2018-2019版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布 習題課 離散型隨機變量的均值學案 新人教A版選修2-3.doc

習題課離散型隨機變量的均值學習目標1.進一步熟練掌握均值公式及性質(zhì).2.能利用隨機變量的均值解決實際生活中的有關(guān)問題類型一放回與不放回問題的均值例1在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1)不放回抽樣時，抽取次品數(shù)的均值；(2)放回抽樣時，抽取次品數(shù)的均值考點二項分布的計算及應(yīng)用題點二項分布與超幾何分布的識別解(1)方法一P(0)；P(1)；P(2).隨機變量的分布列為012PE()012.方法二由題意知P(k)(k0,1,2)，隨機變量服從超幾何分布，n3，M2，N10，E().(2)由題意知1次取到次品的概率為，隨機變量服從二項分布B，E()3.反思與感悟不放回抽樣服從超幾何分布，放回抽樣服從二項分布，求均值可利用公式代入計算跟蹤訓練1甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是，求P2的值；(3)設(shè)P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設(shè)表示摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值考點常見的幾種均值題點相互獨立事件的均值解(1)設(shè)甲袋中紅球的個數(shù)為x，依題意得x104.(2)由已知，得，解得P2.(3)的所有可能取值為0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.所以的分布列為0123P所以E()0123.類型二與排列、組合有關(guān)的分布列的均值例2如圖所示，從A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V0)(1)求V0的概率；(2)求均值E(V)考點常見的幾種均值題點與排列、組合有關(guān)的隨機變量的均值解(1)從6個點中隨機選取3個點總共有C20(種)取法，選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)的取法有CC12(種)，因此V0的概率為P(V0).(2)V的所有可能取值為0，則P(V0)，P，P，P，P.因此V的分布列為V0P所以E(V)0.反思與感悟解此類題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機變量X取每個值時所對應(yīng)的隨機事件，然后利用排列、組合知識求出X取每個值時的概率，利用均值的公式便可得到跟蹤訓練2某位同學記住了10個數(shù)學公式中的m(m10)個，從這10個公式中隨機抽取3個，若他記住2個的概率為.(1)求m的值；(2)分別求他記住的數(shù)學公式的個數(shù)X與沒記住的數(shù)學公式的個數(shù)Y的均值E(X)與E(Y)，比較E(X)與E(Y)的關(guān)系，并加以說明考點超幾何分布的均值題點超幾何分布的均值解(1)P(X2)，即m(m1)(10m)120，且m2.所以m的值為6.(2)由原問題知，E(X)0123，沒記住的數(shù)學公式有1064個，故Y的可能取值為0,1，2,3.P(Y0)，P(Y1)，P(Y2)，P(Y3)，所以Y的分布列為Y0123PE(Y)0123，由E(X)，E(Y)得出E(X)>E(Y)說明記住公式個數(shù)的均值大于沒記住公式個數(shù)的均值E(X)E(Y)3.說明記住和沒記住的均值之和等于隨機抽取公式的個數(shù)類型三與互斥、獨立事件有關(guān)的分布列的均值例3某學生需依次進行身體體能和外語兩個項目的訓練及考核每個項目只有一次補考機會，補考不及格者不能進入下一個項目的訓練(即淘汰)，若該學生身體體能考核合格的概率是，外語考核合格的概率是，假設(shè)每一次考核是否合格互不影響假設(shè)該生不放棄每一次考核的機會用表示其參加補考的次數(shù)，求隨機變量的均值考點常見的幾種均值題點相互獨立事件的均值解的可能取值為0,1,2.設(shè)該學生第一次，第二次身體體能考核合格分別為事件A1，A2，第一次，第二次外語考核合格分別為事件B1，B2，則P(0)P(A1B1)，P(2)P(1A21 B2)P(1A21 2).根據(jù)分布列的性質(zhì)，可知P(1)1P(0)P(2).所以的分布列為012PE()012.反思與感悟若隨機變量取某一值的概率較為復雜或不好求時，可以利用分布列的性質(zhì)求其概率跟蹤訓練3甲、乙兩人進行圍棋比賽，每局比賽甲勝的概率為，乙勝的概率為，沒有和棋，采用五局三勝制，規(guī)定某人先勝三局則比賽結(jié)束，求比賽局數(shù)X的均值考點常見的幾種均值題點相互獨立事件的均值解由題意，得X的所有可能取值是3,4,5.則P(X3)C3C3，P(X4)C2C2，P(X5)C22C22.所以X的分布列為X345PE(X)345.類型四均值問題的實際應(yīng)用例4某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用解(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22，從而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)當n19時，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.當n20時，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知當n19時所需費用的均值小于當n20時所需費用的均值，故應(yīng)選n19.