高考數(shù)學總復習 第九章 概率與統(tǒng)計 第4講 古典概型與幾何概型課件 理.ppt

第4講 古典概型與幾何概型 1 古典概型 1 理解古典概型及其概率計算公式 2 會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事 件發(fā)生的概率 2 隨機數(shù)與幾何概型 1 了解隨機數(shù)的意義 能運用模擬方法估計概率 2 了解幾何概型的意義 1 基本事件的特點 1 任何兩個基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型 簡稱古典概型 1 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個 2 每個基本事件出現(xiàn)的可能性 相等 3 古典概型的概率公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個 而且所有結果出模型即為古典概型 如果某個事件A包括的結果有m個 那么事件A的概率 P A 4 幾何概型 長度 如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的 面積或體積 成比例 則稱這樣的概率模型為幾何概率模型 簡稱為幾何概型 5 幾何概型中 事件A的概率計算公式 6 要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點 1 無限性 在一次試驗中 可能出現(xiàn)的結果有無限多個 2 等可能性 每個結果的發(fā)生具有等可能性 注意 幾何概型的試驗中 事件A的概率P A 只與子區(qū)域A的幾何度量 長度 面積或體積 成正比 而與A的位置和形狀無關 求試驗中幾何概型的概率 關鍵是求得事件所占區(qū)域和 整個區(qū)域 的幾何度量 然后代入公式即可求解 1 2013年江西 集合A 2 3 B 1 2 3 從A B中各 取任意一個數(shù) 則這兩數(shù)之和等于4的概率是 C 2 從甲 乙 丙三人中任選兩名代表 則甲被選中的概率 為 C 3 2013年福建 利用計算機產生0 1之間的均勻隨機數(shù)a 則事件 3a 1 0 發(fā)生的概率為 4 如圖9 4 1的矩形 長為5 寬為2 在矩形內隨機地撒300顆黃豆 數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆 則我們可以估計 出陰影部分的面積為 圖9 4 1 考點1 古典概型 例1 1 2014年江西 人教版必修3P127 例3 擲兩顆均勻的 骰子 則點數(shù)之和為5的概率等于 解析 擲兩顆均勻的骰子 點數(shù)的所有可能情況有6 6 36 種 其中兩顆骰子點數(shù)之和為5的事件有 1 4 4 1 2 3 答案 B 答案 C 2 2014年湖北 隨機投擲兩枚均勻的骰子 他們向上的點數(shù)之和不超過5的概率為p1 點數(shù)之和大于5的概率為p2 點數(shù)之和為偶數(shù)的概率為p3 則 A p1 p2 p3B p2 p1 p3C p1 p3 p2D p3 p1 p2 規(guī)律方法 本題是考查古典概型 利用公式P A 古典概型必須明確判斷兩點 對于每個隨機試驗來說 所有可能出現(xiàn)的實驗結果數(shù)n必須是有限個 出現(xiàn)的所有不同的試驗結果數(shù)m其可能性大小必須是相同的 解決這類問題的關鍵是列舉做到不重不漏 互動探究 1 2014年四川 一個盒子里裝有3張卡片 分別標記有數(shù)字1 2 3 這3張卡片除標記的數(shù)字外完全相同 隨機有放回地抽取3次 每次抽取1張 將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a b c 1 求 抽取的卡片上的數(shù)字滿足a b c 的概率 2 求 抽取的卡片上的數(shù)字a b c不完全相同 的概率 解 1 由題意 a b c 的所有可能有3 3 3 27 種 設 抽取的卡片上的數(shù)字滿足a b c 為事件A 則事件 A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3種 2 設 抽取的卡片上的數(shù)字a b c不完全相同 為事件B 考點2 幾何概型 例2 1 在面積為S的 ABC的邊AB上任取一點P 則 解析 取AB的三等分點P 如圖D49 如果在線段BP上 圖D49 答案 A 2 向面積為S的 ABC內任投一點 則PPBC的面積小 圖D50 答案 34 規(guī)律方法 應用幾何概型求概率的步驟 把每一次試驗當做一個事件 看事件是否是等可能的且事件的個數(shù)是否是無限個 若是則考慮用幾何概型 將試驗構成的區(qū)域和所求事件構成的區(qū)域轉化為幾何圖形 并加以度量 將幾何概型轉化為長度 面積 體積之比 應用幾何概型的概率公式求概率 互動探究 2 2014年遼寧 若將一個質點隨機投入如圖9 4 2所示的長方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 則質點落在以AB為直徑 的半圓內的概率是 圖9 4 2 答案 B 考點3 兩種概型與其他知識的綜合運用 例3 甲 乙兩人約定上午9時至12時在某地時見面 并約定任何一個人先到之后等另一個人不超過一個小時 一小時之內若對方不來 則離去 如果他們兩人在9時到12時之間的任何時刻到達約定地的概率都是相等的 求他們見到面的概率 思維點撥 1 考慮甲 乙兩人分別到達某處的時間 在平面直角坐標系內分別用x軸 y軸表示甲 乙到達約會地時的時間 用0時到3時表示9時至12時的時間段 則試驗發(fā)生包含的條件是 x y 0 x 3 0 y 3 2 兩人能會面的時間必須滿足 x y 1 這就將問題化歸為幾何概型問題 解 設9時后過了x小時甲到達 9時后過了y小時乙到達 取點Q x y 則0 x 3 0 y 3 兩人見到面的充要條件是 x y 1 如圖9 4 3 作出兩部分對應圖形的 區(qū)域 得所求概率是 圖9 4 3 規(guī)律方法 將隨機事件轉化為面積之比時 要注意總的基本事件和所求事件分別表示的區(qū)域 互動探究 3 2014年重慶 由人教版必修3P137 例2改編 某校早上8 00開始上課 假設該校學生小張與小王在早上7 30 7 50之間到校 且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的 則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 用數(shù)字作答 解析 用x表示小王到校的時間 30 x 50 用y表示小張到校的時間 30 y 50 則所有可能的結果對應如圖D51所示的直角坐標系中的正方形ABCD區(qū)域 小張比小王至少早5分鐘到校 即x y 5 所對應的區(qū)域為 圖D51 易錯 易混 易漏 幾何概型中容易混淆幾何量的比例題 1 在直角三角形ABC中 A 30 過直角頂 點C作射線CM交線段AB于M 則使 AM AC 的概率為 正解 如圖9 4 4 取AD AC A 30 此時 ACD 75 則 BCD 15 欲使 AM AC CM必須在 BCD內 其 圖9 4 4 答案 B 2 在直角三角形ABC中 A 30 在斜邊AB上任取一 點M 則使 AM AC 的概率為 答案 C 失誤與防范 請注意兩題的區(qū)別 過直角頂點C作射線CM交線段AB于M 與 在斜邊AB上任取一點M 前者CM在直角內等可能 結果應該為角度的比 后者M為斜邊AB上任一點 結果應該為斜邊AB上的長度比