中考數(shù)學(xué)第四單元 三角形 第19講 直角三角形與勾股定理

欄目索引第第1919講講直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易夯基礎(chǔ)學(xué)易考點(diǎn)一考點(diǎn)一 直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)(5年年4考考)1.直角三角形的兩銳角互余;2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;3.直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半;4.勾股定理:直角邊的平方和等于斜邊的平方.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易考點(diǎn)二考點(diǎn)二 直角三角形的判定直角三角形的判定(5年年5考考)1.有一個角是直角的三角形是直角三角形;2.有兩個角互余的三角形是直角三角形;3.若一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形;4.若一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易1.(2018瀘州)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形的較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長為( D )A.9 B.6 C.4 D.3學(xué)法提點(diǎn)學(xué)法提點(diǎn)利用面積和表示出大正方形的面積,從而建立關(guān)于a、b的等式進(jìn)行解題.欄目索引夯基礎(chǔ)學(xué)易2.(2018揚(yáng)州)在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,則下列結(jié)論一定成立的是( C )A.BC=EC B.EC=BEC.BC=BE D.AE=EC欄目索引研真題優(yōu)易類型類型 利用直角三角形的性質(zhì)求線段的長度利用直角三角形的性質(zhì)求線段的長度例例九章算術(shù)中的“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.問折高者幾何?意思是一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一陣風(fēng)將竹子折斷,其竹梢恰好抵地,抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn),問折斷處離地面的高度是多少?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺,則可列方程為 ( D )A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2研真題優(yōu)易欄目索引研真題優(yōu)易在三角形紙片ABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,沿過其中一個頂點(diǎn)的直線把ABC剪開,若剪得的兩個三角形中僅有一個是等腰三角形,那么這個等腰三角形的面積不可能是( D )A.14.4 B.19.2C.18.75 D.17欄目索引試真題練易命題點(diǎn)命題點(diǎn) 直角三角形的存在性問題直角三角形的存在性問題(2015山西,24節(jié)選)綜合與探究如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x+4.拋物線W與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,直線l經(jīng)過C,D兩點(diǎn).4211621試真題練易欄目索引試真題練易(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式;(2)將拋物線W沿x軸向右平移得到拋物線W,設(shè)拋物線W的對稱軸與直線l交于點(diǎn)F.當(dāng)ACF為直角三角形時,求點(diǎn)F的坐標(biāo),并直接寫出此時拋物線W的函數(shù)表達(dá)式.欄目索引試真題練易解析解析(1)當(dāng)y=0時,-x2+x+4=0,解得x1=-3,x2=7,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7,0).-=-=2,拋物線W的對稱軸為直線x=2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).當(dāng)x=0時,y=4.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線l的表達(dá)式為y=kx+b(k0),代入C、D兩點(diǎn),則解得42116212ba16214221 4,20,bkb2,4,kb 欄目索引試真題練易直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+4.(2)拋物線W向右平移,只有一種情況符合要求,即FAC=90.設(shè)此時拋物線W的對稱軸交x軸于點(diǎn)G.1+2=90,2+3=90,1=3,tan1=tan3,=.FGAGAOCO設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(xF,-2xF+4),=,解得xF=5,( 24)( 3)FFxx 34-2xF+4=-6,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5,-6),此時拋物線W的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x.4214021欄目索引探難疑知易易錯題易錯題 (2018淄博)(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖,小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn)M,N,G,連接MG,NG.小明發(fā)現(xiàn)了:線段MG與NG的數(shù)量關(guān)系是 ;位置關(guān)系是 ;(2)類比思考:如圖,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考:把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中ABAC,其他條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請說明理由;探難疑知易欄目索引探難疑知易(3)深入研究:如圖,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又作了進(jìn)一步的探究:向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變,試判斷GMN的形狀,并給予證明. 欄目索引探難疑知易解析解析(1)連接BE,CD相交于H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACD AEB,CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,點(diǎn)M,G分別是BD,BC的中點(diǎn),MGCD,同理NGBE,MG=NG,MGNG,故答案為MG=NG,MGNG.1212欄目索引探難疑知易(2)連接CD,BE相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,MGNG.(3)連接EB,DC,并延長相交于H,同(1)的方法得,MG=NG,同(1)的方法得,ABE ADC,AEB=ACD,欄目索引探難疑知易CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=90,DHE=90,同(1)的方法得,MGNG.GMN為等腰直角三角形.錯解錯解由于不能利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線,只能堆砌已知得出許多結(jié)論,形不成條理的思維,清晰的邏輯推理而發(fā)生各種各樣的錯誤.錯誤鑒定錯誤鑒定當(dāng)關(guān)于中點(diǎn)的條件比較多時,沒有形成必要的條件反射構(gòu)造中位線或延長過中點(diǎn)的線段構(gòu)造全等三角1形,導(dǎo)致找不到解題的突破口.欄目索引探難疑知易(2018臺州節(jié)選)如圖,在RtABC中,AC=BC,ACB=90,點(diǎn)D,E分別在AC,BC上,且CD=CE.(1)如圖1,求證:CAE=CBD;(2)如圖2,F是BD的中點(diǎn),求證:AECF.欄目索引探難疑知易解析(1)在ACE和BCD中,ACE BCD,CAE=CBD.,90 ,ACBCACBACBCECD (2)如圖,設(shè)AE、CF相交于M,在RtBCD中,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),CF=BF,BCF=CBF,由(1)知,CAE=CBD,BCF=CAE,CAE+ACF=BCF+ACF=ACB=90,AMC=90,AECF.