數(shù)學(xué)第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 理

第第1節(jié)數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法節(jié)數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照_排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的_.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為_的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.(3)數(shù)列有三種表示法，它們分別是_、圖象法和_.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理一定順序項(xiàng)定義域列表法通項(xiàng)公式法2.數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)_無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)_按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1_an其中nN*遞減數(shù)列an1_an常數(shù)列an1an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有限無限3.數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與_之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子anf(n)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.序號(hào)nS1SnSn1常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)數(shù)列1，2，3，4，的通項(xiàng)公式為ann；(2)數(shù)列2，4，6，8，的通項(xiàng)公式為an2n；(3)數(shù)列1，2，4，8，的通項(xiàng)公式為an2n1；(4)數(shù)列1，4，9，16，的通項(xiàng)公式為ann2；2.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)一般有兩種常見思路：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2)利用累加或累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.()(2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的.()(3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).()解析(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列.(2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的.(3)不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.答案(1)(2)(3)(4)2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為()A.15 B.16 C.49 D.64解析當(dāng)n8時(shí)，a8S8S7827215.答案A3.已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是()答案C4.已知ann2n，且對(duì)于任意的nN*，數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.解析因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因?yàn)閚1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)5.(2018臺(tái)州月考)在數(shù)列xn中，x110，xnlog2(xn12)，則數(shù)列xn的第2項(xiàng)是_，所有項(xiàng)和T_.解析x110，xnlog2(xn12)，x2log2(x12)log283，x3log2(x22)log210.數(shù)列xn所有項(xiàng)的和為103013.答案3136.(必修5P33A5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an_.解析a11，a261515(21)，a31115215(31)，a41615315(41)，an15(n1)5n4.答案5n4考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)【例1】 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：規(guī)律方法根據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相鄰項(xiàng)的聯(lián)系特征；(3)拆項(xiàng)后的各部分特征；(4)符號(hào)特征.應(yīng)多進(jìn)行對(duì)比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.考點(diǎn)二由Sn與an的關(guān)系求an(易錯(cuò)警示)【例2】 (1)(2017溫州市十校聯(lián)考)在數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.解析(1)依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，an2n1.(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S1314，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n13n1123n1.顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式.【訓(xùn)練2】 (1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S13122112；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時(shí)，不滿足上式.考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式【例3】 (1)已知數(shù)列an滿足a11，a24，an22an3an1(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(2)(2018衢州質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a11，(n22n)(an1an)1(nN*)，則通項(xiàng)公式an_.解析(1)由an22an3an10，得an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a13為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an1an32n1，n2時(shí)，anan132n2，a3a232，a2a13，將以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(當(dāng)n1時(shí)，也滿足).(3)設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.