高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 9.8 圓錐曲線的綜合問題 課時3 定點、定值、探索性問題課件 文.ppt

9 8圓錐曲線的綜合問題 課時3定點 定值 探索性問題 內容索引 題型一定點問題 題型二定值問題 題型三探索性問題 思想方法感悟提高 思想與方法系列 練出高分 題型一定點問題 1 求橢圓的標準方程 解設橢圓的焦距為2c 由題意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 所以a2 3 題型一定點問題 解析答案 2 若 1 2 3 試證明 直線l過定點并求此定點 解析答案 思維升華 解由題意設P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 設l方程為x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 解析答案 思維升華 由題意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由題意mt 0 mt 1 滿足 得l方程為x ty 1 過定點 1 0 即Q為定點 思維升華 思維升華 圓錐曲線中定點問題的兩種解法 1 引進參數法 引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量 再研究變化的量與參數何時沒有關系 找到定點 2 特殊到一般法 根據動點或動線的特殊情況探索出定點 再證明該定點與變量無關 1 求橢圓E的方程 跟蹤訓練1 解析答案 解析答案 返回 即QC QD 所以Q點在y軸上 可設Q點的坐標為 0 y0 當直線l與x軸垂直時 設直線l與橢圓相交于M N兩點 解當直線l與x軸平行時 設直線l與橢圓相交于C D兩點 解析答案 解得y0 1或y0 2 所以 若存在不同于點P的定點Q滿足條件 則Q點坐標只可能為 0 2 當直線l的斜率不存在時 由上可知 結論成立 當直線l的斜率存在時 可設直線l的方程為y kx 1 A B的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 解析答案 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 點B關于y軸對稱的點B 的坐標為 x2 y2 解析答案 返回 題型二定值問題 題型二定值問題 解析答案 解析答案 思維升華 證明由題意可得A1 2 0 A2 2 0 設P x0 y0 由題意可得 2 x0 2 解析答案 思維升華 思維升華 思維升華 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 1 求代數式為定值 依題意設條件 得出與代數式參數有關的等式 代入代數式 化簡即可得出定值 2 求點到直線的距離為定值 利用點到直線的距離公式得出距離的解析式 再利用題設條件化簡 變形求得 3 求某線段長度為定值 利用長度公式求得解析式 再依據條件對解析式進行化簡 變形即可求得 1 求動點Q的軌跡C的方程 跟蹤訓練2 解析答案 解依題意知 點R是線段FP的中點 且RQ FP RQ是線段FP的垂直平分線 點Q在線段FP的垂直平分線上 PQ QF 又PQ是點Q到直線l的距離 故動點Q的軌跡是以F為焦點 l為準線的拋物線 其方程為y2 2x x 0 2 設圓M過A 1 0 且圓心M在曲線C上 TS是圓M在y軸上截得的弦 當M運動時 弦長TS是否為定值 請說明理由 解弦長TS為定值 理由如下 取曲線C上點M x0 y0 M到y(tǒng)軸的距離為d x0 x0 解析答案 返回 題型三探索性問題 例3 2015 湖北 一種畫橢圓的工具如圖1所示 O是滑槽AB的中點 短桿ON可繞O轉動 長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連結 MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動 且DN ON 1 MN 3 當栓子D在滑槽AB內作往復運動時 帶動N繞O轉動 M處的筆尖畫出的橢圓記為C 以O為原點 AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系 1 求橢圓C的方程 題型三探索性問題 解析答案 解因為OM MN NO 3 1 4 當M N在x軸上時 等號成立 同理OM MN NO 3 1 2 當D O重合 即MN x軸時 等號成立 2 設動直線l與兩定直線l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分別交于P Q兩點 若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點 試探究 OPQ的面積是否存在最小值 若存在 求出該最小值 若不存在 說明理由 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 消去y 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 1 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 解析答案 思維升華 所以當k 0時 S OPQ的最小值為8 綜合 可知 當直線l與橢圓C在四個頂點處相切時 OPQ的面積取得最小值8 思維升華 思維升華 解決探索性問題的注意事項探索性問題 先假設存在 推證滿足條件的結論 若結論正確則存在 若結論不正確則不存在 1 當條件和結論不唯一時要分類討論 2 當給出結論而要推導出存在的條件時 先假設成立 再推出條件 3 當條件和結論都不知 按常規(guī)方法解題很難時 要開放思維 采取另外合適的方法 解拋物線y2 8x的焦點為橢圓E的頂點 即a 2 跟蹤訓練3 解析答案 解析答案 返回 解設A x1 