反思與感悟解答概率模型的三個步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值(3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論跟蹤訓練4某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(1)求事件A“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求的分布列及均值E()考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用解(1)由A表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”P()(10.4)30.216，P(A)1P()10.2160.784.(2)的可能取值為200,250,300.P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.10.10.2，因此的分布列為200250300P0.40.40.2E()2000.42500.43000.2240(元)1若隨機變量X的分布列如下表所示，則E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA. B. C. D.考點離散型隨機變量的均值的概念與計算題點離散型隨機變量均值的計算答案C解析因為2x3x7x2x3xx18x1，所以x，因此E(X)02x13x27x32x43x5x40x40.2某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個用電單位，每個單位在一天中用電的機會是p，則供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個數(shù)是()Anp(1p) BnpCn Dp(1p)考點二項分布、兩點分布的均值題點二項分布的均值答案B解析用電單位XB(n，p)，E(X)np.3口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2個，則取出的球的最大編號X的均值為()A. B. C2 D.考點超幾何分布的均值題點超幾何分布的均值答案D解析X可能取值為2,3.P(X2)，P(X3).所以E(X)232.故選D.4某學校高一年級男生人數(shù)占該年級學生人數(shù)的40%.在一次考試中，男、女生平均分數(shù)是75,80，則這次考試該年級學生平均分數(shù)為_考點離散型隨機變量的均值的概念與計算題點離散型隨機變量均值的計算答案78解析平均成績?yōu)?58078.5某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到該銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和均值考點常見的幾種均值題點相互獨立事件的均值解(1)設(shè)“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則P(A).(2)依題意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的分布列為X123P所以E(X)123.1實際問題中的均值問題均值在實際中有著廣泛的應(yīng)用，如體育比賽的安排和成績預測，消費預測，工程方案的預測，產(chǎn)品合格率的預測，投資收益等，都可以通過隨機變量的均值來進行估計2概率模型的解答步驟(1)審題，確定實際問題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些(2)確定隨機變量的分布列，計算隨機變量的均值(3)對照實際意義，回答概率、均值等所表示的結(jié)論一、選擇題1已知XB，YB，且E(X)15，則E(Y)等于()A5 B10 C15 D20考點二項分布、兩點分布的均值題點二項分布的均值答案B解析E(X)n15，n30，E(Y)3010.2甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準的零件，X表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考察，X，Y的分布列分別是：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判定()A甲比乙質(zhì)量好 B乙比甲質(zhì)量好C甲與乙質(zhì)量一樣 D無法判定考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用答案A解析E(X)00.710.120.130.10.6，E(Y)00.510.320.2300.7.顯然E(X)<E(Y)，由均值的意義知，甲的質(zhì)量比乙的質(zhì)量好3一射手向靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，射擊完成后剩余子彈的數(shù)目X的均值為()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4考點常見的幾種均值題點獨立重復事件的均值答案C解析X的可能取值為3,2,1,0，P(X3)0.6，P(X2)0.40.60.24，P(X1)0.420.60.096，P(X0)0.430.064，所以E(X)30.620.2410.0962.376.4拋擲兩枚骰子，至少有一個4點或5點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，在10次試驗中，成功次數(shù)X的均值是()A. B. C. D.考點二項分布、兩點分布的均值題點二項分布的均值答案D解析成功的概率為1，所以XB，所以E(X)10.5有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，用X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于()A. B.C. D1考點超幾何分布的均值題點超幾何分布的均值答案A解析由題意知X0,1,2，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，故E(X)012.6某城市有甲，乙，丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6，且此人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，則E()等于()A1.48 B0.76C0.24 D1考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用答案A解析的分布列為13P0.760.24E()10.7630.241.48.7簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的6支簽，從中任意取3支簽，設(shè)X為這3支簽中號碼最大的一個，則X的均值為()A5 B5.25C5.8 D4.6考點常見的幾種均值題點與排列、組合有關(guān)的均值答案B解析由題意可知，X可以取3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由均值的定義可求得E(X)5.25.