數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分 專題三函數(shù)解答題的解法

專題三專題三 函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第二部分考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 0312函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 07 1.近三年高考各試卷函數(shù)試題考查情況統(tǒng)計(jì) 2005年，函數(shù)與不等式解答試題是高考的熱門話題，也是解答題的必考題型.當(dāng)中的全國、北京、天津各2道.函數(shù)與不等式試題處在壓軸位置的有7道，與導(dǎo)數(shù)知識交匯的試題有12道.當(dāng)中，求函數(shù)的最值和值域的試題有9道，涉及函數(shù)單調(diào)性的有7道，求參數(shù)取值范圍的有5道. 2006年高考各地的試題里，出現(xiàn)的函數(shù)種類比較多的有三次函數(shù)、分式函數(shù)、對數(shù)和指數(shù)復(fù)合的函數(shù)、絕對值函數(shù)、抽象函數(shù)等等.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 2007年高考各地的19套試卷中，都有體現(xiàn).單純考查函數(shù)的題少,多是綜合考查,常見的是與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行綜合，2007年重點(diǎn)考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，以處理最值、單調(diào)性問題、求解析式、求參數(shù)范圍等為主，對二次函數(shù)進(jìn)行了重點(diǎn)考查.值得注意的是在2007年有5套試卷的命題涉及到函數(shù)的應(yīng)用問題. 據(jù)此可知，函數(shù)與不等式解答試題是高考命題的重要題型，它的解答需要用到導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，其命題熱點(diǎn)是伴隨導(dǎo)數(shù)知識的考查，出現(xiàn)頻率較高的題型是最值、范圍命題，命題的趨向是函數(shù)迭代中的遞推數(shù)列問題.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 2.2.主要特點(diǎn) 縱觀近年來高考試題，特別是2007年高考試題，函數(shù)試題有如下特點(diǎn)： (1)全方位.近幾年來的高考題中，函數(shù)的所有知識點(diǎn)都考過，雖然近幾年不強(qiáng)調(diào)知識的覆蓋率，但每一年函數(shù)知識點(diǎn)的覆蓋率依然沒有減小. (2)多層次.在每年高考題中，函數(shù)題低檔、高檔難度都有，且選擇、填空、解答題型齊全；低檔難度題一般僅涉及函數(shù)本身的內(nèi)容，諸如定義域、值域、單調(diào)性、周期性、圖象、反函數(shù)，且對能力的要求不高；中、高檔難度題多為綜合程度較大的問題，或者函數(shù)與其他知識結(jié)合，或者是多種方法的滲透.試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) (3)巧綜合.為了突出函數(shù)在中學(xué)中的主體地位，近幾年來高考強(qiáng)化了函數(shù)對其他知識的滲透，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力(甚至包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度. (4)變角度.出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大了函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開放題和信息題的考查力度，從而使函數(shù)考題顯得新穎、生動、靈活.函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.高考函數(shù)解答題，主要有以下幾種形式： (1)函數(shù)內(nèi)容本身的綜合，如函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)等方面的綜合. (2)函數(shù)與其他知識的綜合，如方程、不等式、數(shù)列、平面向量、解析幾何等內(nèi)容與函數(shù)的綜合，主要體現(xiàn)函數(shù)思想的運(yùn)用； (3)與實(shí)際問題的綜合，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造和函數(shù)關(guān)系的建立.應(yīng)試策略應(yīng)試策略函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 2.在系統(tǒng)復(fù)習(xí)階段，我們分別研究了函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、最值等)和圖象(畫圖、識圖、用圖)，本輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn) 是函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合問題的解法. 在函數(shù)的諸多性質(zhì)中，單調(diào)性和最值是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，也是高考的頻考點(diǎn).函數(shù)的圖象可以全面反映函數(shù)的性質(zhì)，而熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)有助于準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖象，從而自覺地養(yǎng)成 用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題的習(xí)慣.應(yīng)試策略應(yīng)試策略函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 3.