高等數(shù)學(xué)（2014級(jí)版）：1_5_2兩個(gè)重要極限

1.5.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 a. 命題（夾逼準(zhǔn)則）命題（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)在 x0的某空心鄰域內(nèi)有注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ，)()()(xhxgxf，)(lim)(lim00Axhxfxxxx且則.)(lim0Axgxx證明： 課本P27.1sincosxxx圓扇形AOB的面積b. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim) 1 (0 xxx證證: （應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則）（應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則）當(dāng)即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有注 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 00（ “ ” 型 ）當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 則,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求0sin3lim.xxx解解: 方法一：令3,xu則1,3xu因此原式03sinlim3.uuu方法二：0sin3limxxx0sin33lim3.3xxxnnnRcossinlim2Rn例例5. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121例例6. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說(shuō)明說(shuō)明: 計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2)exxx)1(lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 此極限也可寫(xiě)為10lim(1)xxxe( 1)“ ”型例例7. 求lim() .1xxxx解解:原式1lim11xxx1lim1(1)xxxe1例例8. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說(shuō)明說(shuō)明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則 原式111)1 (limexxx例例9. 求5lim(1) .xxx原式1lim 15xxx( 5)51lim 15xxx5e解解:例例10. 求33lim().1xxxx解解:原式331lim(1)1xxx3(1)1lim(1)1xxx3e例例11. 求121lim.xxx解解:原式211limxxx211lim(11)xxx2e例例12. 求123lim().21xxxx解解: 原式12lim(1)21xxx11221lim 112xxx 112211lim 1lim 11122xxxxx1ee 例例13. 求-1lim() .1xxxx解解: 原式 =2lim(1)1xxx2e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2lim(1)1xxx12212lim(1)1xxxxx（或者換元，令 ）21tx說(shuō)明說(shuō)明:兩個(gè)重要極限在計(jì)算中公式可變形為:1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(e1)1(lim0或注注: 代表相同的表達(dá)式兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e 作業(yè)作業(yè) P41: 24 (1),(3),(5),(7),(9)第七節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束