOMQOM，所以2，所以AQ.設(shè)點(diǎn)Q(cos ，sin )，M(x，y)，則(x2，y0)(cos 2，sin 0)，即xcos ，ysin ，故點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))9.某飛機(jī)進(jìn)行投彈演習(xí)，已知飛機(jī)離地面高度為H2 000 m，水平飛行速度為v1100 m/s，如圖所示(1)求飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移和離地面的高度；(2)如果飛機(jī)追擊一輛速度為v220 m/s同向行駛的汽車，欲使炸彈擊中汽車，飛機(jī)應(yīng)在距離汽車的水平距離多遠(yuǎn)處投彈？(g10 m/s2)解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)炸彈投出機(jī)艙的時(shí)刻為0 s，在時(shí)刻t s時(shí)其坐標(biāo)為M(x，y)，易知炸彈在飛行時(shí)作平拋運(yùn)動(dòng)，依題意得即令y2 0005t20，得t20，所以飛機(jī)投彈t s后炸彈的水平位移為100t m，離地面的高度為(2 0005t2)m，其中0t20.(2)易知炸彈的水平方向運(yùn)動(dòng)和汽車的運(yùn)動(dòng)均為勻速直線運(yùn)動(dòng)以汽車為參考系，水平方向上s相對(duì)v相對(duì)t，所以飛機(jī)應(yīng)距離汽車投彈的水平距離為s(v1v2)t(10020)201 600 m.10試確定過(guò)M(0,1)作橢圓x21的弦的中點(diǎn)的軌跡方程解：設(shè)過(guò)M(0,1)的弦所在的直線方程為ykx1，其與橢圓的交點(diǎn)為(x1，y1)和(x2，y2)設(shè)中點(diǎn)P(x，y)，則有x，y.由得(k24)x22kx30，x1x2，y1y2，就是以動(dòng)弦斜率k為參數(shù)的動(dòng)弦中點(diǎn)的軌跡方程