2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 6.3.2 隨機(jī)變量及其分布課件 理.ppt

6 3 2隨機(jī)變量及其分布 考向一 考向二 離散型隨機(jī)變量的分布列 多維探究 題型1相互獨(dú)立事件 互斥事件的概率及分布列例1從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口 設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立 且在各路口遇到紅燈的概率分別為 1 記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù) 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 2 若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地 求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率 考向一 考向二 解 1 隨機(jī)變量X的所有可能取值為0 1 2 3 所以 隨機(jī)變量X的分布列為 考向一 考向二 2 設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù) Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù) 則所求事件的概率為P Y Z 1 P Y 0 Z 1 P Y 1 Z 0 解題心得字母表示事件法 使用簡(jiǎn)潔 準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述解答過(guò)程是解答這類問題并得分的根本保證 引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確 使得問題描述有條理 不會(huì)有遺漏 也不會(huì)重復(fù) 考向一 考向二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 2018北京 理17 電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù) 經(jīng)分類整理得到下表 好評(píng)率是指 一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立 1 從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部 求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率 2 從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部 估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率 考向一 考向二 3 假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等 用 k 1 表示第k類電影得到人們喜歡 k 0 表示第k類電影沒有得到人們喜歡 k 1 2 3 4 5 6 寫出方差D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 的大小關(guān)系 解 1 設(shè) 從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部 這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影 為事件A 第四類電影中獲得好評(píng)的電影為200 0 25 50 部 2 設(shè) 從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部 恰有1部獲得好評(píng) 為事件B P B 0 25 0 8 0 75 0 2 0 35 考向一 考向二 3 由題意可知 定義隨機(jī)變量如下 則 k顯然服從兩點(diǎn)分布 則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下 第一類電影 D 1 0 4 0 6 0 24 第二類電影 D 2 0 2 0 8 0 16 考向一 考向二 第三類電影 D 3 0 15 0 85 0 1275 第四類電影 D 4 0 25 0 75 0 1875 第五類電影 D 5 0 2 0 8 0 16 考向一 考向二 第六類電影 D 6 0 1 0 9 0 09 綜上所述 D 1 D 4 D 2 D 5 D 3 D 6 考向一 考向二 題型2古典概型的概率及其分布列例2在心理學(xué)研究中 常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響 具體方法如下 將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組 一組接受甲種心理暗示 另一組接受乙種心理暗示 通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用 現(xiàn)有6名男志愿者A1 A2 A3 A4 A5 A6和4名女志愿者B1 B2 B3 B4 從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示 另5人接受乙種心理暗示 1 求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率 2 用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù) 求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E X 考向一 考向二 解 1 記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M 2 由題意知X可取的值為0 1 2 3 4 則 考向一 考向二 因此X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望是 E X 0 P X 0 1 P X 1 2 P X 2 3 P X 3 4 P X 4 考向一 考向二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2為了研究一種新藥的療效 選100名患者隨機(jī)分成兩組 每組各50名 一組服藥 另一組不服藥 一段時(shí)間后 記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù) 并制成下圖 其中 表示服藥者 表示未服藥者 1 從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人 求此人指標(biāo)y的值小于60的概率 2 從圖中A B C D四人中隨機(jī)選出兩人 記 為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1 7的人數(shù) 求 的分布列和數(shù)學(xué)期望E 3 試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小 只需寫出結(jié)論 考向一 考向二 解 1 由圖知 在服藥的50名患者中 指標(biāo)y的值小于60的有15人 所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人 此人指標(biāo)y的值小于60的概率為 0 3 2 由圖知 A B C D四人中 指標(biāo)x的值大于1 7的有2人 A和C 所以 的所有可能取值為0 1 2 所以 的分布列為 考向一 考向二 3 在這100名患者中 服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差 考向一 考向二 題型3條件概率與其分布列的綜合例3某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a 單位 元 繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人 