2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題6 選考 2.6.2 不等式選講課件.ppt

第2課時不等式選講 熱點考向一絕對值不等式的解法高頻考向 類型一解不含參數(shù)的絕對值不等式 典例1 已知f x x 4 x 1 3 1 求不等式f x 2的解集 2 若直線y kx 2與函數(shù)f x 的圖象有公共點 求k的取值范圍 審題導(dǎo)引 1 看到f x x 4 x 1 3 聯(lián)想到分 三種情況去絕對值號 2 看到y(tǒng) kx 2聯(lián)想到此直線恒過定點 x 1 1 x 4 x 4 0 2 解析 1 由f x 2 解得0 x 5 故不等式f x 2的解集為 0 5 2 f x x 4 x 1 3 作出函數(shù)f x 的圖象 如圖所示 直線y kx 2過定點C 0 2 當(dāng)此直線經(jīng)過點B 4 0 時 k 當(dāng)此直線與直線AD平行時 k 2 故由圖可知 k 2 類型二解含參數(shù)的絕對值不等式 典例2 已知函數(shù)f x x a a R 1 當(dāng)a 1時 求f x x 1 1的解集 2 若不等式f x 3x 0的解集包含 x x 1 求a的取值范圍 大題小做 解析 1 當(dāng)a 1時 不等式即f x x 1 x 1 1 即 x 1 x 1 1 由于 x 1 x 1 表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1對應(yīng)點的距離減去它到 1對應(yīng)點的距離 由 0 5到1對應(yīng)點的距離減去它到 1對應(yīng)點的距離正好等于1 故不等式的解集為 2 方法一 不等式f x 3x 0 即 x a 3x 0 即 x a 3x x 0 即3x x a 3x 求得x 且x 當(dāng)a 0時 可得它的解集為 再根據(jù)它的解集包含 x x 1 可得 1 求得a 2 故有0 a 2 當(dāng)a 0時 可得它的解集為 再根據(jù)它的解集包含 x x 1 可得 1 求得a 4 故有 4 a 0 綜上可得 要求的a的取值范圍為 0 2 4 0 4 2 方法二 不等式f x 3x 0 即 x a 3x 0 即 x a 3x x 0 即3x x a 3x 即在 x x 1 上恒成立 所以有即a 4 2 探究追問 1 在例2條件下 若不等式f x x的解集包含 求實數(shù)a的取值范圍 解析 不等式f x x 3x 1 x a 3x 因為不等式的解集包含 所以不等式 3x 1 x a 3x在上恒成立 于是 3x 1 x a 3x 3x 1 x a 3x 所以可得 x a 1 即a 1 x a 1 所以解得 a 所以實數(shù)a的取值范圍是 2 在例2條件下 若不等式 x f x 2a 1的解集為 b b 3 求實數(shù)a b的值 解析 由2a 1 x x a 0 可知2a 1 0 所以a 故g x x f x 的圖象如圖所示 由圖可知 名師點睛 1 用零點分段法解絕對值不等式的步驟 1 求零點 2 劃區(qū)間 去絕對值號 3 分別解去掉絕對值的不等式 組 4 取每個結(jié)果的并集 注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值 2 圖象法求解不等式用圖象法 數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式 使得代數(shù)問題幾何化 既通俗易懂 又簡潔直觀 是一種較好的方法 考向精煉 1 2018 煙臺一模 已知函數(shù)f x 2x 1 x a a 0 1 當(dāng)a 0時 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的圖象與x軸圍成的三角形面積大于 求a的取值范圍 解析 1 當(dāng)a 0時 f x 0 無解 當(dāng)00 解得0時 不等式化為x 2 解得 x 2 綜上 f x 1的解集為 x 0 x 2 2 由題設(shè)可得f x 所以f x 