閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(詳細(xì)版).ppt

1 第十節(jié) 一 有界性與最大值最小值定理 二 零點(diǎn)定理與介值定理 三 一致連續(xù)性 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 2 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 教學(xué)目的 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 基本練習(xí) 了解并通過一定的練習(xí)學(xué)習(xí)最大最小值定理 有界性定理 零點(diǎn)定理及介值定理在函數(shù)值的估計(jì)和根的估計(jì)上的應(yīng)用 3 注意事項(xiàng) 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有許多好的性質(zhì) 應(yīng)了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理 有界性定理 零點(diǎn)定理及介值定理 了解定理的條件和結(jié)論 并通過一定的練習(xí)學(xué)會(huì)運(yùn)用它們 3 如果函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)連續(xù) 在右端點(diǎn)b左連續(xù) 在左端點(diǎn)a右連續(xù) 那么函數(shù)f x 就是在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的 4 并非任何函數(shù)都有最大值和最小值 例如 函數(shù)f x x在開區(qū)間 a b 內(nèi)既無最大值又無最小值 應(yīng)注意的問題 一 有界性與最大值最小值定理 最大值與最小值對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f x 如果有x0 I 使得對(duì)于任一x I都有f x f x0 f x f x0 則稱f x0 是函數(shù)f x 在區(qū)間I上的最大值 最小值 5 例如 6 說明 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值 又至少有一點(diǎn)x2 a b 使f x2 是f x 在 a b 上的最小值 至少有一點(diǎn)x1 a b 使f x1 是f x 在 a b 上的最大值 定理說明 如果函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 那么 7 應(yīng)注意的問題 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn) 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 例如 函數(shù)f x x在開區(qū)間 a b 內(nèi)既無最大值又無最小值 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值 8 又如 如下函數(shù)在閉區(qū)間 0 2 內(nèi)既無最大值又無最小值 應(yīng)注意的問題 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn) 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值 9 定理2 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 證明設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 根據(jù)定理1 存在f x 在區(qū)間 a b 上的最大值M和最小值m 使任一x a b 滿足m f x M 上式表明 f x 在 a b 上有上界M和下界m 因此函數(shù)f x 在 a b 上有界 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值 10 有界性與最大值最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值 注意 1 若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 2 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn) 定理不一定成立 11 二 零點(diǎn)定理與介值定理 注 如果x0使f x0 0 則x0稱為函數(shù)f x 的零點(diǎn) 定理3 零點(diǎn)定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a 與f b 異號(hào) 即f a f b 0 那么在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)x 使f x 0 12 例1證明方程x3 4x2 1 0在區(qū)間 0 1 內(nèi)至少有一個(gè)根 證明設(shè)f x x3 4x2 1 則f x 在閉區(qū)間 0 1 上連續(xù) 并且f 0 1 0 f 1 2 0 根據(jù)零點(diǎn)定理 在 0 1 內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f x 0 即x3 4x2 1 0 這說明方程x3 4x2 1 0在區(qū)間 0 1 內(nèi)至少有一個(gè)根是x 二 零點(diǎn)定理與介值定理 定理3 零點(diǎn)定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a 與f b 異號(hào) 即f a f b 0 那么在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)x 使f x 0 13 定理4 介值定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a f b 那么 對(duì)于f a 與f b 之間的任意一個(gè)數(shù)C 在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f x C 二 零點(diǎn)定理與介值定理 定理3 零點(diǎn)定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a 與f b 異號(hào) 即f a f b 0 那么在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)x 使f x 0 14 二 零點(diǎn)定理與介值定理 定理3 零點(diǎn)定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a 與f b 異號(hào) 那么在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f x 0 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 定理4 介值定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a f b 那么 對(duì)于f a 與f b 之間的任意一個(gè)數(shù)C 在開區(qū)間 a b 內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f x C 15 證 16 由零點(diǎn)定理 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 幾何解釋 17 例2 證 由零點(diǎn)定理 18 三 一致連續(xù)性 定理5 一致連續(xù)性定理 如果函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 那么它在該區(qū)間上一致連續(xù) 不論在區(qū)間I的任何部分 只要自變量的兩個(gè)數(shù)值接近到一定程度 就可使對(duì)應(yīng)的函數(shù)值達(dá)到所指定的接近程度 定義 設(shè)函數(shù)f x 在區(qū)間I上有定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) 總存在著正數(shù) 使得對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1 x2 當(dāng) x1 x2 時(shí) 就有 f x1 f x2 那么稱函數(shù)f x 在區(qū)間I上是一致連續(xù)的 19 思考題 下述命題是否正確 20 思考題解答 不正確 例函數(shù) 21 五 小結(jié) 關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的四個(gè)定理 有界性定理 最值定理 零點(diǎn)定理 介值定理 注意條件 1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點(diǎn)不全滿足時(shí)上述定理不一定成立 它們是研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具 22 內(nèi)容小結(jié) 在 上達(dá)到最大值與最小值 上可取最大與最小值之間的任何值 4 當(dāng) 時(shí) 使 必存在 上有界 在 在 23 作業(yè) P74 2 3