2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第5節(jié) 垂直關(guān)系課件 北師大版.ppt

第5節(jié)垂直關(guān)系 最新考綱1 以立體幾何的定義 公理和定理為出發(fā)點(diǎn) 認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理 2 能運(yùn)用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題 1 直線與平面垂直 1 直線和平面垂直的定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的 一條直線都垂直 那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直 知識(shí)梳理 任何 2 判定定理與性質(zhì)定理 兩條相交直線 l l b b b 平行 2 直線和平面所成的角 1 定義 一條斜線和它在平面上的 所成的 叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角 一條直線垂直于平面 則它們所成的角是 一條直線和平面平行或在平面內(nèi) 則它們所成的角是0 的角 2 范圍 射影 直角 銳角 3 二面角 1 定義 從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫作二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作 的兩條射線 這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角 3 二面角的范圍 0 4 平面與平面垂直 1 平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交 如果它們所成的二面角是 就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直 兩個(gè)半平面 垂直于棱 直二面角 2 判定定理與性質(zhì)定理 垂線 交線 l l l l 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1 兩個(gè)重要結(jié)論 1 若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面 則另一條也垂直于這個(gè)平面 2 若一條直線垂直于一個(gè)平面 則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線 證明線線垂直的一個(gè)重要方法 2 使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理 不要誤解為 如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 就垂直于這個(gè)平面 3 線線 線面 面面垂直間的轉(zhuǎn)化 1 思考辨析 在括號(hào)內(nèi)打 或 1 直線l與平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直 則l 2 垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行 3 若兩平面垂直 則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面 4 若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線 則 診斷自測(cè) 解析 1 直線l與平面 內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直 則有l(wèi) 或l與 斜交或l 或l 故 1 錯(cuò)誤 2 垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交 故 2 錯(cuò)誤 3 若兩個(gè)平面垂直 則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面 也可能與另一平面平行 也可能與另一平面相交 也可能在另一平面內(nèi) 故 3 錯(cuò)誤 4 若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面 內(nèi)的所有直線 則 故 4 錯(cuò)誤 答案 1 2 3 4 2 教材習(xí)題改編 下列命題中不正確的是 A 如果平面 平面 且直線l 平面 則直線l 平面 B 如果平面 平面 那么平面 內(nèi)一定存在直線平行于平面 C 如果平面 不垂直于平面 那么平面 內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 D 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 解析根據(jù)面面垂直的性質(zhì) A不正確 直線l 平面 或l 或直線l與 相交 答案A 3 2018 湖南六校聯(lián)考 已知m和n是兩條不同的直線 和 是兩個(gè)不重合的平面 下面給出的條件中一定能推出m 的是 A 且m B m n且n C m n且n D m n且 解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理 可知C正確 答案C 4 2017 全國(guó) 卷 在正方體ABCD A1B1C1D1中 E為棱CD的中點(diǎn) 則 A A1E DC1B A1E BDC A1E BC1D A1E AC 解析如圖 由題設(shè)知 A1B1 平面BCC1B1且BC1 平面BCC1B1 從而A1B1 BC1 又B1C BC1 且A1B1 B1C B1 所以BC1 平面A1B1CD 又A1E 平面A1B1CD 所以A1E BC1 答案C 5 邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角 則折疊后AC的長(zhǎng)為 解析如圖所示 取BD的中點(diǎn)O 連接A O CO 則 A OC是二面角A BD C的平面角 即 A OC 90 答案a 考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì) 例1 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中點(diǎn) 證明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 證明 1 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD CD 平面ABCD PA CD 又 AC CD 且PA AC A CD 平面PAC 又AE 平面PAC CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中點(diǎn) AE PC 由 1 知AE CD 且PC CD C AE 平面PCD 又PD 平面PCD AE PD PA 底面ABCD AB 平面ABCD PA AB 又 AB AD 且PA AD A AB 平面PAD 又PD 平面PAD AB PD 又 AB AE A PD 平面ABE 規(guī)律方法1 證明直線和平面垂直的常用方法有 1 判定定理 2 垂直于平面的傳遞性 a b a b 3 面面平行的性質(zhì) a a 4 面面垂直的性質(zhì) a l a l l 2 證明線面垂直的核心是證線線垂直 而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì) 因此 判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想 證明因?yàn)锳B為圓O的直徑 所以AC CB 由余弦定理得CD2 DB2 BC2 2DB BCcos30 3 所以CD2 DB2 BC2 即CD AB 因?yàn)镻D 平面ABC CD 平面ABC 所以PD CD 由PD AB D得 CD 平面PAB 又PA 平面PAB 所以PA CD 考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì) 例2 如圖 在四棱錐P ABCD中 AB CD AB AD CD 2AB 平面PAD 底面ABCD PA AD E和F分別是CD和PC的中點(diǎn) 求證 1 PA 底面ABCD 2 BE 平面PAD 3 平面BEF 平面PCD 證明 1 平面PAD 底面ABCD 且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD PA 平面PAD PA 底面ABCD 2 AB CD CD 2AB E為CD的中點(diǎn) AB DE 且AB DE 四邊形ABED為平行四邊形 BE AD 又 BE 平面PAD AD 平面PAD BE 平面PAD 3 AB AD 而且ABED為平行四邊形 BE CD AD CD 由 1 知PA 底面ABCD CD 平面ABCD PA CD 且PA AD A PA AD 平面PAD CD 平面PAD 又PD 平面PAD CD PD E和F分別是CD和PC的中點(diǎn) PD EF CD EF 又BE CD且EF BE E CD 平面BEF 又CD 平面PCD 平面BEF 平面PCD 規(guī)律方法1 證明平面和平面垂直的方法 1 面面垂直的定義 2 面面垂直的判定定理 2 已知兩平面垂直時(shí) 一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線 轉(zhuǎn)化為線面垂直 然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 訓(xùn)練2 2017 北京卷 如圖 在三棱錐P ABC中 PA AB PA BC AB BC PA AB BC 2 D為線段AC的中點(diǎn) E為線段PC上一點(diǎn) 1 求證 PA BD 2 求證 平面BDE 平面PAC 3 當(dāng)PA 平面BDE時(shí) 求三棱錐E BCD的體積 1 證明 PA AB PA BC AB 平面ABC BC 平面ABC 且AB BC B PA 平面ABC 又BD 平面ABC PA BD 2 證明 AB BC D是AC的中點(diǎn) BD AC 由 1 知PA 平面ABC PA 平面PAC 平面PAC 平面ABC 平面PAC 平面ABC AC BD 平面ABC BD AC BD 平面PAC BD 平面BDE 平面BDE 平面PAC 3 解 PA 平面BDE 又平面BDE 平面PAC DE PA 平面PAC PA DE 由 1 知PA 平面ABC DE 平面ABC D是AC的中點(diǎn) E為PC的中點(diǎn) 考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題 多維探究 命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明 例3 1 2017 山東卷 由四棱柱ABCD A1B1C1D1截去三棱錐C1 B1CD1后得到的幾何體如圖所示 四邊形ABCD為正方形 O為AC與BD的交點(diǎn) E為AD的中點(diǎn) A1E 平面ABCD 1 證明 A1O 平面B1CD1 2 設(shè)M是OD的中點(diǎn) 證明 平面A1EM 平面B1CD1 證明 1 取B1D1的中點(diǎn)O1 連接CO1 A1O1 由于ABCD A1B1C1D1是四棱柱 所以A1O1 OC A1O1 OC 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形 所以A1O O1C 又O1C 平面B1CD1 A1O 平面B1CD1 所以A1O 平面B1CD1 2 因?yàn)锳C BD E M分別為AD和OD的中點(diǎn) 所以EM BD 又A1E 平面ABCD