的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為 1 a 0 該三角形的面積為 由題設(shè) 且a 0 解得a 1 所以a的取值范圍是 1 2 2018 長沙一模 已知函數(shù)f x x a 其中a 1 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號 1 當(dāng)a 2時 求不等式f x 4 x 4 的解集 2 已知關(guān)于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集為 x 1 x 2 求a的值 解析 1 當(dāng)a 2時 f x x 4 當(dāng)x 2時 由f x 4 x 4 得 2x 6 4 解得x 1 當(dāng)2 x 4時 由f x 4 x 4 得無解 當(dāng)x 4時 由f x 4 x 4 得2x 6 4 解得x 5 故不等式的解集為 x x 1或x 5 2 令h x f 2x a 2f x 則h x 由 h x 2 解得 又知 h x 2的解集為 x 1 x 2 所以于是解得a 3 加練備選 1 2018 曲靖一中模擬 設(shè)函數(shù)f x 2x 1 x x R 1 求不等式f x 5的解集 2 若g x f x ax 1 x a 0 求g x 的值域 解析 1 f x 5 2x 1 5 x x 5 2x 1 5 x 6 x 所以其解集為 2 因為a 0 g x 2x 1 ax 1 所以 當(dāng)a 2時 其值域是 當(dāng)0 a 2時 其值域是 當(dāng)a 2時 其值域是 2 2 2 2017 金華二模 已知函數(shù)f x x 1 x a 1 若a 0 求不等式f x 0的解集 2 若方程f x x有三個不同的解 求實數(shù)a的取值范圍 解析 1 當(dāng)a 0時 f x x 1 x 所以當(dāng)x0 符合題意 綜上可得 f x 0的解集為 2 設(shè)u x x 1 x y u x 的圖象和y x的圖象如圖所示 易知y u x 的圖象向下平移1個單位以內(nèi) 不包括1個單位 與y x的圖象始終有3個交點 從而 1 a 0 所以實數(shù)a的取值范圍為 1 0 3 2016 全國卷 已知函數(shù)f x x 1 2x 3 1 畫出y f x 的圖象 2 求不等式 f x 1的解集 解析 1 如圖所示 2 f x f x 1 當(dāng)x 1時 x 4 1 解得x 5或x 3 所以x 1 當(dāng) 11 解得x 1或x1 解得x 5或x5 綜上 x5 所以 f x 1的解集為 1 3 5 4 設(shè)函數(shù)f x 2x 1 x R 1 解不等式f x 5 f x 1 2 已知不等式f x f x 1 x a 的解集為M 若 M 求實數(shù)a的取值范圍 解析 1 原不等式等價于 2x 1 5 2x 3 等價于 2x 1 2x 3 5 解三個不等式組 得 x 或 x 或 x 故不等式的解集為 2 因為 M 則當(dāng)x 時 f x f x 1 x a 恒成立 而f x f x 1 x a 等價于 2x 1 2x 1 x a 0 因為x 所以 x a 2 即x 2 a x 2 由題意 知x 2 a x 2在x 上恒成立 所以 x 2 max a x 2 min 所以 1 a 所以a的取值范圍是 熱點考向二絕對值不等式恒成立 存在 問題考向剖析 本考向考查形式為解答題 主要考查利用三角不等式求最值與恒成立 存在 問題的綜合應(yīng)用 考查邏輯推理能力和運算求解能力 為中檔題 分值為10分 2019年的高考仍將以解答題形式出現(xiàn) 主要考查用三角不等式求最值及函數(shù)圖象的靈活應(yīng)用問題 典例3 2018 全國卷 已知f x x 1 ax 1 1 當(dāng)a 1時 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 時不等式f x x成立 求a的取值范圍 審題導(dǎo)引 1 看到當(dāng)a 1時 f x 聯(lián)想到分 三種情況討論 2 看到x 0 1 