y1 B x2 y2 P x1 x2 y1 y2 解析答案 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 設T t 0 Q 4 m 4k 解析答案 4k2 3 4m2 解析答案 則1 t 0 t 1 返回 思想與方法系列 思想與方法系列 20 設而不求 整體代換 解析答案 規(guī)范解答解由于c2 a2 b2 2 點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點 連結PF1 PF2 設 F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M m 0 求m的取值范圍 解析答案 解設P x0 y0 y0 0 PF1 PF2 解析答案 思維點撥 解析答案 返回 溫馨提醒 解設P x0 y0 y0 0 則直線l的方程為y y0 k x x0 解析答案 溫馨提醒 溫馨提醒 溫馨提醒 返回 對題目涉及的變量巧妙地引進參數 如設動點坐標 動直線方程等 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組 再化為一元二次方程 從而利用根與系數的關系進行整體代換 達到 設而不求 減少計算 的效果 直接得定值 思想方法感悟提高 1 求定值問題常見的方法有兩種 1 從特殊入手 求出定值 再證明這個值與變量無關 2 直接推理 計算 并在計算推理的過程中消去變量 從而得到定值 2 定點的探索與證明問題 1 探索直線過定點時 可設出直線方程為y kx b 然后利用條件建立b k等量關系進行消元 借助于直線系的思想找出定點 2 從特殊情況入手 先探求定點 再證明與變量無關 方法與技巧 1 在解決直線與拋物線的位置關系時 要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況 2 中點弦問題 可以利用 點差法 但不要忘記驗證 0或說明中點在曲線內部 3 解決定值 定點問題 不要忘記特值法 失誤與防范 返回 練出高分 又a2 b2 c2 所以b2 12 1 2 3 4 5 解析答案 2 是否存在平行于OA的直線l 使得直線l與橢圓C有公共點 且直線OA與l的距離等于4 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 解假設存在符合題意的直線l 1 2 3 4 5 解析答案 因為直線l與橢圓C有公共點 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 1 2 3 4 5 解析答案 所以不存在符合題意的直線l 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解由已知 點C D的坐標分別為 0 b 0 b 1 2 3 4 5 解析答案 解當直線AB的斜率存在時 設直線AB的方程為y kx 1 A B的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 1 2 3 4 5 解析答案 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 1 2 3 4 5 解析答案 當直線AB斜率不存在時 直線AB即為直線CD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 2 過點的動直線l交橢圓C于A B兩點 試問 在坐標平面上是否存在一個定點Q 使得以線段AB為直徑的圓恒過點Q 若存在 求出點Q的坐標 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 解析答案 當l與y軸平行時 以線段AB為直徑的圓的方程為x2 y2 1 1 2 3 4 5 解析答案 故若存在定點Q 則Q的坐標只可能為Q 0 1 下面證明Q 0 1 為所求 若直線l的斜率不存在 上述已經證明 A x1 y1 B x2 y2 1 2 3 4 5 144k2 64 9 18k2 0 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 2 過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線 若切線都存在斜率 求證兩切線斜率之積為定值 1 2 3 4 5 解析答案 證明設點P x0 y0 過點P的橢圓E的切線l0的方程為y y0 k x x0 整理得y kx y0 kx0 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 福建 已知曲線 上的點到點F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 1 2 3 4 5 解析答案 解方法一 1 設S x y 為曲線 上任意一點 依題意 點S到F 0 1 的距離與它到直線y 1的距離相等 所以曲線 是以點F 0 1 為焦點 直線y 1為準線的拋物線 所以曲線 的方程為x2 4y 方法二設S x y 為曲線 上任意一點 1 2 3 4 5 解析答案 依題意 點S x y 只能在直線y 3的上方 1 2 3 4 5 化簡 得曲線 的方程為x2 4y 2 曲線 在點P處的切線l與x軸交于點A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點M N 以MN為直徑作圓C 過點A作圓C的切線 切點為B 試探究 當點P在曲線 上運動 點P與原點不重合 時 線段AB的長度是否發(fā)生變化 證明你的結論 1 2 3 4 5 解析答案 返回 解當點P在曲線 上運動時 線段AB的長度不變 證明如下 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 所以點P在曲線 上運動時 線段AB的長度不變 1 2 3 4 5 返回