二、填空題8郵局郵寄普通信件的收費標準是：20克以內(nèi)收費1.2元，達到20克不足40克收費2.4元，達到40克不足60克收費3.6元假設(shè)郵局每天收到的這三類信件的數(shù)量比例為811，那么一天內(nèi)該郵局收寄的此類普通信件的均價是_元考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用答案1.56解析設(shè)收寄信件的價格為X，則X的分布列為X1.22.43.6P0.80.10.1E(X)1.20.82.40.13.60.11.56，即一天內(nèi)該郵局收寄的此類普通信件的均價為1.56元9某學校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則均值E()_.(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)考點超幾何分布的均值題點超幾何分布的均值答案解析由題意知的所有可能取值為0,1,2，因此P(0)，P(1)，P(2)，E()012.10已知賣水果的某個體戶，在不下雨的日子可賺100元，在雨天則要損失10元若該地區(qū)每年下雨的日子約有130天，則該個體戶每天獲利的均值是_(1年按365天計算)考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用答案61解析設(shè)該個體戶每天的獲利是隨機變量X，則X可能的取值為100，10，其中P(X10)，P(X100)，所以E(X)100(10)61.11某保險公司新開設(shè)了一項保險業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，則該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的均值等于a的10%，那么公司應(yīng)要求投保人交的保險金為_元考點離散型隨機變量的均值的性質(zhì)題點均值在實際中的應(yīng)用答案(0.1p)a解析設(shè)要求投保人交x元，公司的收益額為隨機變量，則P(x)1p，P(xa)p，E()x(1p)(xa)pxap，xap0.1a，解得x(0.1p)a.三、解答題12某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的7個學院，現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學來自互不相同的學院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和均值考點超幾何分布的均值題點超幾何分布的均值解(1)設(shè)“選出的3名同學來自互不相同的學院”為事件A，則P(A).所以，選出的3名同學來自互不相同的學院的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，隨機變量X的分布列是X0123PE(X)0123.13某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和均值考點常見的幾種均值題點與排列、組合有關(guān)的隨機變量的均值解(1)由已知事件A：選2人參加義工活動，次數(shù)之和為4，則P(A).(2)隨機變量X可能的取值為0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2).則X的分布列為X012P所以E(X)0121.四、探究與拓展14甲、乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的均值E()_.考點常見的幾種均值題點相互獨立事件的均值答案解析依題意知，的所有可能取值為2,4,6，設(shè)每兩局比賽為一輪，則第一輪結(jié)束時比賽停止的概率為22.若第一輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在第一輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有P(2)，P(4)，P(6)2，故E()246.15本著健康低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分，每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算)有甲，乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)設(shè)甲，乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時(1)求甲，乙兩人所付的租車費用相同的概率；(2)設(shè)甲，乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列及均值E()考點常見的幾種均值題點相互獨立事件的均值解(1)由題意，得甲，乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為，.記甲，乙兩人所付的租車費用相同為事件A，則P(A).故甲，乙兩人所付的租車費用相同的概率為.(2)可能的取值有0,2,4,6,8.P(0)，P(2)，P(4)，P(6)，P(8).甲，乙兩人所付的租車費用之和的分布列為02468PE()02468.