2018高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第三節(jié) 空間直角坐標(biāo)系1 空間直角坐標(biāo)系學(xué)案 蘇教版必修2.doc

空間直角坐標(biāo)系一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明空間直角坐標(biāo)系1. 了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式；2. 能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)或根據(jù)已知坐標(biāo)作出點(diǎn)。解答題在二維平面直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上的推廣，是空間立體幾何的代數(shù)化，是以后學(xué)習(xí)“空間向量”等內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有承前啟后的作用。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念、空間點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法。難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生過程?？键c(diǎn)一：空間直角坐標(biāo)系1. 空間直角坐標(biāo)系的概念從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸和z軸叫作坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面。2. 右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系?！疽c(diǎn)詮釋】通常，將空間直角坐標(biāo)系畫在紙上時(shí)，x軸與y軸、x軸與z軸均成135角，而z軸垂直于y軸。y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相同，x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸（或z軸）的單位長(zhǎng)度的一半。3. 空間一點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于空間任意一點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即經(jīng)過點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P、Q、R。點(diǎn)P、Q、R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z，我們把有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）。【重要提示】特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)： 原點(diǎn)坐標(biāo)； 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中為任意實(shí)數(shù)； 平面（通過軸和軸的平面）上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)； 平面（通過軸和軸的平面）上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)； 平面（通過軸和軸的平面）上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中、為任意實(shí)數(shù)。考點(diǎn)二：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的讀取方法1. 投影法：即找到點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)。方法是過點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于軸、軸和軸于、三點(diǎn)（、即為點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)），點(diǎn)、在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別為、，則就是點(diǎn)的坐標(biāo)。2. 路徑法：先從原點(diǎn)出發(fā)沿軸的正方向或負(fù)方向移動(dòng)個(gè)單位，再沿軸的正方向或負(fù)方向移動(dòng)個(gè)單位，最后沿軸的正方向或負(fù)方向移動(dòng)個(gè)單位即可讀出此點(diǎn)坐標(biāo)?？键c(diǎn)三：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是?！局匾崾尽靠臻g直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)求法，可用口訣“關(guān)于誰誰不變，其余的均相反”來記憶。【隨堂練習(xí)】點(diǎn)P（a，b，c）到坐標(biāo)平面xOy的距離是_。思路分析：過點(diǎn)P向xOy平面作垂線，該垂線上的所有點(diǎn)在軸上的投影相同，在軸上的投影也相同，只有在軸上的不同。答案：點(diǎn)P在xOy平面的射影的坐標(biāo)是P（a，b，0），所以d|c|。技巧點(diǎn)撥：過P（a，b，c）向xOy平面作垂線，則垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b，m）（其中m為變數(shù)）；過P（a，b，c）向xOz平面作垂線，則垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為（a，m，c）（其中m為變數(shù)）；過P（a，b，c）向yOz平面作垂線，則垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為（m，b，c）（其中m為變數(shù)）。例題1 （求空間內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AD3，AB5，AA14，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，寫出此長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析：以D為原點(diǎn)建系找各點(diǎn)在xOy平面內(nèi)的射影找各點(diǎn)在z軸上的正射影寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。答案：如圖，以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。由題意知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)ADBC3，DCAB5，DD1AA14，顯然D（0，0，0），A在x軸上，A（3，0，0）；C在y軸上，C（0，5，0）；D1在z軸上，D1（0，0，4）；B在xOy平面內(nèi)，B（3，5，0）；A1在xOz平面內(nèi)，A1（3，0，4）；C1在yOz平面內(nèi)，C1（0，5，4）。由B1在xOy平面內(nèi)的射影為B（3，5，0），B1的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5。B1在z軸上的射影為D1（0，0，4），B1的豎坐標(biāo)為4，B1（3，5，4）。技巧點(diǎn)撥：1. 建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)原則（1）讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上。（2）充分利用幾何圖形的對(duì)稱性。2. 求某點(diǎn)M坐標(biāo)的方法過點(diǎn)M分別作三個(gè)坐標(biāo)平面的平行平面（或垂面），分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，確定x、y、z。具體理解，可以以長(zhǎng)方體為模型，要掌握一些特殊點(diǎn)（落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和落在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)）的坐標(biāo)表示的特征。例題2 （空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)平面，頂點(diǎn)A（2，3，1），求其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析：充分運(yùn)用長(zhǎng)方體是對(duì)稱的幾何圖形這一性質(zhì)求解。答案：設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A（2，3，1），A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（2，3，1）。C與C1關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對(duì)稱，C（2，3，1）。A1與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A1（2，3，1）。點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱，D（2，3，1）。點(diǎn)B1與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B1（2，3，1）。同理可求得點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（2，3，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3，1），綜上知長(zhǎng)方體其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C1（2，3，1），C（2，3，1），A1（2，3，1），B（2，3，1），B1（2，3，1），D（2，3，1），D1（2，3，1）。 技巧點(diǎn)撥：空間對(duì)稱的特點(diǎn)是“關(guān)于誰對(duì)稱，誰不變，其余互為相反數(shù)”，如關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù)；關(guān)于xOy平面對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)。平時(shí)解題時(shí)要注意方法規(guī)律的總結(jié)。忽略空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸兩兩垂直導(dǎo)致建系錯(cuò)誤例題 在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，所有的棱長(zhǎng)都是1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)?！惧e(cuò)解】如圖所示，分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）。各棱長(zhǎng)均為1，且B、C、A1均在坐標(biāo)軸上，B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（0，1，1）?！惧e(cuò)因分析】三棱柱各棱長(zhǎng)均為1，ABC為正三角形，即BAC60，故本題做錯(cuò)的根本原因在于建立直角坐標(biāo)系時(shí)沒有抓住空間直角坐標(biāo)系三條坐標(biāo)軸兩兩垂直的本質(zhì)。【防范措施】建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，應(yīng)選擇從一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的線作為坐標(biāo)軸，如果圖中沒有滿足條件的直線，可以通過作“輔助線”，達(dá)到建系的目的。【正解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)O和A1C1的中點(diǎn)O1，連接BO、OO1，可得BOAC，BOOO1，分別以O(shè)B、OC、OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。各棱長(zhǎng)均為1，OAOCO1C1O1A1，OB。A、B、C均在坐標(biāo)軸上，A（0，0），B（，0，0），C（0，0）。點(diǎn)A1、C1均在yOz平面內(nèi)，A1（0，1），C1（0，1）。點(diǎn)B1在xOy面內(nèi)的射影為點(diǎn)B，且BB11，B1（，0，1）。