時 不等式f x x成立 想到依據(jù)x 0 1 進行等價變形 求出不等式的解集 0 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 包含 解析 1 當(dāng)a 1時 f x x 1 x 1 即f x 結(jié)合函數(shù)圖象可知 不等式f x 1的解集為 2 當(dāng)x 0 1 時 x 1 ax 1 x成立等價于當(dāng)x 0 1 時 ax 1 0 ax 1 1的解集為0 x 所以 1 故0 a 2 綜上 a的取值范圍為 0 2 名師點睛 1 求含絕對值號函數(shù)的最值的兩種方法 1 利用 a b a b a b 求解 2 將函數(shù)化為分段函數(shù) 數(shù)形結(jié)合求解 2 恒成立 存在 問題的等價轉(zhuǎn)化 考向精煉 設(shè)函數(shù)f x 3x 1 2x 2 1 求不等式f x 0的解集 2 若f x x 1 a 1 對任意x R恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 解析 1 f x 0即 3x 1 2x 2 0 解 可得x 1 解 可得 1 x 解 可得x 1 綜上 不等式f x 0的解集為 1 2 f x x 1 a 1 等價于 3x 1 2x 2 x 1 a 1 恒成立 等價于 3x 1 3x 3 a 1 恒成立 而 3x 1 3x 3 3x 1 3x 3 2 所以2 a 1 得a 1 2或a 1 2 解得a 1或a 3 即實數(shù)a的取值范圍是 3 1 加練備選 1 已知函數(shù)f x 2x 1 g x x 1 1 在如圖中畫出f x 和g x 的圖象 并求不等式f x g x 的解集 2 若 f x 2g x a a R 恒成立 求a的取值范圍 解析 1 畫出f x 和g x 的圖象 如圖所示 觀察圖象可知 不等式f x g x 的解集為 2 化簡得 f x 2g x 2x 1 2 x 1 所以 f x 2g x 1 所以a 1 2 2017 全國卷 已知函數(shù)f x x 1 x 2 1 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范圍 解析 1 當(dāng)x 1時 f x x 1 x 2 3 1 無解 當(dāng) 1 x 2時 f x x 1 x 2 2x 1 令2x 1 1 得x 1 所以1 x 2 當(dāng)x 2時 f x x 1 x 2 3 因為3 1 所以x 2 綜上所述 f x 1的解集為 1 2 原式等價于存在x R 使f x x2 x m成立 即 m 設(shè)g x f x x2 x 由 1 知當(dāng)x 1時 g x x2 x 3 其開口向下 對稱軸為x 1 所以當(dāng) 1 x 2時g x x2 3x 1 其開口向下 對稱軸為x 所以 當(dāng)x 2時g x x2 x 3 其開口向下 對稱軸為x 所以綜上 即m的取值范圍為 熱點考向三不等式的證明考向剖析 本考向考查形式為解答題 主要考查綜合法 分析法 基本不等式 三角不等式在證明不等式中的應(yīng)用 考查邏輯推理能力和運算求解能力 為中檔題 分值為10分 2019年的高考仍將以解答題形式出現(xiàn) 重點關(guān)注用分析法 基本不等式證明不等式 典例4 2018 銀川一模 設(shè)不等式 2 x 1 x 2 0的解集為M 且a b M 1 證明 2 比較 1 4ab 與2 a b 的大小 并說明理由 審題導(dǎo)引 1 看到 聯(lián)想到 2 要比較 1 4ab 與2 a b 的大小 比較 與 的大小 1 4ab 2 4 a b 2 解析 1 記f x x 1 x 2 由 2 2x 1 0 解得 所以M 于是 由a b M 得 a b 故 2 由 1 得a20 所以 1 4ab 2 4 a b 2 故 1 4ab 2 a b 名師點睛 證明不等式的傳統(tǒng)方法有 比較法 綜合法 分析法 1 比較法有作差比較法和作商比較法兩種 2 用綜合法證明不等式時 主要是運用基本不等式證明 一方面要注意基本不等式成立的條件 