全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版15

1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試一、選擇題(每小題6分，共36分)1 設(shè)等差數(shù)列an 滿足3a8=5a13且a1>0，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212 設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1，Z2，Z20，則復(fù)數(shù)Z，Z，Z所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)203 如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)50個(gè) (D)100個(gè)4 已知方程|x2n|=k (nN*)在區(qū)間(2n1，2n+1上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是( ) (A)k>0 (B)0<k (C)<k (D)以上都不是5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小關(guān)系是(A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1(B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1(C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1(D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin16 設(shè)O是正三棱錐PABC底面三角形ABC的中心，過(guò)O的動(dòng)平面與PC交于S，與PA，PB的延長(zhǎng)線分別交于Q，R，則和式+ (A)有最大值而無(wú)最小值 (B有最小值而無(wú)最大值 (C)既有最大值又有最小值，兩者不等 (D)是一個(gè)與面QPS無(wú)關(guān)的常數(shù)二、填空題(每小題9分，共54分)1 設(shè)，為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，若|=2，且為實(shí)數(shù)，則|= 2 一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為 3 用x表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)， 方程lg2xlgx2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是 4 直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是 5 將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是 6 設(shè)M=1，2，3，1995，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)xA時(shí)，15xÏA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是 第二試一、(25分) 給定曲線族2(2sincos+3)x2(8sin+cos+1)y=0，為參數(shù)，求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長(zhǎng)的最大值二、(25分) 求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程5x35(p+1)x2+(71p1)x+1=66p的三個(gè)根均為正整數(shù) 三、(35分) 如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證： MQNP四、(35分) 將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色。證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色1995年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(解答)一、選擇題(每小題6分，共36分)1 設(shè)等差數(shù)列an滿足3a8=5a13且a1>0，Sn為其前項(xiàng)之和，則Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 解：3(a+7d)=5(a+12d)，Þd=a，令an=aa (n1)0，an+1= aa n<0，得n=20選C2 設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z1，Z2，Z20，則復(fù)數(shù)Z，Z，Z所對(duì)應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 解：設(shè)z1=cos+isin，則zk=z1k1，其中=cos+isin20=115=i，10=1，5=i zk1995=(cos1995+isin1995) 1995(k1)= (cos1995+isin1995)(i)k1 共有4個(gè)值選A3 如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)50個(gè) (D)100個(gè)解：把身高按從高到矮排為1100號(hào)，而規(guī)定二人比較，身高較高者體重較小，則每個(gè)人都是棒小伙子故選D4 已知方程|x2n|=k(nN*)在區(qū)間(2n1，2n+1上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是( ) (A)k>0 (B)0<k (C)<k (D)以上都不是 解：由|x2n|0，故k0，若k=0，可知在所給區(qū)間上只有1解故k>0 由圖象可得，x=2n+1時(shí)，k1即k故選B 又解：y=(x2n)2與線段y=k2x(2n1<x2n+1)有兩個(gè)公共點(diǎn)x2(4n+k2)x+4n2=0有(2n1，2n+1上有兩個(gè)根故=(4n+k2)216n2>0且(2n1)2(4n+k2)(2n1)+4n2>0，(2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n20，2n1<2n+k2<2n+1Þ k5 logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小關(guān)系是(A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1(B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1(C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1(D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1解：<1<，故0<cos1<sin1<1<tan1Þ logsin1tan1<0，logcos1tan1<0，logsin1cos1>0，logcos1sin1>0，設(shè)logsin1cos1=a，則得(sin1)a=cos1<sin1，a>1；logcos1sin1=b，則(cos1)b=sin1>cos1，0<b<1；即logcos1sin1< logsin1cos1設(shè)logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，則得(sin1)c =(cos1)d=tan1，(指數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行比較)，c<d即logsin1tan1<logcos1tan1故選C6 設(shè)O是正三棱錐PABC底面三角形ABC的中心，過(guò)O的動(dòng)平面與PC交于S，與PA，PB的延長(zhǎng)線分別交于Q，R，則和式+ (A)有最大值而無(wú)最小值 (B)有最小值而無(wú)最大值 (C)既有最大值又有最小值，兩者不等 (D)是一個(gè)與面QPS無(wú)關(guān)的常數(shù) 解：O到面PAB、PBC、PCA的距離相等設(shè)APB=，則 VPQRS=d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)sin(其中d為O與各側(cè)面的距離) VPQRS=PQ·PR·PSsinsin(其中為PS與面PQR的夾角) d(PQ·PR+PR·PS+PS·PQ)=PQ·PR·PSsin +=為定值故選D二、填空題(每小題9分，共54分)1 設(shè)，為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，若|=2，且為實(shí)數(shù)，則|= 解：設(shè)=x+yi，(x，yR)，則|=2|y|y=± 設(shè)arg=，則可取+2=2，(因?yàn)橹灰髚，故不必寫(xiě)出所有可能的角)=，于是x=±1|=22 一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為 解：設(shè)球半徑為R，其內(nèi)接圓錐的底半徑為r，高為h，作軸截面，則r2=h(2Rh) V錐=r2h=h2(2Rh)=h·h(4R2h)=·R3 所求比為8273 用x表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)， 方程lg2xlgx2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是 解：令lgx=t，則得t22=t作圖象，知t=1，t=2，及1<t<2內(nèi)有一解當(dāng)1<t<2時(shí)，t=1，t=故得：x=，x=100，x=10，即共有3個(gè)實(shí)根 4 直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是 解：如圖，即OAB內(nèi)部及邊界上的整點(diǎn)由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)=1+2+3+101=5151個(gè)由x軸、y=x，x+y=100圍成區(qū)域(不包括y=x上)內(nèi)的整點(diǎn)數(shù)(x=1，2，3時(shí)各有1個(gè)整點(diǎn)，x=4，5，6時(shí)各有2個(gè)整點(diǎn)，x=73，74，75時(shí)有25個(gè)整點(diǎn)，x=76，77，100時(shí)依次有25，24，1個(gè)整點(diǎn)共有3×1+3×2+3×25+25+24+1=4(1+2+25)=1300由對(duì)稱性，由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內(nèi)也有1300個(gè)整點(diǎn)所求區(qū)域內(nèi)共有51512600=2551個(gè)整點(diǎn)5 將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是 解：頂點(diǎn)染色，有5種方法，底面4個(gè)頂點(diǎn)，用4種顏色染，A=24種方法，用3種顏色，選 1對(duì)頂點(diǎn)C，這一對(duì)頂點(diǎn)用某種顏色染C，余下2個(gè)頂點(diǎn)，任選2色染，A種，共有CCA=48種方法；用2種顏色染： A=12種方法；共有5(24+48+12)=420種方法6 設(shè)M=1，2，3，1995，A是M的子集且滿足條件：當(dāng)xA時(shí)，15xÏA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是 解：1995=15×133故取出所有不是15的倍數(shù)的數(shù)，共1862個(gè)，這此數(shù)均符合要求在所有15的倍數(shù)的數(shù)中，152的倍數(shù)有8個(gè)，這此數(shù)又可以取出，這樣共取出了1870個(gè)即|A|1870又k，15k(k=9，10，11，133)中的兩個(gè)元素不能同時(shí)取出，故|A|1995-133+8=1870第二試一、(25分) 給定曲線族2(2sincos+3)x2(8sin+cos+1)y=0，為參數(shù)，求該曲線在直線y=2x上所截得的弦長(zhǎng)的最大值解：以y=2x代入曲線方程得x=0，x= 所求弦長(zhǎng)l=故只要求|x|的最大值即可由(2x8)sin(x+1)cos=13xÞ(2x8)2+(x+1)2(13x)2，即x2+16x160解之得，8x2即|x|8(當(dāng)sin=±，cos=時(shí)即可取得最大值)故得最大弦長(zhǎng)為8二、(25分) 