數(shù)學(xué)第五章 平面向量 5.3 平面向量的數(shù)量積

5.3平面向量的數(shù)量積第五章 平面向量基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.向量的夾角向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作 b，則 就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是 .知識梳理AOB0，2.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量_叫做a與b的數(shù)量積，記作ab投影_叫做向量a在b方向上的投影，_叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影_的乘積|a|b|cos |a|cos |b|cos |b|cos 3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角.則(1)eaae|a|cos .(2)ab .(3)當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|.特別地，aa 或|a|_.(4)cos .(5)|ab| .ab0|a|b|a|24.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)ab ；(2)(a)b (為實(shí)數(shù))；(3)(ab)c .ba(ab)a(b)acbc5.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab ，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2 或|a|_.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB| _.(3)設(shè)兩個非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab .(4)若a，b都是非零向量，是a與b的夾角，則cos _.x1x2y1y2x2y2x1x2y1y201.兩個向量a，b的夾角為銳角ab0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角.()基礎(chǔ)自測123456題組二教材改編題組二教材改編2.P105例4已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，則k_.答案解析12345612解析解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3.P106T3已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則向量b在向量a方向上的投影為_.解析答案123456解析解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.2題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.設(shè)向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于_.答案123456解析解析解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，5.已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量 方向上的投影為_.解析答案1234566.已知ABC的三邊長均為1，且 ，則abbcac_.解析答案123456解析解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，題型分類深度剖析1.設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形， 4，若點(diǎn)M，N滿足 等于A.20 B. 15 C.9 D.6解析答案題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算自主演練自主演練2.如圖，已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則 的值為解析答案平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.思維升華思維升華命題點(diǎn)命題點(diǎn)1求向量的模求向量的模典典例例 (1)(2017湘中名校聯(lián)考)平面向量a與b的夾角為45，a(1,1)，|b|2，則|3ab|等于題型二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用多維探究多維探究答案解析(2)(2017衡水調(diào)研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則 的最小值為_.答案解析5解析解析建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，命題點(diǎn)命題點(diǎn)2求向量的夾角求向量的夾角典典例例 (1)(2017山西四校聯(lián)考)已知向量a，b滿足(2ab)(ab)6，且|a|2，|b|1，則a與b的夾角為_.答案解析解析解析(2ab)(ab)6，2a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，(2)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于A.2 B.1C.1 D.2答案解析(1)求解平面向量模的方法寫出有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用公式|a| 即可.當(dāng)利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，|a| .(2)求平面向量的夾角的方法定義法：cos ，注意的取值范圍為0，.坐標(biāo)法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則cos .解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解.思維升華思維升華跟蹤跟蹤訓(xùn)練訓(xùn)練(1)(2017全國)已知向量a，b的夾角為60，|a|2，|b|1，則|a2b|_.答案解析解析解析方法一方法一方法二方法二(數(shù)形結(jié)合法)(2)(2017山東)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若 e2與e1e2的夾角為60，則實(shí)數(shù)的值是_.答案解析典例典例 (2017廣州海珠區(qū)摸底)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn .(1)求sin A的值；題型三平面向量與三角函數(shù)師生共研師生共研解答(2)若a ，b5，求角B的大小及向量 方向上的投影.解答平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m ，n(sinx，cos x)，x .(1)若mn，求tan x的值；解答(2)若m與n的夾角為 ，求x的值.解答典典例例 已知直線y2x上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，直線外有兩個點(diǎn)A(1,1)，B(3,3).求使向量 夾角為鈍角的充要條件.利用數(shù)量積求向量夾角現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯糾錯心得現(xiàn)場糾錯錯解展示錯解展示：錯解展示：現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯解解錯解中，cos |b|基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516答案解析解析解析方法一方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故選A.1234567891011121314151612345678910111213141516方法二方法二利用向量加法的平行四邊形法則.2.(2017河北唐山一模)已知向量a，b滿足a(ab)2，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為解析答案12345678910111213141516解析解析由a(ab)2，得a2ab2，即|a|2|a|b|cosa，b12cosa，b2.123456789101112131415163.(2017豫南九校聯(lián)考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，則 等于解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析ab，2m20，m1，則2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，解析答案4.(2018樂山質(zhì)檢)在ABC中，AB3，AC2，BC 等于123456789101112131415165.(2017沈陽質(zhì)檢)在ABC中， ，AB2，AC1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則 等于解析答案12345678910111213141516解析解析由 0，又因?yàn)锳B和AC為三角形的兩條邊，它們的長不可能為0，所以AB與AC垂直，所以ABC為直角三角形.以A為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，以AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，12345678910111213141516解析答案123456789101112131415166.(2017駐馬店質(zhì)檢)若O為ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足 0，則ABC的形狀為A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形123456789101112131415167.(2017全國)已知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab與a垂直，則m_.解析答案123456789101112131415167解析解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3).又ab與a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.8.(2018銀川質(zhì)檢)已知向量a，b的夾角為 ，|b|2，則a(a2b)_.解析答案1234567891011121314151669.(2017河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知非零向量a，b滿足：2a(2ab)b(b2a)，|a |3|a|，則a與b的夾角為_.解析答案1234567891011121314151690解析解析由2a(2ab)b(b2a)，得4a2b2，10.(2017巢湖質(zhì)檢)已知a(，2)，b(3，2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是_.解析答案12345678910111213141516解析解析a與b的夾角為銳角，則ab0且a與b不共線，11.(2018貴陽質(zhì)檢)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；解答12345678910111213141516解解因?yàn)?2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，(2)求|ab|；解答12345678910111213141516解解|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，(3)若 ，求ABC的面積.解答1234567891011121314151612.(2017江蘇)已知向量a(cos x，sin x)，b(3， )，x0，.(1)若ab，求x的值；解答12345678910111213141516若cos x0，則sin x0，與sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.(2)記f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.解答123456789101112131415161234567891011121314151613.(2018長沙質(zhì)檢)已知DEF的外接圓的圓心為O，半徑R4，如果 方向上的投影為_.技能提升練解析答案1234567891011121314151661234567891011121314151614.(2017廣東七校聯(lián)考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N為AC邊上的兩個動點(diǎn)(M，N不與A，C重合)，且滿足 的取值范圍為_.答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A，點(diǎn)N靠近點(diǎn)C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，線段AC的方程為xy20(0 x2).設(shè)M(a,2a)，N(a1,1a)(由題意可知0a1)，15.(2018湖北黃岡二模)已知平面向量a，b，c滿足|a|b|1，a(a2b)，(c2a)(cb)0，則|c|的最大值與最小值的和為拓展沖刺練答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析a(a2b)，a(a2b)0，即a22ab，又|a|b|1，1234567891011121314151616.(2017河北衡水模擬)已知在ABC所在平面內(nèi)有兩點(diǎn)P，Q，滿足 的值為_.答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516