全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版2

1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽1選擇題(本題滿分35分，每題答對(duì)者得5分，答錯(cuò)者得2分，不答者得0分) 條件甲：兩個(gè)三角形的面積和兩條邊對(duì)應(yīng)相等 條件乙：兩個(gè)三角形全等 A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 條件甲：=a 條件乙：sin+cos=a A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 設(shè) (k0，±1，±2，)， T= AT取負(fù)值 BT取非負(fù)值 CT取正值 DT取值可正可負(fù) 下面四個(gè)圖形中，哪一個(gè)面積大？ AABC：A=60°，B=45°，AC= B梯形：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為和，夾角為75° C圓：半徑為1 D正方形：對(duì)角線長(zhǎng)度為2.5 給出長(zhǎng)方體ABCDA¢B¢C¢D¢，下列12條直線：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少對(duì)異面直線？ A30對(duì) B60對(duì) C24對(duì) D48對(duì) 在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域M和N，M是由y0，yx和y2-x 這三個(gè)不等式確定，N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式txt+1確定，t的取值范圍是0t1 ，設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為 At2+t+ B2t2+2t C.1t2 D. (t2)2 對(duì)方程x|x|+px+q=0進(jìn)行討論，下面結(jié)論中，哪一個(gè)是錯(cuò)誤的？ A至多有三個(gè)實(shí)根 B至少有一個(gè)實(shí)根 C僅當(dāng)p24q0時(shí)才有實(shí)根 D當(dāng)p<0和q>0時(shí)，有三個(gè)實(shí)根2(本題15分) 下列表中的對(duì)數(shù)值有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)予糾正：x35lgx2a+b+c36a3b23ab+c12a+2bc2aba+cx678914lgx1+abc2(a+c)33a3c4a2b1a+2b3(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PCQE+PDQF<2 4(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A、B、C三種零件每件甲需用A、B各2個(gè)；每件乙需用B、C各1個(gè)；每件丙需用2個(gè)A與1個(gè)C用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個(gè)A和1個(gè)B，但C恰好用完試證：無論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C三種零件都恰好用完5(本題20分)一張臺(tái)球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個(gè)球從AB的中點(diǎn)P擊出，擊中BC邊上的某點(diǎn)Q，并且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點(diǎn)設(shè)BPQ=，求的范圍提示：利用入射角等于反射角的原理1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽解答1選擇題(本題滿分35分，每題答對(duì)者得5分，答錯(cuò)者得2分，不答者得0分) 條件甲：兩個(gè)三角形的面積和兩條邊對(duì)應(yīng)相等 條件乙：兩個(gè)三角形全等 A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件解：乙Þ甲，但甲Þ乙，故選B. 條件甲：=a 條件乙：sin+cos=a A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件解：由=aÞ| sin+cos|=a；而sin+cos=a,Þ =|a|故選D 設(shè) (k0，±1，±2，)， T= AT取負(fù)值 BT取非負(fù)值 CT取正值 DT取值可正可負(fù)解：T=>0，選C 下面四個(gè)圖形中，哪一個(gè)面積大？ AABC：A=60°，B=45°，AC= B梯形：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為和，夾角為75° C圓：半徑為1 D正方形：對(duì)角線長(zhǎng)度為2.5解：A中三角形面積=(3+)；B中梯形面積=(3+)；C中圓面積=，D中正方形面積=·()2=于是B=A<D<C選C 給出長(zhǎng)方體ABCDA¢B¢C¢D¢，下列12條直線：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少對(duì)異面直線？ A30對(duì) B60對(duì) C24對(duì) D48對(duì)解：每條面上的對(duì)角線都與5條面上的對(duì)角線異面故共有5×12÷2=30對(duì)選A 在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域M和N，M是由y0，yx和y2-x 這三個(gè)不等式確定，N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式txt+1確定，t的取值范圍是0t1 ，設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為 At2+t+ B2t2+2t C.1t2 D. (t2)2解：OAB的面積=1。直角邊長(zhǎng)為t的等腰直角三角形面積=t2.直角邊長(zhǎng)為2(1+t)=1t的等腰直角三角形面積=(1t)2f(t)=1t2(1t)2=1t2+t=+tt2( 0t1 )選A 對(duì)方程x|x|+px+q=0進(jìn)行討論，下面結(jié)論中，哪一個(gè)是錯(cuò)誤的？ A至多有三個(gè)實(shí)根 B至少有一個(gè)實(shí)根 C僅當(dāng)p24q0時(shí)才有實(shí)根 D當(dāng)p<0和q>0時(shí)，有三個(gè)實(shí)根解：畫出y=x|x|及y=pxq的圖象：知A、B正確，C、D錯(cuò)誤選C、D2(本題15分) 下列表中的對(duì)數(shù)值有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)予糾正：x35lgx2a+b+c36a3b23ab+c12a+2bc2aba+cx678914lgx1+abc2(a+c)33a3c4a2b1a+2b解：若lg3=2ab，則lg9=4a2b及l(fā)g0.27=6a3b2，此三個(gè)數(shù)值同時(shí)正確或錯(cuò)誤，故此三個(gè)數(shù)值都正確若lg8=33a3c，則lg2=1ac，lg5=1lg2=ac，lg6=lg3lg2=1abc由于此三數(shù)同時(shí)正確或錯(cuò)誤，故此三個(gè)數(shù)值都正確于是lg1.5=lg3lg2=(2ab)(1ac)=3abc1與表中l(wèi)g1.5=3abc矛盾即lg1.5的數(shù)值錯(cuò)誤若lg2.8=12a2bc，則lg14=lg2.8lg5=(12a2bc)(ac)=1a2b，lg0.021=lg3lg14lg23=(2ab)(1a2b)(1ac)3=2abc3，即此三個(gè)數(shù)值同時(shí)正確或錯(cuò)誤，故此三個(gè)數(shù)值正確lg7=lg14lg2=(1a2b)(1ac)=2bc，與表中l(wèi)g7=2a2c矛盾； 表中l(wèi)g1.5與lg7是錯(cuò)誤的，應(yīng)為lg1.5=3abc1，lg7=2bc3(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PCQE+PDQF<2 證明：作OMCD，垂足為M，交EF于N，設(shè)ON=n，OM=m則CM=DM=，EN=FN=，本題即證(m)( ±n)+( m)( n)<2展開得，·±mn<1移項(xiàng)，平方得，1m2n2m2n2<12mnm2n2Þm2n2>2mn 取“+”號(hào)時(shí)，M、N在點(diǎn)O同側(cè)，此時(shí)mn，總之，命題成立(當(dāng)E、F交換位置時(shí)，且CD、EF在點(diǎn)O異側(cè)時(shí)，可能有m=n)又證：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CMOM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)2 (PCQE+PDQF)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)PC=QE，PD=QF時(shí)成立但由已知，此二式不成立故證4(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A、B、C三種零件每件甲需用A、B各2個(gè)；每件乙需用B、C各1個(gè)；每件丙需用2個(gè)A與1個(gè)C用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個(gè)A和1個(gè)B，但C恰好用完試證：無論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C三種零件都恰好用完解：已知即：每個(gè)甲用 A2，B2， 每個(gè)乙用 B1，C1， 每個(gè)丙用 A2， C1 共有A產(chǎn)品2p2r2件；B產(chǎn)品2pq1件；C產(chǎn)品qr件設(shè)組裝m件甲，n件乙，k件丙，則用2m2k件 A； 用2mn 件B； 用nk件 C如全部用完，則有2p2r2=2m2k；Þpr1=mk 2pq1=2mn； qr=nk ：3p2=3m這是不可能的故證5(本題20分)一張臺(tái)球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個(gè)球從AB的中點(diǎn)P擊出，擊中BC邊上的某點(diǎn)Q，并且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點(diǎn)設(shè)BPQ=，求的范圍提示：利用入射角等于反射角的原理解：解：只要把這個(gè)正六邊形經(jīng)過5次對(duì)稱變換則擊球時(shí)應(yīng)如圖所示，擊球方向在MPN內(nèi)部時(shí)即可設(shè)AB=2，以P為原點(diǎn)，PB為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M坐標(biāo)為(8，3)點(diǎn)N坐標(biāo)為(10，3)，即arctan，arctan