高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：3-2n0 洛必達(dá)法則

.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或如如果果當(dāng)當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 3.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,)1(000000 xgxfxgxfAxgxfxgxgxfxxxgxfxxxxxxxx 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理1洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則. .,)(),(,0該法則仍然成立該法則仍然成立的情形下的情形下時(shí)，時(shí)，以及以及時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xgxfxxx證證補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義, 0)(, 0)(00 xgxf,),(00 xxU內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在在 ,0為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xx,)(),(件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條xgxf則有則有)()()()()()(00 xgxgxfxfxgxf )()( gf)(0之間之間與與在在xx ,00 xxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(lim0Axgxfxx ,)()(lim0Agfx .)()(lim)()(lim00Agfxgxfxxx 例例1 1解解.tanlim30 xxxx 求求)()(tanlim30 xxxx原式原式22031seclimxxx 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(2203tanlimxxx .31 .)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)(,)()(|)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfXxxFxfxxxx 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在且且都存在都存在及及時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 推論推論 設(shè)設(shè))1(zx 設(shè)設(shè)例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 )00(.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax 那末那末或?yàn)闊o窮大或?yàn)闊o窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于無窮大都趨于無窮大及及函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)定理定理2 2 設(shè)設(shè)（參見（參見 P167 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析，華東師大數(shù)學(xué)系編），華東師大數(shù)學(xué)系編）例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原式原式. 1 )( )( axbxxcoscoslim0 解解1lim nxxnxe原式原式. ).0(xelim. 4nxx 求求例例22)1(lim nxxxnne33)2)(1(lim nxxxnnne 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 例例6 6解解).0(lnlim nxxx求求xnxxnx11lnlim 原式原式 nxxx1lnlim nxxx2ln)1(lim . 0 例例8.已知已知 其中其中 , 有二階連有二階連 續(xù)導(dǎo)數(shù)，續(xù)導(dǎo)數(shù)， 1、確定、確定 的值，使的值，使 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)；連續(xù)；2 2、求、求 0,0,cos)()(xaxxxxgxf)(xg1)0( ga)(xf0 x)(xf xxxgaxcos)(lim0 1sin)(lim0 xxgx )0(g xgxxxgfx)0(cos)(lim)0(0 20)0(cos)(limxxgxxgx )1)0(21 gxgxxgx2)0(sin)(lim0 型未定式解法型未定式解法00,1 ,0 ,0 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或例例9 9解解).arctan2(limxxx 求求22111limxxx 221limxxx . 1 xxx1arctan2lim 原式原式例例1 10 0解解.lnlim20 xxx 求求3021limxxx 2lim20 xx. 0 201lnlimxxx 原式原式.00lnlim0）（一般地，一般地， xxx例例1 11 1解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對(duì)數(shù)取對(duì)數(shù).0 例例1 12 2解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1 13 3解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1 14 4解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1 15 5解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效。洛必達(dá)法則失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件.)1ln(1coslim20 xxxx 求求三、小結(jié)三、小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy l 不定式極限有以下七類不定式極限有以下七類： xxxsinlim:000 )0(lnlim: xxx xxxlnlim:00 ):(lnlim0 xxx )tan(seclim:2xxx )00(cossin1lim2xxx 21coslim:1xxx )00:(lim21cosln xxxe xxx10lim: ):(limln xxxe xxxln10)arctan2(lim:0 xxxeln)arctan2ln(lim )( 思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明.思考題解答思考題解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題3.21(1,2), 2, 4.一、一、 填空題：填空題：1 1、 洛必達(dá)法則除了可用于求洛必達(dá)法則除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外，也可通過變換解決類型的未定式的極限外，也可通過變換解決_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 用洛必達(dá)法則求下列極限：用洛必達(dá)法則求下列極限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .三、三、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng), , 在在處處點(diǎn)點(diǎn)0 x的連續(xù)性的連續(xù)性. .一、一、1 1、00,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1.1.二、二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. .三、連續(xù)三、連續(xù). .練習(xí)題答案練習(xí)題答案