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2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測卷 新人教A版選修2-2.doc

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2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末檢測卷 新人教A版選修2-2.doc

第二章 推理與證明章末檢測卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1證明:<1<n1(n>1),當n2時,中間式子等于()A1B1C1 D1解析:n2時中間式子的最后一項為,所以中間子式為1.答案:D2用反證法證明命題:“若a,bN,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個能被3整除”時,假設(shè)應(yīng)為()Aa,b都能被3整除Ba,b都不能被3整除Ca,b不都能被3整除Da不能被3整除解析:反證法證明命題時,應(yīng)假設(shè)命題的反面成立“a,b中至少有一個能被3整除”的反面是:“a,b都不能被3整除”,故應(yīng)假設(shè)a,b都不能被3整除答案:B3下列推理正確的是()A把a(bc)與loga(xy)類比,則有:loga(xy)logaxlogayB把a(bc)與sin(xy)類比,則有:sin(xy)sinxsinyC把(ab)n與(xy)n類比,則有:(xy)nxnynD把(ab)c與(xy)z類比,則有:(xy)zx(yz)解析:A中類比的結(jié)果應(yīng)為loga(xy)logaxlogay,B中如xy時不成立,C中如xy1時不成立,D中對于任意實數(shù)分配律成立答案:D4若a>0,b>0,則有()A.>2ba B.<2baC.2ba D.2ba解析:(2ba)0,2ba.答案:C5證明命題:“f(x)ex在(0,)上是增函數(shù)”現(xiàn)給出的證法如下:因為f(x)ex,所以f(x)ex.因為x>0,所以ex>1,0<<1.所以ex>0,即f(x)>0.所以f(x)在(0,)上是增函數(shù),使用的證明方法是()A綜合法 B分析法C反證法 D以上都不是解析:這是從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結(jié)論的,是綜合法,故選A.答案:A6下面是一段“三段論”推理過程:若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f(x)>0恒成立因為f(x)x3在(1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增,所以在(1,1)內(nèi),f(x)3x2>0恒成立以上推理中()A大前提錯誤 B小前提錯誤C結(jié)論正確 D推理形式錯誤解析:f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增,則在(a,b)內(nèi),f(x)0恒成立,故大前提錯誤故選A.答案:A7用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中,當nk1時,為了使用假設(shè),應(yīng)將5k12k1變形為()A(5k2k)45k2kB5(5k2k)32kC(52)(5k2k)D2(5k2k)35k解析:5k12k15k52k25k52k52k52k25(5k2k)32k.答案:B8將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比,易得下列結(jié)論:abba;(ab)ca(bc);a(bc)abac;由abac(a0)可得bc,則正確的結(jié)論有()A1個 B2個C3個 D4個解析:平面向量的數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律,不滿足結(jié)合律,故正確,錯誤;由abac(a0)得a(bc)0,從而bc0或a(bc),故錯誤答案:B9觀察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則a10b10()A28 B76C123 D199解析:記anbnf(n),則f(3)f(1)f(2)134;f(4)f(2)f(3)347;f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*,n3),則f(6)f(4)f(5)18;f(7)f(5)f(6)29;f(8)f(6)f(7)47;f(9)f(7)f(8)76;f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案:C10數(shù)列an滿足a1,an11,則a2 017等于()A. B1C. 2 D3解析:a1,an11,a211,a312,a41,a511,a612,an3kan(nN*,kN*)a2 017a13672a1.答案:A11已知abc0,則abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析:因為(abc)2a2b2c22(abbcac)0,又因為a2b2c20.所以2(abbcac)0.故選D.答案:D12如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n2),每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如,則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為()A. B.C. D.解析:由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知,第7行第1個數(shù)為,由“每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知,第7行第2個數(shù)為.同理易知,第7行第3個數(shù)為,第7行第4個數(shù)為.故選A.答案:A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分請把正確答案填在題中橫線上)13已知x,yR,且xy>2,則x,y中至少有一個大于1,在用反證法證明時,假設(shè)應(yīng)為_解析:“至少有一個”的反面為“一個也沒有”即“x,y均不大于1”,亦即“x1且y1”答案:x,y均不大于1(或者x1且y1)14觀察下列不等式1<,1<,1<,照此規(guī)律,第五個不等式為_解析:先觀察左邊,第一個不等式為2項相加,第二個不等式為3項相加,第三個不等式為4項相加,則第五個不等式應(yīng)為6項相加,右邊分子為分母的2倍減1,分母即為所對應(yīng)項數(shù),故應(yīng)填1<.答案:1<15若三角形的周長為L,面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則有r,類比此結(jié)論,在四面體中,設(shè)其表面積為S,體積為V,內(nèi)切球半徑為R,則有_解析:三角形可分解為三個以內(nèi)切圓圓心為頂點的三角形,于是有LrS,即r,四面體可分解為四個以四面體各面為底面,內(nèi)切球球心為頂點的三棱錐于是SRV,即R.答案:R16用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式時,其左邊1,則從“nk到nk1”應(yīng)將左邊加上_解析:f(k)1,f(k1)1,f(k1)f(k).答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(10分)把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間,并判斷類比的結(jié)論是否成立(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,則必和另一條相交;(2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線,則這兩條直線互相平行解析:(1)類比為:如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交,則必和另一個相交結(jié)論是正確的,證明如下:設(shè),且a,則必有b,若與不相交,則必有.又,與a矛盾,必有b.(2)類比為:如果兩個平面同時垂直于第三個平面,則這兩個平面互相平行,結(jié)論是錯誤的,這兩個平面也可能相交18(12分)已知a>0,b>0,用分析法證明:.證明:因為a>0,b>0,要證,只要證,(ab)24ab,只要證(ab)24ab0,即證a22abb20,而a22abb2(ab)20恒成立,故成立19(12分)已知a1a2a3a4>100,求證a1,a2,a3,a4中至少有一個數(shù)大于25.解析:假設(shè)a1,a2,a3,a4均不大于25,即a125,a225,a325,a425,則a1a2a3a425252525100,這與已知a1a2a3a4>100矛盾,故假設(shè)錯誤所以a1,a2,a3,a4中至少有一個數(shù)大于25.20(12分)ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C與a,b,c都成等差數(shù)列,求證ABC為正三角形證明:因為A,B,C成等差數(shù)列,所以2BAC,又ABC,由得B.又a,b,c成等差數(shù)列,所以b,由余弦定理得b2a2c22accosB,將代入得2a2c22ac.化簡得a22acc20,即(ac)20,所以ac,由得abc,所以ABC為正三角形21(12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)(1)sin213cos217sin13cos17.(2)sin215cos215sin15cos15.(3)sin218cos212sin18cos12.(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48.(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);根據(jù)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論解析:選擇(2)式計算如下sin215cos215sin15cos151sin30.三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下:sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.22(12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足an,且a1.(1)求a2,a3;(2)猜想數(shù)列an的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明解析:(1)a2,又a1,則a2,類似地,求得a3.(2)由a1,a2,a3,猜想an.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:當n1時,由(1)可知猜想成立;假設(shè)當nk(kN*且k2)時猜想成立,即ak.則當nk1時,ak1,Skk(2k1)akk(2k1),Sk1(k1)(2k1)ak1,ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1,k(2k3)ak1,ak1.由nk1時猜想也成立由可知,猜想對任何nN*都成立an的通項公式為an.

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