2018高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第三節(jié) 空間幾何體的表面積和體積學(xué)案 蘇教版必修2.doc

幾何體的有關(guān)計算問題【考點精講】1. 表面積公式（1）圓柱：如果圓柱的底面半徑為，母線長為，那么圓柱的底面積為，側(cè)面積為。表面積為。（2）圓錐：如果圓錐的底面半徑為，母線長為，那么圓錐的底面積為S底，側(cè)面積為S側(cè)，表面積S表。（3）圓臺：圓臺的上、下底面半徑分別為、，母線長為，則其側(cè)面積為S側(cè)，表面積為。（4）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積有如下關(guān)系。2. 體積公式（1）柱體：柱體的底面積為，高為，則。（2）錐體：錐體的體積等于與它等底等高的柱體的體積的。即。（3）臺體：臺體的上、下底面積分別為S、S，高為h，則V（SS）h。（4）柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系：【典例精析】例題1 如圖1，ACB45，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將折起，使BDC90（如圖2所示）。當(dāng)?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大。思路導(dǎo)航：本題考查立體幾何線面的基本關(guān)系，及如何取到最值，用均值不等式求最值。答案：在如圖1所示的中，設(shè)，則。由，ACB45知，為等腰直角三角形，所以。由折起前知，折起后（如圖2），且， 所以平面。又BDC90，所以。于是 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立， 故當(dāng)，即時，三棱錐的體積最大。例題2 如下圖所示，在長方體中，截下一個棱錐C，求棱錐C的體積與剩余部分的體積之比。思路導(dǎo)航：剩余部分幾何體不是規(guī)則幾何體，可利用長方體和棱錐體積的差來求得剩余部分的體積。答案：已知長方體可以看成直四棱柱，設(shè)它的底面的面積為S，高為，則它的體積為。而棱錐CADD的底面積為高為，故棱錐CADD的體積為。余下的體積是。所以棱錐CADD的體積與剩下部分的體積之比為。隨堂練習(xí)：正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點。則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為（ ）A.1:1 B.1:2 C.2:1 D. 3:2 解析：由于G是PB的中點，故P-GAC的體積等于B-GAC的體積，于是可以求出D-GAC的體積=2B-GAC的體積=2P-GAC的體積。故答案選C?！究偨Y(jié)提升】求幾何體的體積問題：（1）計算柱體、錐體、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。（2）利用等積法求體積，也可稱為轉(zhuǎn)換法，通過選擇合適的底面來求體積的一種方法。（3）在求兩個空間幾何體的體積比問題，盡量找到這兩個幾何體的底面與高之間的關(guān)系，有相同的高或底面積將對解題大有裨益。微課程2：立體幾何中線與面所成角問題【考點精講】1. 定義：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所夾的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角。平面的垂線和這個平面所成的角規(guī)定為直角。在平面內(nèi)的直線或與平面平行的直線和這個平面所成的角規(guī)定為0。2. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：（1）找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；（2）計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解。3. 直線和平面所有角的范圍：090。【典例精析】例題1 如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上。（1）求證：平面AEC平面PDB；（2）當(dāng)PDAB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成角的大小。思路導(dǎo)航：（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AC平面PDB；（2）AE與平面PDB所成的角即為AE與它在平面PDB上的射影所成的角。答案：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ACBD.PD底面ABCD，PDAC.又PDBDD，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB。（2）解：設(shè)ACBDO，連接OE。由（1）知，AC平面PDB于點O，AEO為AE與平面PDB所成的角。點O、E分別為DB、PB的中點，OEPD，且OEPD。又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO。在RtAOE中，OEPDABAO，AEO45。即AE與平面PDB所成的角為45。例題2 如圖，已知DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P、Q分別為AE、AB的中點。（1）證明：PQ平面ACD；（2）求AD與平面ABE所成角的正弦值。思路導(dǎo)航：（1）轉(zhuǎn)化為PQDC；（2）AD與平面ABE所成角即為AD與它在平面ABE上的射影所成的角。答案：（1）證明：因為P、Q分別為AE、AB的中點，所以PQEB。又DCEB，因此PQDC，PQ平面ACD，DC平面ACD，從而PQ平面ACD。（2）解：如圖，連接CQ、DP。因為Q為AB的中點，且ACBC，所以CQAB。因為DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC。因此CQEB，又ABEBB，故CQ平面ABE。