福建省高考數(shù)學(xué)理二輪專題總復(fù)習(xí) 專題2第2課時(shí) 數(shù)列求和與數(shù)學(xué)歸納法課件

專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題二 數(shù)列1高考考點(diǎn)(1)要能夠利用分組、裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減等方法進(jìn)行求和，有時(shí)候要結(jié)合不等式證明(2)會(huì)利用歸納推理猜想出數(shù)列的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明2易錯(cuò)易漏求和中經(jīng)常會(huì)在項(xiàng)數(shù)上犯錯(cuò)，要注意從下標(biāo)上面計(jì)算項(xiàng)數(shù)數(shù)學(xué)歸納法證明問題一定要使用歸納假設(shè)3歸納總結(jié)在選擇求和方法時(shí)要注意不同形式選用不同的求和方法在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，初始值計(jì)算和歸納假設(shè)缺一不可1.等差數(shù)列an中，a1+a2+a50=200，a51+a52+a100=2700，則a1等于()A-1221 B-21.5C-20.5 D-205152100125011()()505025001504950200220.5.aaaaaaddaa 【解因?yàn)?，所以，由，析求】?12()11A.1 B.222211.(1) D.222.22nnnnnnnnnnnnnnnaaannSSnC SnS若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前項(xiàng)和為 B【解析】利用n的特殊值代入，然后用排除法 2201011.2()2007200820092010A. B. C. D.200823. 009201011 20nfxxbxxnSSf n 已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線若數(shù)列的前 項(xiàng)和為，則的值為 220101-1.221111-( )(1)111 1111-2201020112 320102011bbf nnnf nn nnnS【解析】因?yàn)?，所以又，所以，所?111111111()(1)(1-)1,2-4( -)221223-233nnnnnnnnnnnnnP naPnaP Paaaaaaaann nSaa【解析】因?yàn)椋?，所以，故是公差?的等差數(shù)列又，所以，所以12*123()1,2_4.nnnnnnnaaanPnaP PanSN 設(shè) 數(shù) 列滿 足， 且 對 任 意 的， 點(diǎn)，都 有， 則的 前 項(xiàng) 和為 ()_5._.nmnm nnSSSmnS等差數(shù)列中，設(shè)其前 項(xiàng)和為 ，若，則2()0.,0nmnm nnSanbnSSmnmnS設(shè)等差數(shù)列前 項(xiàng)和，因?yàn)?，所以該二次函?shù)經(jīng)過點(diǎn)，即【解析】 11111111234392781 (0)1111()1111C111(21). nnnnrncaa acaAnBAnCCB AnBAnCnnnnn nnn ：適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列；如數(shù)列： ， ，：適用于其中是各項(xiàng)不為的等差數(shù)列， 為常數(shù) 、部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等如公：數(shù)列求和的常用方法式法裂項(xiàng)，！ ！，相消法1CC1111rrnnnnnn ，等 1212222211 2343 9 27 811123221135211123121611111 11()113123452221111()2.nnnnnknknka babn nknknnknn nnn nnnn nnnpqqppq ：適用于，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列如常用結(jié)數(shù)列 ， ， ，；，論減法；錯(cuò)位相3. 理解數(shù)學(xué)歸納法原理，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題加強(qiáng)歸納、猜想、論證的能力通過解決探索性問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析問題與解決問題的能力題型一 錯(cuò)位相減求和【分析】用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，但應(yīng)分情況討論【例1】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 令bn=anxn(xR)求數(shù)列bn前n項(xiàng)和的公式【解析】 (1)設(shè)數(shù)列an公差為d，則a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，所以d=2.