全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版22

二零零二年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷一試題(2002年10月13日上午8：009：40)一選擇題(本小題滿分36分，每小題6分)：1函數(shù)f(x)=log(x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A(，1) B(，1) C(1，) D(3，) 2若實(shí)數(shù)x，y滿足(x5)2(y12)2=142，則x2y2的最小值為 A2 B1 C D 3函數(shù)f(x)= A是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) B是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) C既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 4直線+=1與橢圓+=1相交于A、B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得PAB面積等于3這樣的點(diǎn)P共有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 5已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A=a1，a2，a3，a100，與B=b1，b2，b50，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，則這樣的映射共有 AC BC CC DC 6由曲線x2=4y，x2=4y，x=4，x=4圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1；滿足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的點(diǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則 AV1=V2 BV1=V2 CV1=V2 DV1=2V2 二填空題(本題滿分54分，每小題9分)7已知復(fù)數(shù)Z1、Z2滿足|Z1|=2，|Z2|=3，若它們所對(duì)應(yīng)的向量的夾角為60°，則= ；8將二項(xiàng)式的展開(kāi)式按x 的降冪排列，若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開(kāi)式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 個(gè)；9如圖，點(diǎn)P1、P2、，P10分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組(P1，Pi，Pj，Pk)(1<i<j<k10)有 個(gè)；10已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對(duì)任意xÎR都有f(x5)f(x)5，f(x1)f(x)1,.若g(x)=f(x)1x，則g(2002)= ；11若log4(x2y)log4(x2y)=1，則|x|y|的最小值是 ；12使不等式sin2xacosxa21cosx對(duì)于一切xÎR恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是 ；三解答題(本題滿分60分，每小題20分)：13已知點(diǎn)A(0，2)和拋物線y2=x4上兩點(diǎn)B，C，使得ABBC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍14如圖，有一列曲線P0，P1，P2，已知P0是面積為1的等邊三角形，Pk1是對(duì)Pk進(jìn)行如下操作得到的：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊向形外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉(k=0，1，2，)記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積 求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式； 求Sn15設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a，b，cÎR，a0)滿足條件： 當(dāng)xÎR時(shí)，f(x4)=f(2x)，且f(x)x； 當(dāng)xÎ(0，2)時(shí)，f(x)； f(x)在R上的最小值為0求最大的m(m>1)，使得存在tÎR，只要xÎ1，m，就有f(xt)x二試題(本卷共三個(gè)大題，共150分，每題50分)一在ABC中，BAC=60°，AB>AC，點(diǎn)O為ABC的外心，兩條高BE、CF的交于點(diǎn)H，點(diǎn)M、N分別在線段BH與HF上，且滿足BM=CN求的值二實(shí)數(shù)a，b，c和正數(shù)使得f(x)=x3ax2bxc有三個(gè)實(shí)根x1，x2，x3，且滿足 x2x1=； x3>(x1x2)求的最大值三在世界杯足球賽前，F(xiàn)國(guó)的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們?cè)谌龍?chǎng)訓(xùn)練比賽(每場(chǎng)比賽90分鐘)中都上場(chǎng)，假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些隊(duì)員都有且只有一人在場(chǎng)上，并且A1、A2、A3、A4每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被7整除，A5、A6、A7每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場(chǎng)換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊(duì)員上場(chǎng)的總時(shí)間計(jì)，共有多少種不同的情況？