高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第十章 第6節(jié) 離散型隨機變量的分布列及均值與方差課件.ppt

第十章計數(shù)原理 概率 隨機變量及其分布 第6節(jié)離散型隨機變量的分布列及均值與方差 1 理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念 了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性 2 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程 并能進行簡單的應(yīng)用 3 理解取有限個值的離散型隨機變量的均值 方差的概念 4 能計算簡單離散型隨機變量的均值 方差 并能解決一些實際問題 要點梳理 1 離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為 常用字母X Y 表示 所有取值可以一一列出的隨機變量 稱為離散型隨機變量 隨機變量 2 離散型隨機變量的分布列 1 定義一般地 若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1 x2 xi xn X取每一個值xi i 1 2 n 的概率為P X xi pi 則表 稱為離散型隨機變量X的概率分布列 簡稱為X的分布列 有時為了簡單起見 也用等式P X xi pi i 1 2 n表示X的分布列 2 分布列的性質(zhì) pi 0 i 1 2 n 3 常見離散型隨機變量的分布列 兩點分布若隨機變量X的分布列為 則稱X服從兩點分布 并稱p P X 1 為成功概率 超幾何分布 3 均值與方差 1 均值稱E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為隨機變量X的均值或 它反映了離散型隨機變量取值的 數(shù)學期望 平均水平 3 均值與方差的性質(zhì) E aX b D aX b a b為常數(shù) 質(zhì)疑探究 隨機變量的均值 方差與樣本的均值 方差的關(guān)系是怎樣的 提示 隨機變量的均值 方差是一個常數(shù) 樣本的均值 方差是一個隨機變量 隨著試驗次數(shù)的增加或樣本容量的增加 樣本的均值 方差趨于隨機變量的均值與方差 aE X b a2D X 3 2013 高考廣東卷 已知離散型隨機變量X的分布列為則X的數(shù)學期望E X 等于 4 已知X的分布列為設(shè)Y 2X 1 則Y的數(shù)學期望E Y 的值是 5 在籃球比賽中 罰球命中1次得1分 不中得0分 如果某運動員罰球命中的概率為0 7 那么他罰球1次的得分X的均值是 解析 E X 1 0 7 0 0 3 0 7 答案 0 7 考向一離散型隨機變量的分布列例1 2015 廣州市調(diào)研 某市A B C D四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數(shù)如下表所示 為了了解參加考試的學生的學習狀況 該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調(diào)查 1 問A B C D四所中學各抽取多少名學生 2 從參加問卷調(diào)查的50名學生中隨機抽取2名學生 求這2名學生來自同一所中學的概率 3 在參加問卷調(diào)查的50名學生中 從來自A C兩所中學的學生當中隨機抽取2名學生 用 表示抽得A中學的學生人數(shù) 求 的分布列 拓展提高求解離散型隨機變量X的分布列的步驟 理解X的意義 寫出X可能取的全部值 求X取每個值的概率 寫出X的分布列 提醒 求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率 在求解時 要注意應(yīng)用計數(shù)原理 古典概型等知識 活學活用1 2015 濟南調(diào)研 已知箱中裝有4個白球和5個黑球 且規(guī)定 取出一個白球得2分 取出一個黑球得1分 現(xiàn)從該箱中任取 無放回 且每球取到的機會均等 3個球 記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和 1 求X的分布列 2 求X的數(shù)學期望E X 考向二離散型隨機變量的期望與方差例2 2013 天津高考 一個盒子里裝有7張卡片 其中有紅色卡片4張 編號分別為1 2 3 4 白色卡片3張 編號分別為2 3 4 從盒子中任取4張卡片 假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同 1 求取出的4張卡片中 含有編號為3的卡片的概率 2 在取出的4張卡片中 紅色卡片編號的最大值設(shè)為X 求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望 所以隨機變量X的分布列是 拓展提高求離散型隨機變量 的均值與方差的方法 1 理解 的意義 寫出 可能取的全部值 2 求 取每個值的概率 3 寫出 的分布列 4 由均值的定義求E 5 由方差的定義求D 活學活用2 2015 溫州市調(diào)研 從裝有大小相同的2個紅球和6個白球的袋子中 每摸出2個球為一次試驗 直到摸出的球中有紅球 不放回 則試驗結(jié)束 1 求第一次試驗恰好摸到一個紅球和一個白球的概率 2 記試驗次數(shù)為X 求X的分布列及數(shù)學期望E X 考向三超幾何分布例3近年空氣質(zhì)量逐步惡化 霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多 大氣污染危害加重 大氣污染可引起心悸 呼吸困難等心肺疾病 為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān) 在某醫(yī)院隨機的對入院的50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表 下面的臨界值表供參考 思路點撥 1 先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù) 從而得出表格中的各個數(shù)據(jù) 2 利用2 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2 然后利用臨界值表進行判斷 3 先確定 的取值 利用超幾何分布的概率公式求其每個取值所對應(yīng)的概率 列出分布列 最后代入期望與方差的計算公式求解 解 1 列聯(lián)表補充如下 拓展提高 1 超幾何分布的兩個特點 超幾何分布是不放回抽樣問題 隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù) 2 超幾何分布的應(yīng)用超幾何分布是一個重要分布 其理論基礎(chǔ)是古典概型 主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品 摸不同類別的小球等概率模型 活學活用3某校高一年級共有學生320人 為調(diào)查高一年級學生每天晚自習自主支配學習時間 指除了完成老師布置的作業(yè)后學生根據(jù)自己的需要進行學習的時間 情況 學校采用隨機抽樣的方法從高一學生中抽取了n名學生進行問卷調(diào)查 根據(jù)問卷得到了這n名學生每天晚自習自主支配學習時間的數(shù)據(jù) 單位 分鐘 按照以下區(qū)間分為7組 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 得到頻率分布直方圖如圖 已知抽取的學生中每天晚自習自主支配學習時間低于20分鐘的有4人 1 求n的值 2 若高一全體學生平均每天晚自習自主支配學習時間少于45分鐘 則學校需要減少作業(yè)量 根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù) 學校是否需要減少作業(yè)量 注 統(tǒng)計方法中 同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表 3 問卷調(diào)查完成后 學校從第3組和第4組學生中利用分層抽樣的方法抽取7名學生進行座談 了解各學科的作業(yè)布置情況 并從這7人中隨機抽取兩名學生聘為學情調(diào)查聯(lián)系人 設(shè)第3組中學生被聘的人數(shù)是X 求X的分布列和數(shù)學期望 解 1 由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0 02和0 06 則n 0 02 0 06 4 解得n 50 2 設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi 由題圖知p1 0 02 p2 0 06 p3 0 3 p4 0 4 p5 0 12 p6 0 08 p7 0 02 則由xi 50 pi可得x1 1 x2 3 x3 15 x4 20 x5 6 x6 4 x7 1 則高一學生每天平均自主支配時間是 規(guī)范答題9離散型隨機變量的分布列 期望與方差典例 2013 湖南高考 某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點 指縱 橫直線的交叉點以及三角形的頂點 處都種了一株相同品種的作物 根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗一株該種作物的年收獲量Y 單位 kg 與它的 相近 作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示 這里 兩株作物 相近 是指它們之間的直線距離不超過1米 1 從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物 求它們恰好 相近 的概率 2 從所種作物中隨機選取一株 求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望 滿分展示 答題模板 第一步 弄清題目意思 找到內(nèi)部及邊界各個點 第二步 計算出從三角形地塊內(nèi)部及邊界各取一株作物結(jié)果種數(shù)及相近的種數(shù) 第三步 數(shù)出各點相近點的株數(shù) 分類 第四步 求每類的概率 第五步 列出分布列 第六步 計算期望 跟蹤訓練 2015 北京東城模擬 為迎接6月6日的 全國愛眼日 某高中學校學生會隨機抽取16名學生 經(jīng)校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學生的視力狀況的莖葉圖 以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖 小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉 如圖 若視力測試結(jié)果不低于5 0 則稱為 好視力 1 寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù) 2 求從這16人中隨機選取3人 至少有2人是 好視力 的概率 3 以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù) 若從該校 人數(shù)很多 任選3人 記X表示抽到 好視力 學生的人數(shù) 求X的分布列及數(shù)學期望 思維升華 方法與技巧 1 對于隨機變量X的研究 需要了解隨機變量將取哪些值以及取這些值或取某一個集合內(nèi)的值的概率 對于離散型隨機變量 它的分布正是指出了隨機變量X的取值范圍以及取這些值的概率 2 求離散型隨機變量的分布列 首先要根據(jù)具體情況確定 的取值情況 然后利用排列 組合與概率知識求出 取各個值的概率 3 求期望與方差基本方法 1 已知隨機變量的分布列求它的期望 方差和標準差 可直接按定義 公式 求解 2 已知隨機變量 的期望 方差 求 的線性函數(shù) a b的期望 方差和標準差 可直接用 的期望 方差的性質(zhì)求解 3 如能分析所給隨機變量是服從常用的分布 如二點分布 二項分布等 可直接利用它們的期望 方差公式求解 失誤與防范 1 掌握離散型隨機變量的分布列 須注意 1 分布列的結(jié)構(gòu)為兩行 第一行為隨機變量X所有可能取得的值 第二行是對應(yīng)于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率 看每一列 實際上是上為 事件 下為 事件發(fā)生的概率 只不過 事件 是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的 每完成一列 就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率 2 要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤 2 在沒有準確判斷概率分布列模型之前不能亂套公式 3 對于應(yīng)用問題 必須對實際問題進行具體分析 一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來 再進行分析 求出隨機變量的概率分布列 然后按定義計算出隨機變量的期望 方差或標準差