所以an=2n. 122-123121)12.242 -22242 -2211-2()-22 (1-21-2nnnnnnnnnnnnnnnnnSbbbba xnxSxxnxnxxSxxnxnxxx Sxxxnxxxnxx令，則由，得，當(dāng)時(shí)，式減去【式，得解析】，22112 (1-)2-(1- )1(1)(1)2 (1-)2-(1)(1- )-12421-1nnnnnnnn nxxnxSxxnxxxSxxSnn nxxx 所以當(dāng)時(shí)，可 ，綜上 得 11()1nnnnnnnaba baaaq【點(diǎn)評】常見的三種數(shù)列、其中是等差數(shù)列、是等比數(shù)列 ，分別用分組求和、錯(cuò)位相減求和、裂項(xiàng)求和，對于等比數(shù)列求和時(shí)，需要注意的特殊情況題型二 不等式在數(shù)列中的應(yīng)用 21120(1,2)32nnnnnnnnnaqnSnqbaabnTST設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，前 項(xiàng)和， 求 的取值范圍；設(shè)，記的前 項(xiàng)和為 ，試比【例 】與2較的大小1210(1,2)0nnnnnnnnnSnaqSqaaabaST， 包含，用 來表示，從而得到 的不等式；將，轉(zhuǎn)化為 ，從而得到 與的關(guān)系，也就得出與【分析】的關(guān)系 111000.10110110 (1,2)110(1,2)1010(1,2)110nnnnnnnnaSaqqSnaaqqSqqnqqnqqnq 因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，上式等價(jià)于不等式【解析組】， 或， 221221110.33()223().231(1)()2221,0(02)nnnnnnnnnnnqnqqqbaaba qqTqq STSSqqSqq 解式得；解，由于 可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得且綜上， 的取值范，圍是，于是由得010012002111220.202nnnnnnnnnnnnnqqTSTSSqqqqTSTqTSTSqS 當(dāng)且，即；當(dāng)又因?yàn)?，且或，所以，?dāng)或時(shí)或時(shí)，即；，即【點(diǎn)評】這是一道數(shù)列與不等式相結(jié)合的試題，在新課程高考中，這種不同知識點(diǎn)的交匯，對考查學(xué)生的能力具有很好的作用 題型三 數(shù)列綜合問題【分析】先求出數(shù)列an+1-an的通項(xiàng)，再由累加法求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，對于數(shù)列bn也是同樣的方法；an-bn最小值的確定方式，利用從特殊到一般的演繹法來求解【例3】數(shù)列an、bn滿足a3=b3=6，a4=b4=4，a5=b5=3，且an+1-an(nN*)是等差數(shù)列，bn-2(nN*)是等比數(shù)列(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)n取何值時(shí)，an-bn取到最小正值？試證明你的結(jié)論 113434544331-1-1-254432*3-2-1-1-3-5-5.-6-7-1-2( -3)( -8)111-18()222-21nnnnnnnnnnnnnnnncaaaadcaacaadccccnnaanaaaaaaaannnnaaannnNdb【解析】 設(shè)，數(shù)列的公差為 ，則，所以，所以，所以所以，即，所以設(shè)433443-3-35-5-*3-21-24-22214 ( )222()2nnnnnnnbqddbdbqddd qbnN，數(shù)列的公比是 ，則，所以，所以，所以 1122112233445566776677*111318910-5-1-0171-2426-71(2)7-421( )(7)-21kkkabababababababababnabnabnk kkNabnkank【解析】由得，所以有，猜想：當(dāng)時(shí)，取到最小正值下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明： 當(dāng)時(shí)，；假設(shè)，時(shí)，那么，當(dāng)時(shí)，那么，當(dāng)22111111111-118(-18)-52222kakkkkk時(shí)，1661111111-5-5-5.22117-5221-.121() ( ).6-2-7kkkkkkkknnakbkbkkabkbabnknaanbb又因?yàn)?，所以，即所以?dāng)時(shí)，猜想也成立由、 知，對任意不小于 的正整數(shù) ，均有綜上所述，當(dāng)時(shí)，取到最小正值【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，其中在求“n取何值時(shí)，an-bn取到最小正值”這一問中，用歸納猜想證明是十分常用的方法另外，本題也可用函數(shù)單調(diào)性證明