極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限教案

§1.7 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限求函數(shù)的極限問題，有些可用上節(jié)運(yùn)算法則獲得解決，但更多的遠(yuǎn)不能解決，例已知時， ,但時，是否有？如果有，怎樣求？再如無限多個積，換成？一極限存在準(zhǔn)則I1 準(zhǔn)則I 如果數(shù)列滿足：(1)(2) , 那么數(shù)列的極限存在，且.證： , ，當(dāng)時，有.同理，當(dāng)時，有.取，則當(dāng)時，有, 同時成立即,而n，,即.故。 *數(shù)列極限存在準(zhǔn)則I可推廣到函數(shù)的極限。準(zhǔn)則I如果(1) (或)時，有成立；(2), (或),那么 (或).準(zhǔn)則I,I稱為夾逼準(zhǔn)則。 2利用準(zhǔn)則I證明第一個重要極限：證：函數(shù)在時有定義單位圓中，的面積扇形的面積的面積 即 , (1)(用代時，與都不變號，對也成立)。證 時，即, 由準(zhǔn)則I有由式(1)及準(zhǔn)則I即得。 3應(yīng)用：求極限(1) , (2), (3) (4) (5)( ,常數(shù))ex: 令, , .二極限存在準(zhǔn)則如果數(shù)列滿足,稱為單調(diào)增加的（減少）。 已知收斂的數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。若數(shù)列單調(diào)且有界，則有： 1準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。（正確性通過數(shù)列的幾何意義容易從直觀上看出，嚴(yán)格的證明用實(shí)數(shù)理論，不作證明。）幾何解釋：單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只向一個方向移動,定點(diǎn)因?yàn)橛薪?，所以都落在?nèi)，且極限的絕對值不超過 2討論第二個重要極限考慮取并 設(shè),證數(shù)列單調(diào)有界。1+1+=1+1+，比較與， 數(shù)列單調(diào)增加又xn<1+1+，即數(shù)列有界。根據(jù)準(zhǔn)則，數(shù)列極限存在，通常用e表示，即。可證取實(shí)數(shù)+或-時,的極限都存在且等于e，因此，.(e=2.718281828)利用代換，則當(dāng)時可有。 3應(yīng)用求極限 (1) （2）=三利用極限存在準(zhǔn)則求極限例1. 證明：證:由于0<=,所以=0.例2. 已知對1,2,均有,且,求解：由于,故而，故即，數(shù)列單調(diào)增加。又,可知數(shù)列有界.所以存在，設(shè)則由 ,有所以,或,而由及數(shù)列遞增,知即*未證極限存在之前不能兩邊取極限.小結(jié)：極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限是函數(shù)極限的重要內(nèi)容，必須熟練掌握并能準(zhǔn)確應(yīng)用。