高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差課件 理 新人教A版

第第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及均節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差值與方差 .理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題 整合主干知識(shí) 1離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為_，常用字母X，Y，表示所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量 2離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率為P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時(shí)為了簡單起見，也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列 (2)分布列的性質(zhì) pi0，i1,2，n； (3)常見離散型隨機(jī)變量的分布列 兩點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量X的分布列為 則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱pP(X1)為成功概率 超幾何分布X01P1pp 3.均值與方差 (1)均值 稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或_它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_ (2)方差數(shù)學(xué)期望平均水平平均偏離程度 (3)均值與方差的性質(zhì) E(aXb)_. D(aXb)_.(a，b為常數(shù)) 質(zhì)疑探究：隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差的關(guān)系是怎樣的？ 提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差aE(X)ba2D(X) 解析：設(shè)失敗率為p，則成功率為2p.X的分布列為X01Pp2p 答案：C 答案：A 3已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于() 答案：A 4有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)_. 5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_ 解析：E(X)10.700.30.7. 答案：0.7聚集熱點(diǎn)題型 典例賞析1 (2015廣州市調(diào)研)某市A，B，C，D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示： 為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問卷調(diào)查離散型隨機(jī)變量的分布列 中學(xué)ABCD人數(shù)30402010 (1)問A，B，C，D四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？ (2)從參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率； (3)在參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中，從來自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求的分布列 拓展提高求解離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟： 理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個(gè)值的概率；寫出X的分布列 提醒求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí) 變式訓(xùn)練 1(2015濟(jì)南調(diào)研)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和 (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X) 典例賞析2 一個(gè)盒子里裝有7張卡片， 其中有紅色卡片4張， 編號(hào)分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張， 編號(hào)分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同) (1) 求取出的4張卡片中， 含有編號(hào)為3的卡片的概率. (2) 在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的期望與方差 所以隨機(jī)變量X的分布列是 拓展提高求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的方法 (1)理解的意義，寫出可能取的全部值； (2)求取每個(gè)值的概率； (3)寫出的分布列； (4)由均值的定義求E()； (5)由方差的定義求D() 變式訓(xùn)練 2(2015溫州市調(diào)研)從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗(yàn)結(jié)束 (1)求第一次試驗(yàn)恰好摸到一個(gè)紅球和一個(gè)白球的概率； (2)記試驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X) X的分布列為 典例賞析3 近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表： 超幾何分布 患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男5女10合計(jì)50 (1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； (2)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)，說明你的理由； (3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進(jìn)行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差 下面的臨界值表供參考：P(K2k)0.100.050.0250.100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.879 10.828 思路索引(1)先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù)，從而得出表格中的各個(gè)數(shù)據(jù)；(2)利用22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2，然后利用臨界值表進(jìn)行判斷； (3)先確定的取值，利用超幾何分布的概率公式求其每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，最后代入期望與方差的計(jì)算公式求解 解析(1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男20525女101525合計(jì)302050 拓展提高1.超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn) (1)超幾何分布是不放回抽樣問題 (2)隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù) 2超幾何分布的應(yīng)用 超幾何分布是一個(gè)重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型 變式訓(xùn)練 3某校高一年級(jí)共有學(xué)生320人為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間(指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間)情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，按照以下區(qū)間分為7組：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70，得到頻率分布直方圖如圖已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的有4人 (1)求n的值； (2)若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？(注：統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表) (3)問卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解：(1)由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06， 則n(0.020.06)4，解得n50. (2)設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi， 由題圖知p10.02，p20.06，p30.3，p40.4， p50.12，p60.08，p70.02， 則由xi50pi可得x11，x23，x315，x420，x56，x64，x71.備課札記_提升學(xué)科素養(yǎng) (理)離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 (本題滿分12分)(2013高考湖南)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米 (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望 故所求Y的分布列為 (10分) 答題模板第一步：弄清題目意思，找到內(nèi)部及邊界各個(gè)點(diǎn)； 第二步：計(jì)算出從三角形地塊內(nèi)部及邊界各取一株作物結(jié)果種數(shù)及相近的種數(shù)； 第三步：數(shù)出各點(diǎn)相近點(diǎn)的株數(shù)，分類； 第四步：求每類的概率； 第五步：列出分布列； 第六步：計(jì)算期望 (2015北京東城模擬)為迎接6月6日的“全國愛眼日”，某高中學(xué)校學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對(duì)數(shù)視力表檢查得到每個(gè)學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)如圖，若視力測試結(jié)果不低于5.0，則稱為“好視力” (1)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“好視力”的概率； (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 X的分布列為 1兩點(diǎn)注意 (1)求分布列的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率要注意分類不全面或計(jì)算錯(cuò)誤 (2)注意運(yùn)用分布列的兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)求得分布列的正誤. 2三條性質(zhì) (1)E(axb)aE(x)b(a，b為常數(shù)) (2)E(X1X2)E(X1)E(X2) (3)D(axb)a2D(x)(a，b為常數(shù)) 3三種方法 (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解