2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)課件 新人教A版必修1.ppt

3 1 1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 一 二 三 一 函數(shù)的零點(diǎn)1 已知函數(shù)f x 2x 6 1 求方程f x 0的解 提示 由2x 6 0 解得x 3 2 求函數(shù)f x 的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 提示 交點(diǎn)坐標(biāo)A 3 0 3 方程的解與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間是怎樣的關(guān)系 提示 相等 一 二 三 2 填空 函數(shù)的零點(diǎn) 1 定義 對于函數(shù)y f x 我們把使f x 0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y f x 的零點(diǎn) 2 幾何意義 函數(shù)y f x 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y f x 的零點(diǎn) 3 函數(shù)y f x 的零點(diǎn)是點(diǎn)嗎 為什么 提示 不是 函數(shù)的零點(diǎn)的本質(zhì)是方程f x 0的實(shí)數(shù)根 因此 函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn) 而是一個(gè)實(shí)數(shù) 當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí) 函數(shù)值為零 4 你能說出函數(shù) y lgx y lg x 1 y 2x y 2x 2的零點(diǎn)嗎 提示 y lgx的零點(diǎn)是x 1 y lg x 1 的零點(diǎn)是x 0 y 2x沒有零點(diǎn) y 2x 2的零點(diǎn)是x 1 一 二 三 5 做一做 函數(shù)f x x2 1的零點(diǎn)是 A 1 0 B 1 0 C 0D 1解析 解方程f x x2 1 0 得x 1 因此函數(shù)f x x2 1的零點(diǎn)是 1 答案 D 一 二 三 二 方程 函數(shù) 圖象之間的關(guān)系1 考察下列一元二次方程與對應(yīng)的二次函數(shù) 方程x2 2x 3 0與函數(shù)y x2 2x 3 方程x2 2x 1 0與函數(shù)y x2 2x 1 方程x2 2x 3 0與函數(shù)y x2 2x 3 1 你能夠畫出關(guān)于上述方程的根 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)及函數(shù)的零點(diǎn)的表格嗎 一 二 三 提示 一 二 三 2 從你所列的表格中 你能得出什么結(jié)論 提示 方程f x 0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y f x 有零點(diǎn) 一 二 三 三 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理1 觀察二次函數(shù)f x x2 2x 3的圖象 發(fā)現(xiàn)這個(gè)二次函數(shù)在區(qū)間 2 1 上有零點(diǎn)x 1 而f 2 0 f 1 0 即f 2 f 4 0 由以上兩步探索 你可以得出什么樣的結(jié)論 提示 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有f a f b 0 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 2 填空 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有f a f b 0 那么 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 即存在c a b 使得f c 0 這個(gè)c也就是方程f x 0的根 一 二 三 3 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是間斷的 上述定理成立嗎 提示 不一定成立 由下圖可知 4 反過來 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上存在零點(diǎn) f a f b 0是否一定成立 提示 不一定成立 由二次函數(shù)f x x2 2x 1的圖象可知 一 二 三 5 判斷正誤 函數(shù)y f x 的圖象是在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的曲線 若f a f b 0 則f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)沒有零點(diǎn) 答案 6 做一做 函數(shù)f x x3 2x 1的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間上 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 因?yàn)閒 2 110 f 1 4 0 f 2 13 0 所以f 1 f 0 0 所以f x 的零點(diǎn)在區(qū)間 1 0 上 答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一求函數(shù)的零點(diǎn)例1判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn) 如果存在 請求出零點(diǎn) 1 f x 8x2 7x 1 2 f x 1 log3x 3 f x 4x 16 分析 可通過解方程f x 0求得函數(shù)的零點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 3 令4x 16 0 即4x 42 解得x 2 所以函數(shù)的零點(diǎn)為2 4 當(dāng)x 0時(shí) 由f x 0 即x2 3x 4 0 也就是 x 1 x 4 0 解得x 1或x 4 因?yàn)閤 0 所以x 4 當(dāng)x 0時(shí) 由f x 0 即 1 lnx 0 解得x e 滿足x 0 所以函數(shù)的零點(diǎn)為 4和e 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 反思感悟因?yàn)楹瘮?shù)f x 的零點(diǎn)就是方程f x 0的實(shí)數(shù)根 也是函數(shù)y f x 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 所以求函數(shù)的零點(diǎn)通常有兩種方法 一是代數(shù)法 