續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下 1 求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率 2 若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi) 求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60 的概率 3 求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值 考向一 考向二 解 1 設(shè)A表示事件 一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi) 則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1 故P A 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 2 設(shè)B表示事件 一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60 則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3 故P B 0 1 0 05 0 15 又P AB P B 考向一 考向二 3 記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X 則X的分布列為 E X 0 85a 0 30 a 0 15 1 25a 0 20 1 5a 0 20 1 75a 0 10 2a 0 05 1 23a 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1 23 解題心得在P A B 中 事件A B的發(fā)生有時(shí)間上的差異 B先A后 在P AB 中 事件A B同時(shí)發(fā)生 考向一 考向二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某市環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽由甲 乙兩支代表隊(duì)進(jìn)行總決賽 每隊(duì)各有3名隊(duì)員 首輪比賽每人一道必答題 答對(duì)則為本隊(duì)得1分 答錯(cuò)或者不答都得0分 已知甲隊(duì)3人答對(duì)的概率分別為 乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是 設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響 用 表示甲隊(duì)總得分 1 求隨機(jī)變量 的分布列及其數(shù)學(xué)期望E 2 求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下 甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率 考向一 考向二 解 1 由題設(shè)知 的可能取值為0 1 2 3 所以 的分布列為 考向一 考向二 2 設(shè) 甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4 為事件A 甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高 為事件B 則 考向一 考向二 題型4二項(xiàng)分布例4 2018全國(guó) 理20 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝 每箱200件 每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn) 如檢驗(yàn)出不合格品 則更換為合格品 檢驗(yàn)時(shí) 先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn) 再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn) 設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p 0 p 1 且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立 1 記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f p 求f p 的最大值點(diǎn)p0 考向一 考向二 2 現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件 結(jié)果恰有2件不合格品 以 1 中確定的p0作為p的值 已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元 若有不合格品進(jìn)入用戶手中 則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) 這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X 求E X 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù) 是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn) 考向一 考向二 令f p 0 得p 0 1 當(dāng)p 0 0 1 時(shí) f p 0 當(dāng)p 0 1 1 時(shí) f p 0 所以f p 的最大值點(diǎn)為p0 0 1 考向一 考向二 2 由 1 知 p 0 1 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù) 依題意知Y B 180 0 1 X 20 2 25Y 即X 40 25Y 所以E X E 40 25Y 40 25E Y 490 如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) 則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元 由于E X 400 故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn) 解題心得對(duì)于實(shí)際問題中的隨機(jī)變量X 如果能夠斷定它服從二項(xiàng)分布B n p 那么其概率 期望與方差可直接利用公式P X k pk 1 p n k k 0 1 2 n E X np D X np 1 p 求得 因此 熟記二項(xiàng)分布的相關(guān)公式 可以避免煩瑣的運(yùn)算過(guò)程 提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度 考向一 考向二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4某班將要舉行籃球投籃比賽 比賽規(guī)則是 每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次 在A區(qū)每進(jìn)一球得2分 不進(jìn)球得0分 在B區(qū)每進(jìn)一球得3分 不進(jìn)球得0分 得分高的選手勝出 已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別是 1 如果該選手以在A B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn) 問該選手應(yīng)該選擇哪個(gè)區(qū)投籃 請(qǐng)說(shuō)明理由 2 求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率 考向一 考向二 所以該選手應(yīng)該選擇在A區(qū)投籃 考向一 考向二 2 設(shè) 該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分 為事件C 該選手在A區(qū)投籃得4分 且在B區(qū)投籃得3分或0分 為事件D 該選手在A區(qū)投籃得2分 