2002年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答一試題(2002年10月13日上午8：009：40)一選擇題(本小題滿分36分，每小題6分)：1函數(shù)f(x)=log(x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A(，1) B(，1) C(1，) D(3，) 解：由x22x3>0，得x<1或x>3在x(，1)時(shí)，u= x22x3單調(diào)減，f(x)單調(diào)增；在x(3，+)時(shí)，u= x22x3單調(diào)增，f(x)單調(diào)減故選A2若實(shí)數(shù)x，y滿足(x5)2(y12)2=142，則x2y2的最小值為 A2 B1 C D 解：令x+5=14cos，y12=14sin，則x2+y2=196+28(5cos12sin)+169=365+364sin(+)1選B(亦可用幾何意義解：圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的最小值)3函數(shù)f(x)= A是偶函數(shù)但不是奇函數(shù) B是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) C既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 解：f(x)定義域?yàn)?，0)(0，+)；f(x)f(x)= +=x=0即f(x)是偶函數(shù)選A4直線+=1與橢圓+=1相交于A、B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P，使得PAB面積等于3這樣的點(diǎn)P共有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 解：直線與橢圓的交線長(zhǎng)=5直線方程3x+4y12=0設(shè)點(diǎn)P(4cos，3sin) 點(diǎn)P與直線的距離d=， 當(dāng)0時(shí)，d(1)，SABC6(1)<3即此時(shí)沒(méi)有三角形面積=3；當(dāng)<<2時(shí)，d(+1)，SABC6(+1)即此時(shí)有2個(gè)三角形面積=3選B5已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A=a1，a2，a3，a100，與B=b1，b2，b50，若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，則這樣的映射共有 AC BC CC DC 解：不妨設(shè)b1b2b50，在a1，a2，a100的每?jī)蓚€(gè)數(shù)間有1個(gè)空檔，共99個(gè)空檔，其中任選49個(gè)空檔插入1條豎杠， 把a(bǔ)1，a2，a100分成50段，從前向后的第i段中的數(shù)映射到bi，即滿足要求共有C種插法，選D6由曲線x2=4y，x2=4y，x=4，x=4圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V1；滿足x2y216，x2(y2)24，x2(y2)24的點(diǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則 AV1=V2 BV1=V2 CV1=V2 DV1=2V2 解：作平面y=h(0h4)與圖形交于一個(gè)圓環(huán)，圓環(huán)面積=(42x2)=(164h)；與圖交得一個(gè)圓環(huán)，面積=(16h2)(4(h2)2)=(16h2(h2+4h)=(164h)說(shuō)明該平面與兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體截得的面積相等由祖暅原理知，V1=V2，選C二填空題(本題滿分54分，每小題9分)7已知復(fù)數(shù)Z1、Z2滿足|Z1|=2，|Z2|=3，若它們所對(duì)應(yīng)的向量的夾角為60°，則= ；解：由余弦定理知|Z1+Z2|=；|Z1Z2|=，=8將二項(xiàng)式的展開(kāi)式按x 的降冪排列，若前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開(kāi)式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 個(gè)；解：前三項(xiàng)系數(shù)為1，n，n(n1)，于是得n=1+n(n1)，解得，n=8，和n=1(舍去)當(dāng)n=8時(shí)，Tr+1=C()rx= C()rx，當(dāng)r=0，4，8時(shí)x的指數(shù)為整數(shù)，共有3個(gè)9如圖，點(diǎn)P1，P2，P10分別是四面體頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)，那么在同一平面上的四點(diǎn)組(P1，Pi，Pj，Pk)(1<i<j<k10)有 個(gè)；解：同在某一側(cè)面上：除P1外另外5點(diǎn)中任取3點(diǎn)與P1共4點(diǎn)組成一個(gè)四點(diǎn)組，有3 C=30組，每條側(cè)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)：3組共有33組10已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1且對(duì)任意xÎR都有f(x5)f(x)5，f(x1)f(x)1,.若g(x)=f(x)1x，則g(2002)= ； 解：由后式，f(x+5)f(x+4)+1f(x+3)+2f(x+2)+3f(x+1)+4f(x)+5比較前式得f(x+1)=f(x)+1 f(x)=x對(duì)一切xN*成立， 對(duì)于xN*，g(x)=f(x)+1x=x+1x=1 g(2002)=111若log4(x2y)log4(x2y)=1，則|x|y|的最小值是 ；解：x>2y，x>2y，x24y2=4由對(duì)稱性，只考慮x>0，y>0的情況令x=2sec，y=tan，(0<<)，u=xy=表示點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(cos，sin)連線的斜率，當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)，u最小為即所求最小值為(或用判別式法解)12使不等式sin2xacosxa21cosx對(duì)于一切xÎR恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是 ；解：即(cosx)2a2+()2，若(1)2a2+()2，則a2+a20 