令f x 0 通過求方程f x 0的根求得函數(shù)的零點(diǎn) 二是幾何法 畫出函數(shù)y f x 的圖象 圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f x x2 3 m 1 x n的零點(diǎn)是1和2 求函數(shù)y logn mx 1 的零點(diǎn) 解 由題意知函數(shù)f x x2 3 m 1 x n的零點(diǎn)為1和2 則1和2是方程x2 3 m 1 x n 0的實(shí)根 所以函數(shù)y logn mx 1 的解析式為y log2 2x 1 令log2 2x 1 0 得x 0 所以函數(shù)y log2 2x 1 的零點(diǎn)為0 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究二判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例2判斷函數(shù)f x 2x lg x 1 2的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 解 方法一 f 0 1 0 2 10 f x 在區(qū)間 0 2 內(nèi)必定存在實(shí)根 又f x 2x lg x 1 2在區(qū)間 1 上為增函數(shù) 故f x 有且只有一個(gè)零點(diǎn) 方法二 令h x 2 2x g x lg x 1 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出h x 與g x 的圖象如圖所示 由圖象知g x lg x 1 和h x 2 2x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn) 即f x 2x lg x 1 2有且只有一個(gè)零點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 反思感悟判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法1 解方程f x 0 方程f x 0解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 直接作出函數(shù)f x 的圖象 圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 3 f x g x h x 0 得g x h x 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y1 g x 和y2 h x 的圖象 則兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 4 若證明一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)唯一 也可先由零點(diǎn)存在定理判斷出函數(shù)有零點(diǎn) 再證明該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練2 1 若abc 0 且b2 ac 則函數(shù)f x ax2 bx c的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 A 0B 1C 2D 1或2 2 判斷函數(shù)f x x 3 lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 1 解析 b2 ac 方程ax2 bx c 0的判別式 b2 4ac b2 4b2 3b2 abc 0 b 0 因此 0 故函數(shù)f x ax2 bx c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 答案 A 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 2 解 方法一 令f x x 3 lnx 0 則lnx 3 x 在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y lnx與y x 3的圖象 如圖所示 由圖可知函數(shù)y lnx與y x 3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn) 即函數(shù)f x x 3 lnx只有一個(gè)零點(diǎn) 方法二 因?yàn)閒 3 ln3 0 f 2 1 ln2 ln 0 所以f 3 f 2 0 說明函數(shù)f x x 3 lnx在區(qū)間 2 3 內(nèi)有零點(diǎn) 又f x x 3 lnx在區(qū)間 0 上是增函數(shù) 所以原函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究三判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間例3 1 方程log3x x 3的解所在的區(qū)間為 A 0 2 B 1 2 C 2 3 D 3 4 2 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù) 可以判定方程ex x 2 0的一個(gè)實(shí)根所在的區(qū)間為 k k 1 k N 則k的值為 分析 1 構(gòu)造函數(shù)f x log3x x 3 轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間 2 構(gòu)造與方程對應(yīng)的函數(shù) 然后根據(jù)表格判斷函數(shù)值的符號 從而確定零點(diǎn)所在的區(qū)間 再求k值 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 解析 1 令f x log3x x 3 則f 1 log31 1 3 20 f 4 log34 4 3 log312 0 則函數(shù)f x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 2 3 所以方程log3x x 3的解所在的區(qū)間為 2 3 2 記f x ex x 2 則該函數(shù)的零點(diǎn)就是方程ex x 2 0的實(shí)根 由題表可知f 1 0 37 10 f 3 20 09 5 0 由零點(diǎn)存在性定理可得f 1 f 2 0 故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為 1 2 所以k 1 答案 1 C 2 1 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 反思感悟1 依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)是否有零點(diǎn) 關(guān)鍵看兩點(diǎn) 一是曲線是否連續(xù)不斷 二是f a 與f b 是否異號 