2018高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第一節(jié) 直線的方程2 直線方程的幾種形式學(xué)案 蘇教版必修2.doc

直線方程的幾種形式一、考點(diǎn)突破知識點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明直線方程的幾種形式1. 掌握直線方程的幾種形式；2. 能利用幾種形式求直線的方程；3. 根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程幾種形式之間的關(guān)系。選擇題填空題解答題1. 理解數(shù)形結(jié)合的思想，掌握直線方程的幾種形式，會根據(jù)已知條件求直線方程；2. 會根據(jù)直線的特征量畫直線，研究直線性質(zhì)。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：直線方程的五種形式。難點(diǎn)：直線方程的五種形式的適用條件及其形式特征?？键c(diǎn)一：直線方程的幾種形式（1）直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程過點(diǎn)P1（x1，y1）且斜率為k的直線方程yy1k（xx1）叫做直線的點(diǎn)斜式方程。過點(diǎn)P1（x1，y1）且與x軸垂直的方程為xx1，即由橫坐標(biāo)為的所有點(diǎn)組成的直線。當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)P（0，b），且斜率為k的直線的方程為ykxb，它稱為直線的斜截式方程。其中b為直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱其為直線在y軸上的截距。（2）直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程已知直線過兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則其方程為（x1x2且y1y2），稱為直線的兩點(diǎn)式方程。當(dāng)x1x2時的方程是xx1；當(dāng)y1y2時直線的方程是yy1。已知直線過點(diǎn)A（a,0）、B（0，b），其中a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距，則直線的方程為1（a0，b0），稱為直線的截距式方程。當(dāng)ab0時直線的方程是xa或yb。（3）關(guān)于x、y的二元一次方程AxByC0（A、B不全為0）叫做直線的一般式方程。技巧點(diǎn)撥：直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k（xx0）不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1（x1x2）和直線yy1（y1y2）截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0（A2B20）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用例題1 （求直線的方程）求過點(diǎn)（4，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線l的方程。思路分析：要求直線方程，可結(jié)合題中的截距的絕對值相等來求，或求出直線的斜率獲得直線方程。答案：法1：設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b。當(dāng)a0，b0時，設(shè)l的方程為1。點(diǎn)（4，3）在直線上，1，若ab，則ab1，直線方程為xy1。若ab，則a7，b7，此時直線的方程為xy7。當(dāng)ab0時，直線過原點(diǎn)，且過點(diǎn)（4，3），直線的方程為3x4y0。綜上知，所求直線方程為xy10或xy70或3x4y0。法2：設(shè)直線l的方程為y3k（x4），令x0，得y4k3；令y0，得x。又直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，|4k3|，解得k1或k1或k。技巧點(diǎn)撥：1. 由于直線的截距式方程不表示過原點(diǎn)的直線，因此解法1首先考慮過原點(diǎn)的特殊情況，截距為0的直線很容易被遺忘，應(yīng)引起重視。2. 求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法是：令x0，所得y值是在y軸上的截距，令y0，所得x值是在x軸上的截距。3. 直線方程的確定只需兩個量，一點(diǎn)一斜或兩點(diǎn)，確定方程時，要選擇合適的形式，且最后結(jié)果要轉(zhuǎn)化為直線的一般式方程。4. 在把其他形式的方程化為一般式方程時，一般是將x的系數(shù)化為正數(shù)。例題2 （直線方程間的綜合應(yīng)用）設(shè)直線l的方程為（a1）xy2a0（aR）。（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過第二象限？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由。思路分析：（1）分直線“過原點(diǎn)”和“不過原點(diǎn)”兩類分別求解。（2）分“斜率為零”和“斜率不為零”兩類分別求解。答案：（1） 直線l 可化為a （x1） xy20，令x1=0，xy20則 x=1，y3，所以直線l恒過（1，3）。當(dāng)直線過原點(diǎn)時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，即截距相等，a2時滿足條件，此時l的方程為3xy0；當(dāng)a1時，直線平行于x軸，在x軸無截距，不合題意；當(dāng)a1，且a2時，由a2，即a11，即a0。此時直線在x軸、y軸上的截距都為2，l的方程為xy20。綜上，直線l的方程為3xy0或xy20時，l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過第二象限。將l的方程化為y（a1）xa2，則有或，解得a1。技巧點(diǎn)撥：1. 本題（1）在求解過程中，常因忽略直線l過原點(diǎn)的情況而產(chǎn)生漏解；本題（2）在求解過程中，常因漏掉“（a1）0”的情形而漏解。2. 解答此類綜合問題，常采用分類討論（或數(shù)形結(jié)合）的思想求解。解題時應(yīng)結(jié)合具體問題選好切入點(diǎn)，以防增（漏）解。坐標(biāo)法在實(shí)際問題中的應(yīng)用【滿分訓(xùn)練】如圖所示，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長方形土地（不改變方向）建造一幢8層的公寓，如何設(shè)計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積。（精確到1 m2）思路分析：本題考查坐標(biāo)法的應(yīng)用和二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是確定點(diǎn)P的位置，可建立坐標(biāo)系，運(yùn)用直線的知識求解。答案：建立如上圖所示坐標(biāo)系，則B（30,0），A（0,20），由直線的截距式方程得到線段AB的方程為1（0x30）。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則有y20。公寓占地面積為S（100x）（80y）（100x）（8020）x2x6 000（0x30）。當(dāng)x5，y時，S取最大值，最大值為S5256 0006 017（m2）。即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，）時，公寓占地面積最大，最大面積約為6 017 m2。技巧點(diǎn)撥：本題是利用坐標(biāo)法解決生活問題，P點(diǎn)的位置由兩個條件確定，一是A、P、B三點(diǎn)共線，二是矩形的面積最大。借三點(diǎn)共線尋求x與y的關(guān)系，利用二次函數(shù)知識，探求最大值是處理這類問題的常用方法。