a2或a1，但a<0，故a2三解答題(本題滿分60分，每小題20分)：13已知點(diǎn)A(0，2)和拋物線y2=x4上兩點(diǎn)B，C，使得ABBC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍 解：設(shè)B(y024，y0)，C(y124，y1)則kAB=kBC=由kAB·kBC=1，得(y1+y0)(y0+2)=1 y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0 =(y1+2)24(2y1+1)=y124y10， y10，y14當(dāng)y1=0時(shí)，得B(3，1)，當(dāng)y1=4時(shí)，得B(5，3)均滿足要求，故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍是(，04，+)14如圖，有一列曲線P0，P1，P2，已知P0是面積為1的等邊三角形，Pk1是對(duì)Pk進(jìn)行如下操作得到的：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊向形外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉(k=0，1，2，)記Sn為曲線Pn所圍成圖形的面積 求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式； 求Sn解： 對(duì)P0操作后，每條邊變?yōu)?條邊，共有4×3條邊；對(duì)P1操作，也是每條邊變?yōu)?條邊，故P2共有42×3條邊，即Pk有3×4k條邊S0=1，S1=S0+3×=1+，S2=S1+4×3×=1+；S3=1+；依此類(lèi)推，得Sk=1+=1+·=1+1()k= ()k用數(shù)學(xué)歸納法易證上式正確 Sn=15設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a，b，cÎR，a0)滿足條件： 當(dāng)xÎR時(shí)，f(x4)=f(2x)，且f(x)x； 當(dāng)xÎ(0，2)時(shí)，f(x)； f(x)在R上的最小值為0求最大的m(m>1)，使得存在tÎR，只要xÎ1，m，就有f(xt)x解：由f(x4)=f(2x)，知f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱于是=1Þb=2a此時(shí)，f(x)有最小值0， ab+c=0Þc=af(x)=ax2+2ax+a由 f(1)=4a1由 4a1 a=c=，b=f(x)= (x+1)2若對(duì)于x1，m，f(x+t)x0，Þf(1+t)1=(t+2)210，得4t0f(m+t)m0，Þm2+2(t1)m+(t+1)20解得(t1)2m(t1)+2m1t+29而當(dāng)t=4時(shí)，f(x4)x=(x210x+9)= (x1)(x9)在x1，9時(shí)，恒有f(x4)x0成立 m的最大值為9二試題(本卷共三個(gè)大題，共150分，每題50分)一在ABC中，BAC=60°，AB>AC，點(diǎn)O為ABC的外心，兩條高BE、CF的交于點(diǎn)H，點(diǎn)M、N分別在線段BH與HF上，且滿足BM=CN求 的值解：記ACB=，連OB、OC，則BOC=BHC=120°， B、O、H、C四點(diǎn)共圓設(shè)此圓的半徑為R'，則2R'= =2RHM+NH=(BHBM)+(CNCH)=BHCH在BCH中，CBH=90°HCB=90°(120°)=30°，HM+NH=BHCH=2R(sin(30°)sin(90°)=2R(sincos30°cossin30°cos)=2Rsin(60°)在OCH中，OH=2RsinHCO=2Rsin(30°30°)=2Rsin(60°) =二實(shí)數(shù)a，b，c和正數(shù)使得f(x)=x3ax2bxc有三個(gè)實(shí)根x1，x2，x3，且滿足 x2x1=； x3>(x1x2)求的最大值解：設(shè)x1=m，x2=m，x3=mk (k>)a=(x1x2x3)=(3mk)；b=x1x2x1x3x2x3=3m22mk2；c=x1x2x3=m3m2k2m2k則2a327c9ab=3(mk)327(m3m2k2m2k)9(3mk)(3m22mk2)=2k32k 令=t，則(2a3+27c9ab)=2t3+t取g(t)=2t3+t則g'(t)=6t2+，g"(t)=12t令g'(t)=0，得t=±，而當(dāng)t=時(shí)g"(t)<0 當(dāng)t=時(shí)，g(t)取得最大值g()=2()3+()=若取=1，此時(shí)得，k= 令a=0，得m=，代入b、c的表達(dá)式得b=，c=此時(shí)得f(x)=x3x+滿足題意三在世界杯足球賽前，F(xiàn)國(guó)的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們?cè)谌龍?chǎng)訓(xùn)練比賽(每場(chǎng)比賽90分鐘)中都上場(chǎng)，假設(shè)在比賽的任何時(shí)刻，這些隊(duì)員都有且只有一人在場(chǎng)上，并且A1、A2、A3、A4每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被7整除，A5、A6、A7每人上場(chǎng)的總時(shí)間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場(chǎng)換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊(duì)員上場(chǎng)的總時(shí)間計(jì)，共有多少種不同的情況？解：設(shè)各人上場(chǎng)時(shí)間分別為7t1，7t2，7t3，7t4，13t5，13t6，13t7，(ti為正整數(shù))得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3令t1+t2+t3+t4=x，t5+t6+t7=y，得方程7x+13y=270即求此方程滿足4x38，3y20的整數(shù)解即6y4(mod 7)，3y2(mod 7)，y3(mod 7) y=3，10，17，相應(yīng)的x=33，20，7t5+t6+t7=3的解只有1種，t5+t6+t7=10的解有C種，t5+t6+t7=17的解有C種；t1+t2+t3+t4=33的解有C種，t1+t2+t3+t4=20的解有C種，t1+t2+t3+t4=7的解有C種 共有1·C+ C·C+ C·C=42244種