全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版5

1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分36分，每小題答對(duì)得6分答錯(cuò)得0分，不答得1分) 假定有兩個(gè)命題： 甲：a是大于0的實(shí)數(shù)；乙：a>b且a1>b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要條件 B甲是乙的必要而不充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點(diǎn)的任一弦，MN為PQ在準(zhǔn)線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉(zhuǎn)面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結(jié)論中，正確的是( ) AS1>S2 BS1<S2 CS1S2 D有時(shí)S1>S2，有時(shí)S1=S2，有時(shí)S1<S2 已知方程arccosarccos()=arcsinx，則( ) Ax= Bx= Cx=0 D這樣的x不存在 在下面四個(gè)圖形中，已知有一個(gè)是方程mx+ny2=0與mx2+ny2=1(m0，n0)在同一坐標(biāo)系中的示意圖，它應(yīng)是( ) 設(shè)Z、W、為復(fù)數(shù)，|1，關(guān)于Z的方程Z=W有下面四個(gè)結(jié)論：Z=是這個(gè)方程的解； 這個(gè)方程只有一解；這個(gè)方程有兩解； 這個(gè)方程有無窮多解則( ) A只有、正確 B只有、正確 C只有、正確 D以上A、B、C都不正確 設(shè)0<a<1，若x1=a，x2=a，x3=a，xn=a，則數(shù)列xn( ) A是遞增的 B是遞減的 C奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減 D偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減 二填空題(本題滿分24分，每小題6分) 在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2a2=ac，則角B的弧度為等于 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負(fù)整數(shù)解共有 組 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個(gè)數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，定義運(yùn)算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)加法、乘法運(yùn)算現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有x*d=x，則d= 第二試(本試共有4題，每題滿分15分)1在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)均為一位的正整數(shù)OA與x軸正方向的夾角大于45°，OB與x軸正方向的夾角小于45°，B在x軸上的射影為B¢，A在y軸上的射影為A¢，OBB¢的面積比OAA¢的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù)=x1103+x2102+y210+y1試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1FFA=12求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角3某足球邀請(qǐng)賽有十六個(gè)城市參加，每市派出甲、乙兩個(gè)隊(duì)，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊(duì)外，其它各隊(duì)已比賽過的場數(shù)各不相同問A市乙隊(duì)已賽過多少場？請(qǐng)證明你的結(jié)論4平面上任給5個(gè)點(diǎn)，以表示這些點(diǎn)間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin54° 1985年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分36分，每小題答對(duì)得6分答錯(cuò)得0分，不答得1分) 假定有兩個(gè)命題： 甲：a是大于0的實(shí)數(shù)；乙：a>b且a1>b1那么( ) A甲是乙的充分而不必要條件 B甲是乙的必要而不充分條件 C甲是乙的充分必要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解：由于a>b且a1>b1成立時(shí)，必有a>0，b<0故由乙可得甲，故選B PQ為經(jīng)過拋物線y2=2px焦點(diǎn)的任一弦，MN為PQ在準(zhǔn)線l上的射影，PQ繞l一周所得的旋轉(zhuǎn)面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2，則下面結(jié)論中，正確的是( ) AS1>S2 BS1<S2 CS1S2 D有時(shí)S1>S2，有時(shí)S1=S2，有時(shí)S1<S2解：設(shè)PQ與x軸夾角=，|PF|=1，|QF|=2，則|PM|=1，|QN|=2則S1=(PM+QN)PQ=(1+2)2，S2=|MN|2=(1+2)2sin2 S1S2，當(dāng)且僅當(dāng)=90°時(shí)等號(hào)成立選C 已知方程arccosarccos()=arcsinx，則( ) Ax= Bx= Cx=0 D這樣的x不存在 解：即arcsinx=2 arccos設(shè)arccos=，則cos=，sin= sin2=2sincos=即2為銳角2<故選D 在下面四個(gè)圖形中，已知有一個(gè)是方程與 (m0，n0)在同一坐標(biāo)系中的示意圖，它應(yīng)是( )解：由y2=x，若m、n均為正數(shù)，則此拋物線開口向左，且mx2+ny2=1表示橢圓，m<n，|<1此時(shí)拋物線與直線y=x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)>1故否定B、D 若m、n符號(hào)相反，則拋物線開口向右且mx+ny2=0圖形是雙曲線，m<0，n>0，m=n故選A 設(shè)Z、W、為復(fù)數(shù)，|1，關(guān)于Z的方程Z=W有下面四個(gè)結(jié)論：Z=是這個(gè)方程的解； 這個(gè)方程只有一解；這個(gè)方程有兩解； 這個(gè)方程有無窮多解則( ) A只有、正確 B只有、正確 C只有、正確 D以上A、B、C都不正確 解：原式兩端取共軛：Z=，乘以再取共軛：|l|2Z=W，相加，由|l|1，得方程有唯一解Z=選A 設(shè)0<a<1，若x1=a，x2=a，x3=a，xn=a，則數(shù)列xn( ) A是遞增的 B是遞減的 C奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減 D偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減 解：作y=ax的圖象，在圖象上取點(diǎn)x1，x2，x3，x4，由0<a<1，知x1<x3<x2，即A、B錯(cuò)，C正確選C二填空題(本題滿分24分，每小題6分) 在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若角A、B、C的大小成等比數(shù)列，且b2a2=ac，則角B的弧度為等于 解：由余弦定理，b2a2=c22accosB故ac=c22accosB即a=c2acosBÞsinA=sin(A+B)2sinAcosB.