求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程5x35(p+1)x2+(71p1)x+1=66p的三個(gè)根均為正整數(shù) 解：x=1是方程的一個(gè)根于是只要考慮二次方程 5x25px+66p1=0的兩個(gè)根為正整數(shù)即可設(shè)此二正整數(shù)根為u、v則由韋達(dá)定理知， 消去p，得5uv66(u+v)=1同乘以5：52uv5×66u5×66v=5 (5u66)(5v66)=6625=4351=19×229由于u、v均為整數(shù)，故5u66、5v66為整數(shù) 其中使u、v為正整數(shù)的，只有u=17，v=59這一組值此時(shí)p=76三、(35分) 如圖，菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E，F(xiàn)，G，H，在弧EF與GH上分別作圓O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證： MQNP分析 要證MQNP，因ABDC，故可以考慮證明AMQ=CPN現(xiàn)A=C，故可證AMQCPN于是要證明AMAQ=CPCN證明 設(shè)ABC=2a，BNM=2b，BMN=2則由ON平分ONM，得ONC=ONM=(180°2b)=90°b；同理，OMN=OMA=90°而CON=180°OCNONC=b+a=90°，于是CONAMO，AMAO=COCN，即AM·CN=AO2 同理，AQ·CP=AO2，AM·CN=AQ·CPAMQCPN，AMQ=CPNMQNP四、(35分) 將平面上的每個(gè)點(diǎn)都以紅，藍(lán)兩色之一著色證明：存在這樣兩個(gè)相似的三角形，它們的相似比為1995，并且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色證明：首先證明平面上一定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點(diǎn)同色設(shè)此兩點(diǎn)為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色過(guò)P、Q作 直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點(diǎn)著紅色，則存在紅色直角三角形若l1、l2上除P、Q外均無(wú)紅色點(diǎn)，則在l1上任取異于P的兩點(diǎn)R、S，則R、S必著藍(lán)色，過(guò)R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍(lán)色RST即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形設(shè)直角三角形ABC三頂點(diǎn)同色(B為直角)把ABC補(bǔ)成矩形ABCD(如圖)把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n>1，本題中取n=1995)連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn)，把矩形ABCD分成n2個(gè)小矩形AB邊上的分點(diǎn)共有n+1個(gè)，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色，(否則任兩個(gè)相鄰分點(diǎn)異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E、F同色考察E、F所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E¢、F¢，若E¢、F¢異色，則EFE¢或DFF¢為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形若E¢、F¢同色，再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩形，這樣依次考察過(guò)去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色同樣，BC邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色，則存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，MNH為頂點(diǎn)同色的直角三角形由n=1995，故MNHABC，且相似比為1995，且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別同色證明2：首先證明：設(shè)a為任意正實(shí)數(shù)，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)任取一點(diǎn)O(設(shè)為紅色點(diǎn))，以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個(gè)紅點(diǎn)，則存在距離為2a的兩個(gè)紅點(diǎn)，若圓上沒(méi)有紅點(diǎn)，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色，但此六邊形邊長(zhǎng)為2a故存在距離為2a的兩個(gè)藍(lán)色點(diǎn)下面證明：存在邊長(zhǎng)為a，a，2a的直角三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色如上證，存在距離為2a的同色兩點(diǎn)A、B(設(shè)為紅點(diǎn))，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點(diǎn)為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形若C、D、E、F為藍(lán)色，則存在滿足要求的藍(lán)色三角形下面再證明本題：由上證知，存在邊長(zhǎng)為a，a，2a及1995a，1995a，1995´2a的兩個(gè)同色三角形，滿足要求證明3：以任一點(diǎn)O為圓心，a及1995a為半徑作兩個(gè)同心圓，在小圓上任取9點(diǎn)，必有5點(diǎn)同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A¢，B¢，C¢，D¢，E¢，則此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色，設(shè)為A¢、B¢、C¢則DABC與DA¢B¢C¢為滿足要求的三角形