另一方面要善于對式子進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化 變形 3 如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯 可考慮用分析法 4 綜合法往往是分析法的相反過程 其表述簡單 條理清楚 當(dāng)問題比較復(fù)雜時 通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用 以分析法尋找證明的思路 而用綜合法敘述 表達整個證明過程 考向精煉 2018 衡水一模 已知函數(shù)f x x 5 g x 5 2x 3 1 解不等式f x g x 2 設(shè)F f x2 y2 g 3y 12 求證 F 2 解析 1 由題意得原不等式為 x 5 2x 3 5等價于 解得x 或 x 3或1 x 綜上可得1 x 3 所以原不等式的解集為 1 3 2 F x2 y2 5 2 3y 12 3 5 x2 y2 5 6y 21 5 x2 y2 5 6y 21 5 x2 y 3 2 7 5 x2 y 3 2 2 2 當(dāng)且僅當(dāng)x 0且y 3時等號成立 加練備選 1 已知實數(shù)a b c滿足a b c 4 證明 1 a2 b2 c2 8 2 2a2 b2 c2 8 解析 1 由a b c 4 得a2 b c 2 16 所以a2 b2 2bc c2 16 即b2 2bc c2 因為b2 2bc c2 2 b2 c2 當(dāng)且僅當(dāng)b c時 取等號 所以 2 b2 c2 所以8 a2 b2 c2 即a2 b2 c2 8 2 因為a b c 4 所以ab ac 4 因為ab ac 所以ab ac 即ab ac 即4 所以2a2 b2 c2 8 當(dāng)且僅當(dāng)時a b c 時 取等號 所以原命題得證 2 已知函數(shù)f x x 2 1 解不等式f x f x 1 5 2 若 a 1 且f ab a f 證明 b 2 解析 1 x 2 x 1 5 當(dāng)x 2時 x 2 x 1 5 x 4 當(dāng)1 x 2時 2 x x 1 5 1 5 無解 當(dāng)x 1時 2 x 1 x 5 x 1 綜上 不等式的解集為 x x 4或x 1 2 f ab a f ab 2 a ab 2 b 2a ab 2 2 b 2a 2 a2b2 4 b2 4a2 0 a2 1 b2 4 0 因為 a 1 所以a2 1 0 所以b2 4 0 b 2 3 2018 大連模擬 設(shè)函數(shù)f x 2x a x R 實數(shù)a 0 1 當(dāng)a 1時 求不等式f x 0的解集 2 函數(shù)f x 的最小值為m 求證 m5 1 m3 m2 解析 1 當(dāng)a 1時 f x 2x 1 0 即 2x 1 兩邊平方可得 2x 1 2 解得x 2 f x 所以f x 在上為減函數(shù) 在為增函數(shù) f x 的最小值當(dāng)且僅當(dāng)即a 1時取到等號 所以m3 1 0 m2 1 0 所以m5 1 m3 m2 m3 m2 1 1 m2 m3 1 m2 1 0 所以m5 1 m3 m2 4 2017 泉州二模 設(shè)函數(shù)f x a x 1 1 當(dāng)a 1時 解不等式 f x f x 3x 2 設(shè) a 1 當(dāng) x 1時 求證 f x2 x 解題指南 1 代入a的值后分情況解不等式 2 利用絕對值不等式的性質(zhì)放縮 構(gòu)造 結(jié)合函數(shù)知識證明 解析 1 當(dāng)a 1時 不等式 f x f x 3x 即 x 1 x 1 3x 當(dāng)x 1時 得1 x x 1 3x x 0 所以x 1 當(dāng) 1 x 1時 得1 x x 1 3x x 所以 1 x 當(dāng)x 1時 得x 1 x 1 3x x 0 與x 1矛盾 綜上 原不等式的解集為 x x 1 2 f x2 x a x2 1 x a x2 1 x 因為 a 1 x 1 所以 f x2 x a 1 x2 x 1 x2 x x 2 x 1