重視函數(shù)思想的指導(dǎo)作用.用變量和函數(shù)來思考問題的方法就是函數(shù)思想.函數(shù)思想是函數(shù)概念、性質(zhì)等知識在更高層次上的提煉和概括，是在知識和方法反復(fù)學(xué)習(xí)運(yùn)用中抽象出來的帶有觀念性的指導(dǎo)方法.函數(shù)思想的應(yīng)用： (1)在求變量范圍時(shí)，考慮能否把該變量表示為另一變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的值域； (2)構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)； (3)運(yùn)用函數(shù)思想要抓住事物在運(yùn)動過程中保持不變的那些規(guī)律和性質(zhì)，從而更快更好地解決問題.應(yīng)試策略應(yīng)試策略函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 4.重視導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的重要作用.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的極值、最值，研究函數(shù)在某一個(gè)閉區(qū)間上的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已經(jīng)成為新的命題熱點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中應(yīng)給予足夠重視.應(yīng)試策略應(yīng)試策略函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法考考 題題 剖剖 析析 1.（2007上海模擬題）已知函數(shù)f(x)=ax , a1. （1）證明：函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù)； （2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.考題剖析考題剖析 證明（1）設(shè)1x1x2,0 x111,y=ax在(1,)上是增函數(shù). 由得即f(x1)f(x2),f(x)在(1,)上是增函數(shù).12xx111121xx131321xx21xxaa1311312122xaxaxx函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法考題剖析考題剖析(2)（反證法）設(shè)f(x)=0存在負(fù)數(shù)根x0(x00)，則 又x00矛盾，所以假設(shè)不成立. 則f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根. 點(diǎn)評通過（1）的證明讓學(xué)生在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí)，能充分利用幾種基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，同時(shí)增強(qiáng)應(yīng)變能力訓(xùn)練，通過（2）的證明使學(xué)生增強(qiáng)對反證法這種重要數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識.) 1 , 0(10120002000 xxaxxxxa)2 ,21(2112111201200000000 xxxxxxxx或函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 2.已知函數(shù)f(x)=xx，其中x表示不超過x的最大整 數(shù)，如：2.1=3，3=3，2.2=2. （1）求 的值； （2）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； （3）若x2,2，求f(x)的值域.考題剖析考題剖析 解析 （1）)23()23(、ff123 1232323)23(f33)2(232323)23(f （2）由（1）知： 且故f(x)為非奇非偶函數(shù).),23()23( ff),23()23(ff函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法考題剖析考題剖析 點(diǎn)評本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)值及值域的求法，閱讀并理解函數(shù)意義是關(guān)鍵. （3）當(dāng)2x1時(shí)，x=2，則2xx4，所以f(x)可取2，3，4.當(dāng)1x0時(shí)，x=1，則0 xx1，所以f(x)可取1.當(dāng)0 x1時(shí)，x=0，則xx=0，所以f(x)=0.當(dāng)1x2時(shí)，x=1，則1xx0,當(dāng)a0時(shí),f(x)為R上的下凸函數(shù).3.（2007山西太原模擬題）如果f(x)在某個(gè)區(qū)間I內(nèi)滿足：對任意的x1,x2I,都有 ，則稱f(x)在I上為下凸函數(shù)；已知函數(shù)f(x)=ax2x. （）證明：當(dāng)a0時(shí)，f(x)在R上為下凸函數(shù)； （）若x(0,1)時(shí)，|f(x)|1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.)2()()(212121xxfxfxf221xx 2)2( 221221222121xxxxaxaxxax,2)(221xxa),2()()(212121xxfxfxf函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 （）|f(x)|1,1ax2x1, 2a0.考題剖析考題剖析 點(diǎn)評本題給出了凸函數(shù)這個(gè)新概念，主要考查學(xué)生閱讀理解、自學(xué)的能力，在本題中要證明 ,主要是通過作差法 解決的，作差是比較大小的一種常用方法.),1 , 0(.111122xxxaxx)2()()(212121xxfxfxf)2(2)()(2121xxfxfxf函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 4.