BD 平面ABCD 所以A1E BD 因?yàn)锽1D1 BD 所以EM B1D1 A1E B1D1 又A1E EM 平面A1EM A1E EM E 所以B1D1 平面A1EM 又B1D1 平面B1CD1 所以平面A1EM 平面B1CD1 規(guī)律方法1 三種垂直的綜合問(wèn)題 一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線 線面 面面垂直間的轉(zhuǎn)化 2 垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題 求解時(shí)應(yīng)注意平行 垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用 命題角度2平行垂直中探索性問(wèn)題 例3 2 如圖所示 平面ABCD 平面BCE 四邊形ABCD為矩形 BC CE 點(diǎn)F為CE的中點(diǎn) 1 證明 AE 平面BDF 2 點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn) 在線段AE上是否存在點(diǎn)P 使得PM BE 若存在 確定點(diǎn)P的位置 并加以證明 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 1 證明連接AC交BD于O 連接OF 如圖 四邊形ABCD是矩形 O為AC的中點(diǎn) 又F為EC的中點(diǎn) OF為 ACE的中位線 OF AE 又OF 平面BDF AE 平面BDF AE 平面BDF 2 解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí) 有PM BE 證明如下 取BE中點(diǎn)H 連接DP PH CH P為AE的中點(diǎn) H為BE的中點(diǎn) PH AB 又AB CD PH CD P H C D四點(diǎn)共面 平面ABCD 平面BCE 平面ABCD 平面BCE BC CD 平面ABCD CD BC CD 平面BCE 又BE 平面BCE CD BE BC CE H為BE的中點(diǎn) CH BE 又CD CH C BE 平面DPHC 又PM 平面DPHC BE PM 即PM BE 規(guī)律方法1 求條件探索性問(wèn)題的主要途徑 1 先猜后證 即先觀察與嘗試給出條件再證明 2 先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件 再證明充分性 2 涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明 探索點(diǎn)存在問(wèn)題 點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè) 也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn) 命題角度3空間位置關(guān)系與幾何體的度量計(jì)算 例3 3 2017 天津卷 如圖 在四棱錐P ABCD中 AD 平面PDC AD BC PD PB AD 1 BC 3 CD 4 PD 2 1 求異面直線AP與BC所成角的余弦值 2 求證 PD 平面PBC 3 求直線AB與平面PBC所成角的正弦值 1 解如圖 由已知AD BC 故 DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角 因?yàn)锳D 平面PDC PD 平面PDC 所以AD PD 2 證明由 1 知AD PD 又因?yàn)锽C AD 所以PD BC 又PD PB BC PB B 所以PD 平面PBC 3 解過(guò)點(diǎn)D作DF AB 交BC于點(diǎn)F 連接PF 則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角 因PD 平面PBC 故PF為DF在平面PBC上的射影 所以 DFP為直線DF和平面PBC所成的角 由于AD BC DF AB 故BF AD 1 由已知 得CF BC BF 2 又AD DC 故BC DC 規(guī)律方法1 本題證明的關(guān)鍵是垂直與平行的轉(zhuǎn)化 如由AD BC AD PD 得PD BC 進(jìn)而利用線面垂直的判定定理證明PD 平面PBC 2 利用綜合法求空間線線角 線面角 二面角一定注意 作角 證明 計(jì)算 是完整統(tǒng)一過(guò)程 缺一不可 1 線面角的求法 找出斜線在平面上的射影 關(guān)鍵是作垂線 找垂足 要把線面角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解 2 二面角的大小用它的平面角來(lái)度量 平面角的作法常見(jiàn)的有 定義法 垂面法 注意利用等腰 等邊三角形的性質(zhì) 訓(xùn)練3 2018 延安調(diào)研 如圖 三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn) 點(diǎn)F G分別在線段AB BC上 且AF 2FB CG 2GB 1 證明 PE FG 2 求二面角P AD C的正切值 3 求直線PA與直線FG所成角的余弦值 1 證明因?yàn)镻D PC且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn) 所以PE DC 又平面PDC 平面ABCD 且平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 又FG 平面ABCD 所以PE FG 2 解由 1 知PE 平面ABCD PE AD 又AD CD PE CD E AD 平面PDC AD PD PDC為二面角P AD C的平面角 在Rt PDE中 PD 4 DE 3 3 解如圖 連接AC AF 2FB CG 2GB AC FG 直線PA與FG所成角即直線PA與AC所成角 PAC 在Rt PDA中 PA2 AD2 PD2 25 PA 5 又PC 4