=sin(BA) 由b>a，得B>AÞA=BA，ÞB=2A，C=4A或A+BA=(不可能) B= 方程2x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3的非負(fù)整數(shù)解共有 組解：x1=1時(shí)，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=1，共有9解；x1=0時(shí)，x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=3，共有9+A+C=9+72+84=165解 共有174解 在已知數(shù)列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相鄰若干個(gè)數(shù)之和能被11整除的數(shù)組共有 解：把這些數(shù)mod 11得1，4，3，1，5，3，1，3，3，1依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1其中相等的和有7對(duì)(3對(duì)1，3對(duì)2，1對(duì)5)，這表示原數(shù)列中共有7組相鄰數(shù)之和能被11整除 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，定義運(yùn)算x*y為x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等式右端中的運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)加法、乘法運(yùn)算現(xiàn)已知1*2=3，2*3=4，并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有x*d=x，則d= 解：ax+bd+cxd=x取x=0，代入得，bd=0，但d0，故b=0a+2b+2c=3，2a+3b+6c=4Þa=5，c=1取x=1代入，得d=4經(jīng)驗(yàn)算：x*y=5xxy，對(duì)于一切x，有x*4=5x4x=x成立故d=4第二試(本試共有4題，每題滿分15分)1在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)的坐標(biāo)均為一位的正整數(shù)OA與x軸正方向的夾角大于45°，OB與x軸正方向的夾角小于45°，B在x軸上的射影為B¢，A在y軸上的射影為A¢，OBB¢的面積比OAA¢的面積大33.5，由x1，y1，x2，y2組成的四位數(shù)=x1103+x2102+y210+y1試求出所有這樣的四位數(shù)，并寫出求解過程解：x2y2x1y1=67x1<y1，x2>y2且x1，y1，x2，y2都是不超過10的正整數(shù) x2y2>67，Þ x2y2=72或81但x2>y2，故x2y2=91舍去 x2y2=72x2=9，y2=8 x1y1=7267=5Þx1=1，y1=5， =19852如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1FFA=12求平面B1EF與底面A1B1C1D1所成的二面角解：設(shè)AB=1，則BE=，A1F=，故B1E=，B1F=，EF= S=·=而B1EF在平面A1C1上的射影面積= cos=，即所求角=arc cos又解：設(shè)平面B1EF與平面AD1交于FG，(G在AD上)，則由平面AD1平面BC1，得FGB1E于是，延長GF、D1A1交于P，則P為截面與平面A1C1的公共點(diǎn)，故PB1為所求二面角的棱AG=A1H=，A1P=，PB1=作GHA1D1于H，則GH平面A1C1作HKPB1，連GK則GKH為所求二面角的平面角 HKPB1=A1B1HP HK=，tanGKH=即所求角=arc tan3某足球邀請(qǐng)賽有十六個(gè)城市參加，每市派出甲、乙兩個(gè)隊(duì)，根據(jù)比賽規(guī)則，比賽若干天后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)除A市甲隊(duì)外，其它各隊(duì)已比賽過的場數(shù)各不相同問A市乙隊(duì)已賽過多少場？請(qǐng)證明你的結(jié)論證明：用32個(gè)點(diǎn)表示這32個(gè)隊(duì)，如果某兩隊(duì)比賽了一場，則在表示這兩個(gè)隊(duì)的點(diǎn)間連一條線否則就不連線由于，這些隊(duì)比賽場次最多30場，最少0場，共有31種情況，現(xiàn)除A城甲隊(duì)外還有31個(gè)隊(duì)，這31個(gè)隊(duì)比賽場次互不相同，故這31個(gè)隊(duì)比賽的場次恰好從0到30都有就在表示每個(gè)隊(duì)的點(diǎn)旁注上這隊(duì)的比賽場次考慮比賽場次為30的隊(duì)，這個(gè)隊(duì)除自己與同城的隊(duì)外，與不同城有隊(duì)都進(jìn)行了比賽，于是，它只可能與比賽0場的隊(duì)同城；再考慮比賽29場的隊(duì)，這個(gè)隊(duì)除與同城隊(duì)及比賽0場、1場(只賽1場的隊(duì)已經(jīng)與比賽30場的隊(duì)賽過1場，故不再與其它隊(duì)比賽)的隊(duì)不比賽外，與其余各隊(duì)都比賽，故它與比賽1場的隊(duì)同城；依次類推，知比賽k場的隊(duì)與比賽30k場的隊(duì)同城，這樣，把各城都配對(duì)后，只有比賽15場的隊(duì)沒有與其余的隊(duì)同城，故比賽15場的隊(duì)就是A城乙隊(duì)即A城乙隊(duì)比賽了15場4平面上任給5個(gè)點(diǎn)，以表示這些點(diǎn)間最大的距離與最小的距離之比，證明：2sin54° 證明 若此五點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，例如A、B、C三點(diǎn)共線，不妨設(shè)B在A、C之間，則AB與BC必有一較大者不妨設(shè)ABBC則2>2sin54° 設(shè)此五點(diǎn)中無三點(diǎn)共線的情況 若此五點(diǎn)的凸包為正五邊形則其五個(gè)內(nèi)角都=108°五點(diǎn)的連線只有兩種長度：正五邊形的邊長與對(duì)角線，而此對(duì)角線與邊長之比為2sin54° 若此五點(diǎn)的凸包為凸五邊形則其五個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)內(nèi)角108°設(shè)EAB108°，且EAAB，則AEB36°，= =2cosE2cos36°=2sin54° 若此五點(diǎn)的凸包為凸四邊形ABCD，點(diǎn)E在其內(nèi)部，連AC，設(shè)點(diǎn)E在ABC內(nèi)部，則AEB、BEC、CEA中至少有一個(gè)角120°>108°，由上證可知，結(jié)論成立 若此五點(diǎn)的凸包為三角形ABC，則形內(nèi)有兩點(diǎn)D、E，則ADB、BDC、CDA中必有一個(gè)角120°，結(jié)論成立綜上可知，結(jié)論成立