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對任意x，yR都有f(xy)=f(x)f(y). (1)求證f(x)為奇函數(shù)； (2)若f(k3x)f(3x9x2)0對任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.考題剖析考題剖析 分析 欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(x)=f(x)成立.在式子f(xy)=f(x)f(y)中，令y=x可得f(0)=f(x)f(x)于是又提出新的問題，求f(0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明.函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 解析 (1)證明：f(xy)=f(x)f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(00)=f(0)f(0)，即f(0)=0.令y=x，代入式，得 f(xx)=f(x)f(x)，又f(0)=0，則有0=f(x)f(x).即f(x)=f(x)對任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù).考題剖析考題剖析 (2)解法1：f(3)= log230，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù).f(k3x)f(3x9x2)=f(3x9x2), k3x3x9x2,32x(1k)3x20對任意xR成立.函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法考題剖析考題剖析令t=3x0，問題等價(jià)于t2(1k)t20對任意t0恒成立.令f(t)=t2(1k)t2，其對稱軸x=當(dāng) 0即k0,符合題意；當(dāng) 0時(shí)，對任意t0,f(t)0恒成立 解得1k12 綜上所述當(dāng)k12 時(shí)，f(k3x）f(k3x9x2）0對任意xR恒成立.21k21k024)1 (0212kk21k22函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法解法2：分離系數(shù)由k3x3x9x2得k3x 1,即u的最小值為2 1,要使xR不等式k3x 1恒成立，只要使k0，且x1x2420，0，2，2.若存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2tm2|x1x2|對任意t3，3, A恒成立. |x1x2| 2|0，要使m2tm2|x1x2|對任意t3，3, A恒成立,只要m2tm20對任意t3，3 恒成立,212214)(xxxx （）x44x34x252x25恰好有三個(gè)不同的根，即x44x34x22x2=0恰好有三個(gè)不同的根,即x2（x24x42）0，x0是一個(gè)根，方程x24x420應(yīng)有兩個(gè)非零的不相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法令g(t)tm m22 , 則g(t)是關(guān)于t的線性函數(shù).只要 解得 不存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2tm2|x1x2|對任意t3，3, A恒成立.考題剖析考題剖析0)3(0)3(gg1221mm 點(diǎn)評 考查多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的圖象性質(zhì)、二次方程根的判斷，等價(jià)轉(zhuǎn)換、化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法考題剖析考題剖析6.（2007江蘇省鹽城市）設(shè)函數(shù)f(x)= ax3bx2cx(abc)，其圖象在點(diǎn)A(1,f(1),B(m,f(m)處的切線的斜率分別為0,a. （）求證：0 1； （）若函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為s,t，求|st|的取值范圍； （）若當(dāng)xk時(shí)（k是與a,b,c無關(guān)的常數(shù)），恒有f (x)a0，試求k的最小值.31ab函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法解析 （）f (x)=ax22bxc，由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得 f (1)=a2bc=0， f (m)=am22bmc=a， 又abc，可得4aa2bc4c，即4a04c， 故a0, 由得c=a2b，代入abc，再由a0，得 將c=a2b代入得am22bm2b=0， 即方程ax22bx2b=0有實(shí)根. 故其判別式=4b28ab 0得 由，得0 0，知方程f (x)=ax22bxc=0(*)有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為x1, x2，又由f (1)=a2bc=0知，x1=1為方程（*）的一個(gè)實(shí)根，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2= ,x2= 10 x1，當(dāng)xx1時(shí)，f (x)0； 當(dāng)x2x0，故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為x2,x1，由題設(shè)知x2,x1=s,t，因此|st|=|x1x2|=2 ，由（）知0 1， 得 |st|的取值范圍為2,4)；ab2ab2ab2ab2考題剖析考題剖析函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法 （）由f (x)a0，即ax22bxac0 ，即ax22bx2b0 ，因?yàn)閍0，設(shè) ，可以看作是關(guān)于 的一次函數(shù)，由題意g( )0對于0 1恒成立， 由題意， 故k 1，因此k的最小值為 1., 0222abxabxab2)22()(xabxabgababab, 0, 022, 0)0(, 0) 1 (22xxxgg即故1313xx或得), 13 13,(),k33考題剖析考題剖析函數(shù)解答題的解法函數(shù)解答題的解法