【考前三個月】高考數(shù)學（江蘇專用文科）高考必會題型：專題8 概率與統(tǒng)計 第35練

第35練用樣本估計總體題型一頻率分布直方圖的應用例1某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；(3)若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示，求數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù).分數(shù)段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445破題切入點(1)根據(jù)樣本頻率之和為1，求出參數(shù)a的值(2)根據(jù)頻率分布直方圖和平均值的計算公式，求出樣本平均值(3)由直方圖可計算語文成績在每分段上的頻數(shù)，再根據(jù)語文和數(shù)學成績在同一段上的人數(shù)比，便可計算數(shù)學成績在50,90)之間的人數(shù)，進而求解解(1)由頻率分布直方圖知(2a)×101，解得a0.005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學生語文成績的平均分為55××1065××1075××1085××1095××1073(分)(3)由頻率分布直方圖知語文成績在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)×10×1005,×10×10040,×10×10030,×10×10020.由題中給出的比例關系知數(shù)學成績在上述各分數(shù)段的人數(shù)依次為5,40×20,30×40,20×25.故數(shù)學成績在50,90)之外的人數(shù)為100(5204025)10.題型二莖葉圖的應用例2從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)設甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為甲，乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則它們的大小關系分別為_破題切入點由莖葉圖觀察求解比較兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)答案甲<乙，m甲<m乙解析由莖葉圖可知甲數(shù)據(jù)集中在10至20之間，乙數(shù)據(jù)集中在20至40之間，明顯甲乙，甲的中位數(shù)為20，乙的中位數(shù)為29，即m甲m乙題型三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征例3甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成績如下表(單位：環(huán))：甲108999乙1010799如果甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是_破題切入點計算樣本的方差直接作為總體的方差答案甲解析甲乙9環(huán)，s(109)2(89)2(99)2(99)2(99)2，s(109)2(109)2(79)2(99)2(99)2>s，故甲更穩(wěn)定，故填甲總結提高(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的異同眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(2)莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的優(yōu)點所有數(shù)據(jù)信息都可以在莖葉圖中看到莖葉圖便于記錄和表示，且能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況(3)利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值平均數(shù)：平均數(shù)的頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標1某校對高三年級的學生進行體檢，現(xiàn)將高三男生的體重(kg)數(shù)據(jù)進行整理后分成五組，并繪制頻率分布直方圖(如圖)根據(jù)一般標準，高三男生的體重超過65 kg屬于偏胖，低于55 kg屬于偏瘦已知圖中從左到右第一、第三、第四、,，第二小組的頻數(shù)為400，則該校高三年級的男生總數(shù)和體重正常的頻率分別為_答案1 000,解析據(jù)題意，得第二小組的頻率為1()0.40，且其頻數(shù)為400，設高三年級男生總數(shù)為n，則有0.40，n1 000.體重正常的學生所占的頻率為第二和第三小組頻率之和，即0.200.400.60.2. 已知記錄7名運動員選手身高(單位：cm)的莖葉圖如圖，其平均身高為177 cm，因有一名運動員的身高記錄看不清楚，設其末位數(shù)為x，那么推斷x的值為_答案8解析據(jù)莖葉圖可知177，解得x8.3在樣本的頻率分布直方圖中，一共有n個小矩形若中間一個小矩形的面積等于其余(n1)個小矩形面積之和的，且樣本容量為240，則中間一組的頻數(shù)是_答案40解析設中間小矩形的面積為S，則由題意知，解得S，即頻率為，所以中間一組的頻數(shù)為×24040.4樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為_答案2解析由題意知(a0123)1，解得a1，所以樣本方差為s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.5(2014·山東)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，第五組，如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為_答案12解析志愿者的總人數(shù)為50，所以第三組人數(shù)為50×0.3618，有療效的人數(shù)為18612.6在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個小長方形，這4個小長方形的面積由小到大構成等比數(shù)列an，已知a22a1，且樣本容量為300，則小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為_答案160解析小長方形的面積由小到大構成等比數(shù)列an，且a22a1，樣本的頻率構成一個等比數(shù)列，且公比為2，a12a14a18a115a1300，a120，小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為8a1160.7(2014·江蘇)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間80,130上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有_株樹木的底部周長小于100 cm.答案24解析底部周長在80,90)×100.15，底部周長在90,100)×100.25，樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100 cm的株數(shù)為()×6024.8如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)分別是_答案18,23解析根據(jù)莖葉圖分別將甲、乙得分按從小到大順序排起來，根據(jù)中位數(shù)定義易知甲、乙中位數(shù)分別為18,23.9甲、乙兩種冬小麥試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)品種第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是_答案甲解析甲()10.0，乙()10.0；s(22)1020.02，s(22)1020.244>0.02.10為了解某校今年準備報考飛行員學生的體重(單位：kg)情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123，第2小組的頻數(shù)為12，則報考飛行員的總人數(shù)是_答案48解析據(jù)頻率分布直方圖可得第四與第五小組的頻率之和為5×()×0.25，又其頻數(shù)為12，故總人數(shù)為48人11(2014·北京)從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合計100(1)從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組(只需寫出結論)解(1)根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學生中課外閱讀時間不少于12小時的學生共有62210(名)，所以樣本中的學生課外閱讀時間少于12小時的頻率是10.9.從該校隨機選取一名學生，估計其課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組4,6) 的有17人，頻率為0.17，所以a0.085.課外閱讀時間落在組8,10)的有25人，頻率為0.25，所以b0.125.(3)樣本中的100名學生課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組12(2014·廣東)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差解(1)這20名工人年齡的眾數(shù)為30；這20名工人年齡的極差為401921.(2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖如下：(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為：(1928×329×330×531×432×340)÷2030；所以這20名工人年齡的方差為：(3019)2(3028)2(3029)2(3030)2(3031)2(3032)2(3040)212.6.