函數(shù)圖象與圖象變換

本資料來源2012屆高考數(shù)學難點函數(shù)圖象與圖象變換函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).難點磁場()已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍.案例探究例1對函數(shù)y=f(x)定義域中任一個x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求證y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱；(2)若函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和.命題意圖：本題考查函數(shù)概念、圖象對稱問題以及求根問題.屬級題目.知識依托：把證明圖象對稱問題轉化到點的對稱問題.錯解分析：找不到問題的突破口，對條件不能進行等價轉化.技巧與方法：數(shù)形結合、等價轉化.(1)證明：設(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點，則y0=f(x0),又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數(shù)的圖象上，而=a,點(x0,y0)與(2ax0,y0)關于直線x=a對稱，故y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.(2)解：由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，若x0是f(x)=0的根，則4x0也是f(x)=0的根，由對稱性，f(x)=0的四根之和為8.例2如圖，點A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2.又A、B、C在x軸上的射影分別是A、B、C,記ABC的面積為f(a),ABC的面積為g(a).(1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達式；(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結論.命題意圖：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識圖能力、圖形的組合等.屬級題目.知識依托：充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口.錯解分析：圖形面積不會拆拼.技巧與方法：數(shù)形結合、等價轉化.解：(1)連結AA、BB、CC,則f(a)=SABC=S梯形AACCSAABSCCB=(AA+CC)=(),g(a)=SABC=AC·BB=BB=.f(a)<g(a).錦囊妙計1.熟記基本函數(shù)的大致圖象，掌握函數(shù)作圖的基本方法：(1)描點法：列表、描點、連線；(2)圖象變換法：平移變換、對稱變換、伸縮變換等.2.高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖象為基礎來考查函數(shù)圖象的.題型多以選擇與填空為主，屬于必考內(nèi)容之一，但近年來，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視.殲滅難點訓練一、選擇題1.()當a0時，y=ax+b和y=bax的圖象只可能是( )2.()某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學校的距離，x軸表示出發(fā)后的時間，則適合題意的圖形是( )二、填空題3.()已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，將y=f(x)的圖象向左平移1個單位，再將圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則函數(shù)F(x)=f(x)g(x)的最大值為_.三、解答題4.()如圖，在函數(shù)y=lgx的圖象上有A、B、C三點，它們的橫坐標分別為m,m+2,m+4(m>1).(1)若ABC面積為S，求S=f(m);(2)判斷S=f(m)的增減性.5.()如圖，函數(shù)y=|x|在x1,1的圖象上有兩點A、B，ABOx軸，點M(1，m)(mR且m>)是ABC的BC邊的中點.(1)寫出用B點橫坐標t表示ABC面積S的函數(shù)解析式S=f(t);(2)求函數(shù)S=f(t)的最大值，并求出相應的C點坐標.6.()已知函數(shù)f(x)是y=1(xR)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=的圖象關于y軸對稱，設F(x)=f(x)+g(x).(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；(2)試問在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由.7.()已知函數(shù)f1(x)=,f2(x)=x+2,(1)設y=f(x)=，試畫出y=f(x)的圖象并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉一周所得幾何體的表面積；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個不等的實根，求實數(shù)a的范圍.(3)若f1(x)>f2(xb)的解集為1，求b的值.8.()設函數(shù)f(x)=x+的圖象為C1，C1關于點A(2，1)對稱的圖象為C2，C2對應的函數(shù)為g(x).(1)求g(x)的解析表達式；(2)若直線y=b與C2只有一個交點，求b的值，并求出交點坐標；(3)解不等式logag(x)<loga (0<a<1).參考答案難點磁場解法一：觀察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過原點，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的圖象過(1，0)，f(x)=a+b+c,又有f(1)0,即a+bc0,+得b0,故b的范圍是(,0)解法二：如圖f(0)=0有三根，f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x1)(x2)=ax33ax2+2ax,b=3a,a>0,b0.殲滅難點訓練一、1.解析：y=bax=(ba)x,這是以ba為底的指數(shù)函數(shù).仔細觀察題目中的直線方程可知：在選擇支B中a>0,b>1,ba>1,C中a0,b>1,0ba1,D中a0,0b1,ba>1.故選擇支B、C、D均與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖象不符合.答案：A2.解析：由題意可知，當x=0時，y最大，所以排除A、C.又一開始跑步，所以直線隨著x的增大而急劇下降.答案：D二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>2)F(x)=f(x)g(x)=log2(x+1)2log2(x+2)=log2x+1>0,F(x)=2當且僅當x+1= ,即x=0時取等號.F(x)max=F(0)=2.答案：2三、4.解：(1)SABC=S梯形AABB+S梯形BBCCS梯形AACC.(2)S=f(m)為減函數(shù).5.解：(1)依題意，設B(t, t),A(t, t)(t>0),C(x0,y0).M是BC的中點.=1, =m.x0=2t,y0=2mt.在ABC中，|AB|=2t,AB邊上的高hAB=y0t=2m3t.S=|AB|·hAB= ·2t·(2m3t),即f(t)=3t2+2mt,t(0,1). (2)S=3t2+2mt=3(t)2+,t(0,1,若，即m3,當t=時，Smax=,相應的C點坐標是(2, m),若>1,即m>3.S=f(t)在區(qū)間(0，1上是增函數(shù)，Smax=f(1)=2m3,相應的C點坐標是(1，2m3).6.解：(1)y=1的反函數(shù)為f(x)=lg(1x1.由已知得g(x)=,F(x)=lg+,定義域為(1，1).(2)用定義可證明函數(shù)u=1+是(1，1）上的減函數(shù)，且y=lgu是增函數(shù).f(x)是(1，1）上的減函數(shù)，故不存在符合條件的點A、B.7.解：(1）y=f(x)=.圖略.y=f(x)的曲線繞x軸旋轉一周所得幾何體的表面積為(2+).(2)當f1(x+a)=f2(x)有兩個不等實根時，a的取值范圍為2a1.(3)若f1(x)>f2(xb)的解集為1，則可解得b=.8.(1)g(x)=x2+.(2)b=4時，交點為(5，4)；b=0時，交點為(3，0).(3)不等式的解集為x|4x或x>6.