高等數(shù)學(xué)：06第三章 第6節(jié) 函數(shù)圖形的描繪

1函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)一、漸近線二、圖形描繪的步驟三、作圖舉例四、小結(jié)2一、漸近線定義定義: :.)(,)(一條漸近線一條漸近線的的就稱為曲線就稱為曲線那么直線那么直線趨向于零趨向于零的距離的距離到某定直線到某定直線如果點(diǎn)如果點(diǎn)移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí)移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí)沿著曲線沿著曲線上的一動(dòng)點(diǎn)上的一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)曲線當(dāng)曲線xfyLLPPxfy 1.1.鉛直漸近線鉛直漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x000lim( )lim( )( ).xxxxf xf xxxyf x 如果或那么就是的一條鉛直漸近線3例如例如,)3)(2(1 xxy有鉛直漸近線兩條有鉛直漸近線兩條: :. 3, 2 xx42.2.水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy53.3.斜漸近線斜漸近線.)(),(0)()(lim0)()(lim的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是曲曲線線那那么么xfybaxy 6注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D71lim( )xf x, 1lim( )xf x, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 )()(limxxxxx213221)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy8的兩條漸近線如圖的兩條漸近線如圖1)3)(2(2)( xxxxf9二、圖形描繪的步驟利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù))(xf和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù))(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函數(shù)數(shù)定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的全全部部實(shí)實(shí)根根，用用這這些些根根同同函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)把把函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個(gè)個(gè)部部分分區(qū)區(qū)間間.10第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn)凸與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論） ；可列表進(jìn)行討論） ；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢(shì)漸近線以及其他變化趨勢(shì);第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時(shí)時(shí)還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫(huà)畫(huà)出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.11三、作圖舉例例例2 2.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱性且無(wú)對(duì)稱性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得駐點(diǎn)得駐點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平漸近線得水平漸近線122)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( 13:補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn));0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作圖作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC142)1(4)(2 xxxf15例例3 3.1)(23的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxxf解解),(:D無(wú)奇偶性及周期性無(wú)奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn), 0)( xf令令.31 x得特殊點(diǎn)得特殊點(diǎn):補(bǔ)補(bǔ)充充點(diǎn)點(diǎn)),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):16x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小值極小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 17123 xxxy18四、小結(jié)函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察數(shù)應(yīng)用的綜合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點(diǎn)拐點(diǎn)凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy 19練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題解答：解答：0sinlim xxx0 y是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線.0 x不不是是其其圖圖象象的的漸漸近近線線. 1sinlim0 xxxxxysin 20202、曲線)(1122xxeey(A) 沒(méi)有漸近線；(B) 僅有水平漸近線；(C) 僅有鉛直漸近線；(D) 既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD21拐點(diǎn)為 ,凸區(qū)間是 ,),(21)1,(2121e3、曲線21xey的凹區(qū)間是 ,提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及漸近線 .1yyox1)1 ,(2121e)1 ,(2121e