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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc

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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc

二 一般形式的柯西不等式 名稱(chēng)形式等號(hào)成立條件三維形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3R,則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2當(dāng)且僅當(dāng)b1b2b30或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k使得aikbi(i1,2,3)一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實(shí)數(shù),則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2,n)或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k,使得aikbi(i1,2,n)點(diǎn)睛一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣,其特點(diǎn)可類(lèi)比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié),左邊是平方和的積,右邊是積的和的平方在使用時(shí),關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式利用柯西不等式證明不等式例1設(shè)x1,x2,xn都是正數(shù),求證:.思路點(diǎn)撥根據(jù)一般柯西不等式的特點(diǎn),構(gòu)造兩組數(shù)的積的形式,利用柯西不等式證明證明(x1x2xn)(1)2()2()22n2,.柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為:(a1a2an)(b1b2bn)()2.其中ai,biR(i1,2,n),在使用柯西不等式時(shí)要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,正確地配湊出公式兩側(cè)的數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵1設(shè)a,b,c為正數(shù),且不全相等求證:>.證明:構(gòu)造兩組數(shù),;,則由柯西不等式得(abbcca)(111)2,即2(abc)9,于是.由柯西不等式知,中有等號(hào)成立abbccaabc.因?yàn)閍,b,c不全相等,故中等號(hào)不成立,于是>.利用柯西不等式求最值例2(1)已知x,y,zR,且xyz1.求 的最小值;(2)設(shè)2x3y5z29,求函數(shù)的最大值思路點(diǎn)撥(1)利用(xyz)(2)利用()2(111)2.解(1)xyz1,(xyz);2(123)236.當(dāng)且僅當(dāng)x,即x,y,z時(shí)取等號(hào)所以的最小值為36.(2)根據(jù)柯西不等式,有(111)2(2x1)(3y4)(5z6)(111)3(2x3y5z11)340120.故2,當(dāng)且僅當(dāng)2x13y45z6,即x,y,z時(shí)等號(hào)成立此時(shí)max2.利用柯西不等式求最值時(shí),關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊,以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時(shí),要注意等號(hào)成立的條件2已知x,y,zR,且x2y2z5,則(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是()A20B25C36 D47解析:選C(x5)2(y1)2(z3)212(2)222(x5)(2)(y1)2(z3)2324,當(dāng)且僅當(dāng),即x3,y3,z1時(shí)取等號(hào)故(x5)2(y1)2(z3)2的最小值是36.3若2x3y4z11,則x2y2z2的最小值為_(kāi)解析:2x3y4z11,由柯西不等式,得(x2y2z2)(4916)(2x3y4z)2,故x2y2z2,當(dāng)且僅當(dāng),即x,y,z時(shí)取等號(hào)答案:4把一根長(zhǎng)為12 m的細(xì)繩截成三段,各圍成三個(gè)正方形問(wèn):怎樣截法,才能使圍成的三個(gè)正方形面積之和S最小,并求此最小值解:設(shè)三段繩子的長(zhǎng)分別為x,y,z,則xyz12,三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為,均為正數(shù),三個(gè)正方形面積之和:S222(x2y2z2)(121212)(x2y2z2)(xyz)2122,即x2y2z248.從而S483.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),又xyz12,xyz4時(shí),Smin3.故把繩子三等分時(shí),圍成的三個(gè)正方形面積之和最小,最小面積為3 m2.1已知a2b2c2d25,則abbccdad的最小值為()A5 B5C25 D25解析:選B(abbccdad)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25,當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí),等號(hào)成立abbccdbd的最小值為5.2已知aaa1,xxx1,則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1 B2C3 D4解析:選A(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111,當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)取等號(hào)a1x1a2x2anxn的最大值是1.3已知x,y,zR,且1,則x的最小值是()A5 B6C8 D9解析:選Dx 29,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立4設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2b2c210,x2y2z240,axbycz20,則()A. B.C. D.解析:選C由柯西不等式得,(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),因此有.5已知2x3yz8,則x2y2z2取得最小值時(shí),x,y,z形成的點(diǎn)(x,y,z)_.解析:由柯西不等式(223212)(x2y2z2)(2x3yz)2,即x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)z時(shí)等號(hào)成立又2x3yz8,解得x,y,z,故所求點(diǎn)為.答案:6設(shè)a,b,c為正數(shù),則(abc)的最小值是_解析:(abc)()2()2()22(236)2121.當(dāng)且僅當(dāng)k(k為正實(shí)數(shù))時(shí),等號(hào)成立答案:1217已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足3x2yz1,則x22y23z2的最小值為_(kāi)解析:由柯西不等式,得x2(y)2(z)2(3x2yz)21,所以x22y23z2,當(dāng)且僅當(dāng),即x,y,z時(shí),等號(hào)成立,所以x22y23z2的最小值為.答案:8在ABC中,設(shè)其各邊長(zhǎng)為a,b,c,外接圓半徑為R,求證:(a2b2c2)36R2.證明:2R,(a2b2c2)236R2.9在直線(xiàn)5x3y2上求一點(diǎn),使(x2y1)2(3xy3)2取得最小值解:由柯西不等式得(2212)(x2y1)2(3xy3)22(x2y1)(3xy3)2(5x3y1)29.(x2y1)2(3xy3)2.當(dāng)且僅當(dāng)x2y12(3xy3)即5x4y70時(shí)取等號(hào)解方程組得故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.10已知函數(shù)f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值;(2)若a,b,c為正實(shí)數(shù),且m,求證:a2b3c9.解:(1)因?yàn)閒(x2)m|x|,所以f(x2)0等價(jià)于|x|m.由|x|m有解,得m0,且其解集為x|mxm,又f(x2)0的解集為1,1,故m1.(2)證明:由(1)知1,所以a2b3c(a2b3c)29.

注意事項(xiàng)

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