且在B區(qū)投籃得0分 為事件E 則事件C D E 且事件D與事件E互斥 考向一 考向二 題型5超幾何分布例5某手機(jī)廠商推出一款智能手機(jī) 現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)使用者 200名女性 300名男性 進(jìn)行調(diào)查 對(duì)手機(jī)進(jìn)行打分 打分的頻數(shù)分布表如下 1 完成下列頻率分布直方圖 并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的方差大小 不計(jì)算具體值 給出結(jié)論即可 考向一 考向二 2 根據(jù)評(píng)分的不同 采用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶 在這20名用戶中 從評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶 求3名用戶評(píng)分小于90分的人數(shù)的分布列和期望 女性用戶男性用戶 考向一 考向二 解 1 女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示 女性用戶男性用戶由圖可得女性用戶的波動(dòng)大 男性用戶的波動(dòng)小 故女性用戶評(píng)分的方差比男性用戶評(píng)分的方差大 考向一 考向二 2 運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶 評(píng)分不低于80分有6人 其中評(píng)分小于90分的人數(shù)為4 從6人中任取3人 記評(píng)分小于90分的人數(shù)為X 則X的所有可能取值為1 2 3 所以X的分布列為 考向一 考向二 解題心得超幾何分布 一般地 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中 m min M n 且n N M N n M N N 考向一 考向二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5甲 乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽 共設(shè)有10個(gè)不同的題目 其中選擇題6個(gè) 判斷題4個(gè) 1 若甲 乙二人依次各抽一題 計(jì)算 甲抽到判斷題 乙抽到選擇題的概率是多少 甲 乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少 2 若甲從中隨機(jī)抽取5個(gè)題目 其中判斷題的個(gè)數(shù)為 求 的分布列和期望 考向一 考向二 解 1 甲抽到判斷題 乙抽到選擇題的概率為 所以 的分布列為 考向一 考向二 考向一 考向二 樣本的均值 方差與正態(tài)分布的綜合例6為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程 檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件 并測(cè)量其尺寸 單位 cm 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn) 可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N 2 1 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常 記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在 3 3 之外的零件數(shù) 求P X 1 及X的數(shù)學(xué)期望 2 一天內(nèi)抽檢零件中 如果出現(xiàn)了尺寸在 3 3 之外的零件 就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況 需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 考向一 考向二 試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性 下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸 考向一 考向二 附 若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N 2 則P 3 Z 3 0 9973 考向一 考向二 解 1 抽取的一個(gè)零件的尺寸在 3 3 之內(nèi)的概率為0 9973 從而零件的尺寸在 3 3 之外的概率為0 0027 故X B 16 0 0027 因此P X 1 1 P X 0 1 0 997316 0 0423 X的數(shù)學(xué)期望為E X 16 0 0027 0 0432 2 如果生產(chǎn)狀態(tài)正常 一個(gè)零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0027 一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中 出現(xiàn)尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0423 發(fā)生的概率很小 因此一旦發(fā)生這種情況 就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況 需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查 可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的 考向一 考向二 考向一 考向二 解題心得解決正態(tài)分布有關(guān)的問題 在理解 2意義的情況下 記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)稱的鐘形曲線 很多問題都是利用圖象的對(duì)稱性解決的 考向一 考向二 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件 測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值 由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖 考向一 考向二 1 求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2 同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表 2 由直方圖可以認(rèn)為 這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N 2 其中 近似為樣本平均數(shù) 2近似為樣本方差s2 利用該正態(tài)分布 求P 187 8 Z 212 2 某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品 記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 187 8 212 2 的產(chǎn)品件數(shù) 利用 的結(jié)果 求E X 考向一 考向二 解 1 抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為 170 0 02 180 0 09 190 0 22 200 0 33 210 0 24 220 0 08 230 0 02 200 s2 30 2 0 02 20 2 0 09 10 2 0 22 0 0 33 102 0 24 202 0 08 302 0 02 150 2 由 1 知 Z N 200 150 從而P 187 8 Z 212 2 P 200 12 2 Z 200 12 2 0 6827 由 知 一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 187 8 212 2 的概率為0 6827 依題意知X B 100 0 6827 所以E X 100 0 6827 68 27