就是說這種方法只能判斷變號零點(diǎn) 即在零點(diǎn)左右兩側(cè)附近函數(shù)值的符號發(fā)生改變的零點(diǎn) 2 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟 1 代 將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值 2 判 把所得函數(shù)值相乘 并進(jìn)行符號判斷 3 結(jié) 若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù) 則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn) 若符號為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù) 則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 答案 1 B 2 A 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 函數(shù)與方程思想在一元二次方程根的分布問題中的應(yīng)用典例關(guān)于x的方程ax2 2 a 1 x a 1 0 求a為何值時(shí) 1 方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根 2 方程的兩個(gè)根都大于1 審題視角 題意 畫草圖 轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系 求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 解 令f x ax2 2 a 1 x a 1 1 當(dāng)方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí) f x 對應(yīng)的草圖可能如圖 所示 解得0 a 1 所以當(dāng)0 a 1時(shí) 方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 2 當(dāng)方程的兩個(gè)根都大于1時(shí) f x 對應(yīng)的草圖可能如圖 所示 解得a 所以不存在實(shí)數(shù)a 使方程的兩個(gè)根都大于1 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 方法點(diǎn)睛解決有關(guān)根的分布問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 1 首先畫出符合題意的草圖 轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 2 結(jié)合草圖考慮四個(gè)方面 開口方向 與0的大小關(guān)系 對稱軸與所給端點(diǎn)值的關(guān)系 端點(diǎn)的函數(shù)值與零的關(guān)系 3 寫出由題意得到的不等式 組 4 由得到的不等式 組 的解去驗(yàn)證圖象是否符合題意 這類問題充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 也體現(xiàn)了方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn) 在寫不等式 組 時(shí)要注意條件的完備性 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練本例已知條件不變 求a為何值時(shí) 1 方程有唯一實(shí)數(shù)根 2 方程的一個(gè)根大于1 一個(gè)根小于1 解 1 令f x ax2 2 a 1 x a 1 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 2 因?yàn)榉匠痰囊粋€(gè)根大于1 一個(gè)根小于1 f x 的草圖可能如圖 所示 所以當(dāng)a 0時(shí) 方程的一個(gè)根大于1 一個(gè)根小于1 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 1 函數(shù)f x log5 x 1 的零點(diǎn)是 A 0B 1C 2D 3解析 令log5 x 1 0 解得x 2 所以函數(shù)f x log5 x 1 的零點(diǎn)是2 故選C 答案 C2 若x0是方程lnx x 4的解 則x0所在的區(qū)間是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 設(shè)f x lnx x 4 則f 1 30 f 4 ln4 0 則x0 2 3 答案 C 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 3 已知函數(shù)y ax2 x 1只有一個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的值為 解析 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)為y x 1 顯然該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn) 即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)a 0時(shí) 函數(shù)y ax2 x 1為二次函數(shù) 函數(shù)y ax2 x 1只有一個(gè)零點(diǎn) 方程ax2 x 1 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 4 函數(shù)y 2 x x 2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 解析 令2 x x 2 0 得2 x 2 x 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y 2 x 與函數(shù)y 2 x的圖象 如圖 圖象有2個(gè)交點(diǎn) 即方程2 x x 2 0有2個(gè)實(shí)數(shù)根 也就是函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn) 答案 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 當(dāng)堂檢測 5 判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn) 1 f x x2 3x 18 x 4 7 2 f x x2 2x 1 x 0 解 1 令x2 3x 18 0 解得x 3或x 6 又 3 4 7 6 4 7 f x x2 3x 18在 4 7 上有兩個(gè)零點(diǎn) 所以函數(shù)f x 在 0 上存在零點(diǎn) 且僅有一個(gè)零點(diǎn)