由（1）有PQDC，又PQEBDC，所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DPCQ，因此DP平面ABE，DAP為AD和平面ABE所成的角，在RtDCA中，DC1，AC2，在ACB中，ACCB2，ACB120，CQ1，DP1。在RtDPA中，AD，DP1，sinDAP。因此AD和平面ABE所成角的正弦值為。例題3 如圖，在如圖所示的圓錐中，已知PO，O的直徑AB2，點C在上，且CAB30，D為AC的中點。（1）證明：AC平面POD；（2）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值。思路導(dǎo)航：本題考查垂直關(guān)系的證明，線面角的求解及邏輯推理能力、空間想象能力和運算求解能力。試題的難點是第二問的線面角，其中作出線面角是解題的關(guān)鍵。答案：（1）證明：如圖，因為OAOC，D是AC的中點，所以ACOD。又PO底面O，AC底面O，所以ACPO，而OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC平面POD。（2）解：由（1）知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC。在平面POD中，如圖，過O作OHPD于H，則OH平面PAC，連接CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，所以O(shè)CH是直線OC和平面PAC所成的角。在RtODA中，ODOAsin 30。在RtPOD中，OH。在RtOHC中，sinOCH。故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為?！究偨Y(jié)提升】高考對空間線面關(guān)系的考查每年必有一道解答題，難度為中低檔，大多數(shù)考生會做而得不到全分，往往是因為推理不嚴密，跳步作答所致。解題過程要表達準(zhǔn)確、格式要符合要求.每步推理要有理有據(jù)。計算題要有明確的計算過程，不可跨度太大，以免漏掉得分點。引入數(shù)據(jù)要明確、要寫明“已知”、“設(shè)”等字樣，要養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣。求線面夾角常用的方法如下：作出線在面內(nèi)的射影，根據(jù)線面夾角定義來求。有時可以轉(zhuǎn)化為面面夾角來求。（如果線所在的面與待求夾角的那個面相交，且交線正好垂直于待求夾角的那條線，就可以使用此法。）關(guān)于線線夾角和線面夾角，下面兩個結(jié)論經(jīng)常用到：如圖1，平面，則。如圖2，過的頂點引射線和、成相等的銳角時，則在平面內(nèi)的射影是的平分線（或平分線的反向延長線）。圖1圖2微課程3：立體幾何中求二面角問題【考點精講】1. 一個平面內(nèi)的一條直線，把這個平面分成兩部分，其中每一部分都叫做半平面.2. 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。學(xué)習(xí)二面角要注意以下三點：（1）二面角的大小是用平面角來度量的；（2）二面角的平面角的大小是由二面角的兩個面的位置唯一確定的，與棱上點的選擇無關(guān)；（3）平面角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)?！镜淅觥坷}1 已知ABC是正三角形，PA平面ABC，且PAABa，求二面角APCB的正切值大小。思路導(dǎo)航：要求二面角的大小，首先要在圖形中構(gòu)造出二面角的平面角，然后利用其平面角度量二面角的大小.過棱上一點，分別在兩個面內(nèi)作（或證）棱的垂線，即可產(chǎn)生二面角的平面角，要充分利用三角函數(shù)定義求得具體值。答案：取AC的中點M，連接BM，作MNPC于N，連接BN（如圖）。PA平面ABC，平面PAC平面ABC。易證BMAC，AC平面PAC平面ABC。BM平面PAC（面面垂直的性質(zhì)）。MNPC，NBPC。MNB是二面角APCB的平面角。易知MNa，BMa。tanMNB。MNBarctan，即二面角APCB的正切值大小為。例題2 在平面四邊形ABCD中，已知ABBCCDa，ABC90，BCD135，沿AC將四邊形折成直二面角BACD。（1）求證：平面ABC平面BCD；（2）求平面ABD與平面ACD所成角的大小。思路導(dǎo)航：本題中BACD90在折疊前后不變，四邊形的四條邊的長也不變，所以BE、sinDAC均可在平面四邊形中求得。答案：如圖，其中圖（1）是平面四邊形，圖（2）是折后的立體圖。（1）證明：平面ABC平面ACD，交線為AC，又ABBC，ABC90，ACD90，CDAC。平面ABC平面BCD。（2）解：過點B作BEAC，E為垂足，則BE平面ACD。又過點E在平面ACD內(nèi)作EFAD，F(xiàn)為垂足，連接BF。由三垂線定理可知BFAD。BFE是二面角BADC的平面角。點E為AC中點，BEACa。又sinDAC，EFAE，EFa，tanBFE。BFE60，即平面ABD與平面ACD所成的二面角為60?！究偨Y(jié)提升】（1）二面角的平面角是用來刻畫二面角大小的一個概念.它和兩條異面直線所成的角以及直線和平面所成的角一樣，都可化歸為用平面內(nèi)兩條相交直線所成的角來表示，但必須注意二面角的平面角所在平面應(yīng)垂直于二面角的棱，二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個面內(nèi)，而且二面角的平面角的大小是由二面角的兩個面的相互位置所確定的，與二面角的平面角的頂點在棱上的位置無關(guān)。（2）二面角的計算方法利用定義作二面角的平面角在棱上取一點，分別在兩個面內(nèi)作棱的垂線，這兩條射線組成二面角的平面角。利用定義作二面角的平面角，關(guān)鍵在于找棱及棱上的特殊點，學(xué)習(xí)時要特別注意平移和補形方法的靈活運用。用垂面法作二面角的平面角作垂直于二面角的棱或二面角的兩個半平面的垂面，則該垂面與二面角的兩個半平面交線所成的角就是二面角的平面角。面積法：如果一個多邊形在一個平面內(nèi)的射影是一個多邊形，且這兩個多邊形所在平面所成的二面角為，則cos。二面角定量地反映了兩個平面相交的位置關(guān)系，但如何度量二面角的大小是一難點。